簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題

1、.,1,3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題（2課時(shí)）,.,2,一、導(dǎo)學(xué)提示，自主學(xué)習(xí) 二、新課引入，任務(wù)驅(qū)動(dòng) 三、新知建構(gòu)，典例分析 四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對(duì)點(diǎn)評(píng) 五、課堂總結(jié)，布置作業(yè),3. 3.2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題（2課時(shí)）,.,3,一、導(dǎo)學(xué)提示，自主學(xué)習(xí),1.本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo) （1）了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等相關(guān)的基本概念 （2）了解線性規(guī)劃的圖解法，并會(huì)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲?. （3）掌握對(duì)一些實(shí)際優(yōu)化問題建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué) 模型并運(yùn)用圖解法進(jìn)行求解的基本方法和步驟 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：線性規(guī)劃的圖解法 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：尋求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解,.,4,一、導(dǎo)學(xué)提示，自

2、主學(xué)習(xí),2.本節(jié)主要題型 題型一 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 題型二 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 3.自主學(xué)習(xí)教材P87-P91 3. 3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,.,5,1、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法：,2、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域,“直線定界、特殊點(diǎn)定域”,各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分,二、新課引入，任務(wù)驅(qū)動(dòng),一.知識(shí)回顧：,.,6,通過本節(jié)的學(xué)習(xí)你能掌握簡(jiǎn)單的線性規(guī) 劃問題的解法及步驟嗎？,二.任務(wù)驅(qū)動(dòng)：,二、新課引入，任務(wù)驅(qū)動(dòng),.,7,三、新知建構(gòu)，典例分析,一.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃有關(guān)概念 二.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題解題步驟,.,8,某工廠用A,B兩種配件生產(chǎn)甲,乙兩種產(chǎn)品, 每生產(chǎn)一

3、件甲種產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h, 每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h, 該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和 12個(gè)B配件,按每天工作8小時(shí)計(jì)算,該廠所有 可能的日生產(chǎn)安排是什么?,若生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)1 件乙 種產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤(rùn)最大?,三、新知建構(gòu)，典例分析,問題引入:,.,9,把問題1的有關(guān)數(shù)據(jù)列表表示如下:,設(shè)甲,乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y件,.,10,將上面不等式組表示成平面上的區(qū)域,區(qū)域內(nèi) 所有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P(x,y),安排生產(chǎn)任務(wù)x,y 都是有意義的.,設(shè)甲,乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y件,由己知條件可得:,問題：求利潤(rùn)2x+3y的最大值.

4、,.,11,若設(shè)利潤(rùn)為z,則z=2x+3y,這樣上述問題轉(zhuǎn)化為:,當(dāng)x,y在滿足上述約束條件時(shí),z的最大值為多少?,當(dāng)點(diǎn)P在可允許的取值范圍變化時(shí),.,12,M（4，2）,問題：求利潤(rùn)z=2x+3y的最大值.,.,13,象這樣關(guān)于x,y一次不等 式組的約束條件稱為 線性約束條件,Z=2x+3y稱為目標(biāo)函數(shù),(因這里 目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于x,y的一次式,又 稱為線性目標(biāo)函數(shù),在線性約束下求線性目標(biāo)函數(shù) 的最值問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃,一.線性規(guī)劃有關(guān)概念:,.,14,滿足線性約束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解組成的集合叫做可行域,使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解叫做這個(gè) 問題的最優(yōu)解,變式：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)

5、品獲利1萬元， 生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種 生產(chǎn)安排利潤(rùn)最大？,.,15,N（2，3）,變式：求利潤(rùn)z=x+3y的最大值.,.,16,線性規(guī)劃有關(guān)概念:,.,17,17,2、畫： 畫出線性約束條件所表示的可行域；,3、移： 在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn) 且縱截距最大或最小的直線；,4、求：通過解方程組求出最優(yōu)解；,5、答：作出答案。,1、找 找出線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)；,二.線性規(guī)劃問題解題步驟:,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,18,說明:,二、最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也有可能在邊界處取得,四、在哪個(gè)頂點(diǎn)取得不僅與B的符號(hào)有關(guān)， 而且還與

