史上最全的數(shù)列通項公式的求法15種

1、最全的數(shù)列通項公式的求法數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法。一、直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項公式。例 1.根據(jù)下列數(shù)列的前幾項，說出數(shù)列的通項公式：1、 1.3.7.15.312、 1,2,5,8,123、 2,1,2,1,2,132534、 1,-1,1,-15、 1、0、 1、 0二、 公式法利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項若已知數(shù)列的前n 項和 Sn 與 an 的關(guān)系，求數(shù)列 an的通項 an 可用公式 anS1n1SnSn 1n求

2、解 .2(注意：求完后一定要考慮合并通項)例 2 已知數(shù)列an的前 n 項和 Sn 滿足 Sn2an(1) n , n 1 求數(shù)列an 的通項公式 .已知數(shù)列an的前 n 項和 Sn 滿足 Snn2n1，求數(shù)列an的通項公式 . 已知等比數(shù)列an 的首項 a1 1，公比 0q1，設(shè)數(shù)列bn 的通項為 bnan 1an 2 ，求數(shù)列bn 的通項公式。解析 ：由題意， bn 1an 2an 3 ，又 an 是等比數(shù)列，公比為q bn 1an 2an 3q ，故數(shù)列bn 是等比數(shù)列， b1 a2 a3a1q a1q2q(q 1) ，bnan 1an2bn(1)qn 1qn (q1)q q三、歸納猜想

3、法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。例 3.（ 2002 年北京春季高考）已知點的序列An (xn ,0), nN * ，其中 x10 ， x2 a(a0) ， A3是線段 A1 A2 的中點， A4是線段 A2A3 的中點， ，An 是線段 An 2 An 1 的中點， （ 1）寫出 xn 與 xn 1 , xn2 之間的關(guān)系式（n 3 ）。（ 2）設(shè) anxn 1 xn ，計算 a1 , a2 , a3 ，由此