6、直線 Z=Ax+By的斜率有關(guān),一、先定可行域和平移方向，再找最優(yōu)解。,三、新知建構(gòu)，典例分析,三、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義 -與y軸上的截距相關(guān)的數(shù)。,.,19,2 .典例分析： 題型一 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 題型二 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,20,x4y3，,例1.已知變量 x，y滿足 3x5y25，,求 z2xy 的,x1， 最大值和最小值 思維突破：把z 看成直線在y 軸上的截距，先畫出可行域， 再求z 的最值,三、新知建構(gòu)，典例分析,題型一.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:,.,21,自主解答：作出不等式組 所表示的可行域，如圖 :,

7、設(shè)直線 l0：2xy0，直線 l：2xyz，則 z 的幾何意義,是直線 y2xz 在 y 軸上的截距,顯然，當(dāng)直線越往上移動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)在 y 軸上的截距越大， 即 z 越大；當(dāng)直線越往下移動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)在 y 軸上的截距越小， 即 z 越小,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,22,作一組與直線 l0 平行的直線系 l，上下平移，可得：,點(diǎn) A(5,2)時(shí)，zmax25212； 當(dāng)直線 l 移動(dòng)到直線 l2 時(shí)，即過,當(dāng)直線 l 移動(dòng)到直線 l1 時(shí)，即過 點(diǎn) B(1,1)時(shí)，zmin211,正確作出可行域后，將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)橹本€方程,的斜截式的形式，應(yīng)注意該直線在y 軸上的截距與目標(biāo)函數(shù)z 取值的關(guān)系再注意

8、該直線的斜率與可行域邊界直線的斜率關(guān) 系，以便準(zhǔn)確找到最優(yōu)解,3.,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,23,y1，,例2.已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 y2x1， xym，,如果目標(biāo)函數(shù) z,xy 的最小值為1，則實(shí)數(shù) m(,),A7,B5,C4,D3,思維突破：畫出x，y 滿足的可行域，可得直線y2x1 與直線xym 的交點(diǎn)使目標(biāo)函數(shù)zxy 取得最小值,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,24,答案：B,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,25,線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用: 一、在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)； 二、給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、

9、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù) 下面我們就來看看線性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用：,三、新知建構(gòu)，典例分析,題型二.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用:,.,26,例3. 營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出,成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪,花費(fèi)28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費(fèi)21元.為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時(shí)使花費(fèi)最低,需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,27,分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格,

10、三、新知建構(gòu)，典例分析,.,28,解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么,目標(biāo)函數(shù)為：z28x21y,作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域,1、找,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,29,把目標(biāo)函數(shù)z28x21y 變形為,x,y,o,/ 57,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率為 縱截距隨z變化的一組平行直線,是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最小時(shí)，z的值最小。,M,如圖可見，當(dāng)直線z28x21y 經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，縱截距最小，即z最小。,2、畫,3、移,.,30,M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組,得M點(diǎn)的坐標(biāo)為：,所以zmin28x21y16,由此可知，

11、每天食用食物A143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元。,4、求,5、答,.,31,31,解線性規(guī)劃問題的步驟：,（1）2、畫： 畫出線性約束條件所表示的可行域；,（2）3、移： 在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn) 且縱截距最大或最小的直線；,（3）4、求：通過解方程組求出最優(yōu)解；,（4）5、答：作出答案。,1、找 找出線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)；,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,32,例4.某工廠現(xiàn)有兩種大小不同規(guī)格的鋼板可截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)示 ：格的小鋼板的塊數(shù)如下表所,解：設(shè)需截第一種鋼板x

12、張，第二種鋼板y張，鋼板總張數(shù)為Z則,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,某顧客需要A,B,C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，若你是經(jīng)理,問各截這兩種鋼板多少張既能滿足顧客要求又使所用鋼板張數(shù)最少。,分 析 問 題:,標(biāo)目函數(shù): z=x+y,.,33,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,直線x+y=12經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優(yōu)解.,作出直線L:x+y=0，,目標(biāo)函數(shù):z= x+y,A(3.6,7.8),當(dāng)直線L經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z=x+y=11.4,x+y=12,解得交點(diǎn)B,C的坐標(biāo)B(3,9)和C(4,8),2,4,6,1

13、8,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最優(yōu)整數(shù)解.,作直線x+y=12,約束條件:,畫可行域,平移L找交點(diǎn)及交點(diǎn)坐標(biāo),調(diào)整優(yōu)解法,.,34,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)B(3,9)和C(4,8)且和原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12，它們是最優(yōu)解.,作出一組平行直線t = x+y，,目標(biāo)函數(shù)t = x+y,打網(wǎng)格線法,在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)t=x+y=11.4,但它不是最優(yōu)整數(shù)解，,將直線x+y=11.4繼續(xù)向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,.,35,在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解、線性規(guī)劃整數(shù)

14、解問題的一般方法是：,1.若區(qū)域“頂點(diǎn)”處恰好為整點(diǎn)，那么它就是最優(yōu)解；（在包括邊界的情況下） 2.若區(qū)域“頂點(diǎn)”不是整點(diǎn)或不包括邊界時(shí)，應(yīng)先求出該點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值Z，然后在可行域內(nèi)適當(dāng)放縮目標(biāo)函數(shù)值，使它為整數(shù)，且與Z最接近，在這條對(duì)應(yīng)的直線中，取可行域內(nèi)整點(diǎn)，如果沒有整點(diǎn)，繼續(xù)放縮，直至取到整點(diǎn)為止。 3.在可行域內(nèi)找整數(shù)解，一般采用平移找解法，即打網(wǎng)絡(luò)、找整點(diǎn)、平移直線、找出整數(shù)最優(yōu)解,.,36,例5.一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66

15、t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計(jì)算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？,解：設(shè)x、y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：,x,y,o,.,37,例6 在上一節(jié)例4（P85）中，若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的 利潤(rùn)為10000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為5000元， 那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)？,解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤(rùn) Z萬元。,目標(biāo)函數(shù)為：,可行域如圖。,把z=x+0.5y變形為,得到斜率為-2，在y軸上的截距為2z, 隨z變化的一族

16、平行直線。,由圖可以看出，當(dāng)直線y=-2x+2z經(jīng)過 可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距2z最大，即 Z最大。,.,38,解方程組,得M的坐標(biāo)為（2，2）,所以,答：生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠 產(chǎn)生最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3萬元。,.,39,即先求非整數(shù)條件下的最優(yōu)解，調(diào)整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（?。┑恼c(diǎn)值，最后篩選出整點(diǎn)最優(yōu)解,即先打網(wǎng)格，描出可行域內(nèi)的整點(diǎn)，平移直線，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點(diǎn)坐標(biāo)即為最優(yōu)整解,線性規(guī)劃求最優(yōu)整數(shù)解的一般方法:,1.平移找解法：,2.調(diào)整優(yōu)解法：,三、新知建構(gòu)，典例分析,.,40,x2y40，,1已知實(shí)數(shù) x，y 滿足約束條件 2xy20， 3xy30

17、，,則目標(biāo),函數(shù) zx2y 的最大值的可行解為_,(2,3),四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對(duì)點(diǎn)評(píng),變式訓(xùn)練1-1：,.,41,xy50，,2已知 x，y 滿足 x3， xyk0，,且 z2x4y 的最小值,),為6，則常數(shù) k( A2,B9,C3,D0,解析：畫圖后知：當(dāng) x3 時(shí) z2x4y 取最小值6.,D,四、當(dāng)堂訓(xùn)練，針對(duì)點(diǎn)評(píng),.,42,2.某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元、2000元，甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)A、B上加工1件甲所需工時(shí)分別為1h、2h，A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)數(shù)分別為400h和500h。如何安排生產(chǎn)可使收入最大？,解：設(shè)每月生產(chǎn)

18、甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，每月收入為z，目標(biāo)函數(shù)為Z3x2y，滿足的條件是：,變式訓(xùn)練2-1：,.,43,Z 3x2y 變形為它表示斜率為 的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān)。,X,Y,O,400,200,250,500,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，截距最大，Z最大。,M,解方程組,可得M（200，100）,Z 的最大值Z 3x2y800,故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)品100件，收入最大，為80萬元。,.,44,五、課堂總結(jié)，布置作業(yè),1課堂總結(jié)： （1）涉及知識(shí)點(diǎn)： 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。 （2）涉及數(shù)學(xué)思想方法： 轉(zhuǎn)化與回歸思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類與整合 思想。,.,45,線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次解析式,1.目標(biāo)函數(shù)要求最值的函數(shù),線性規(guī)劃在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題,可行解滿足線形約束條件的解叫做可行解,可行域由所有可行解組成的集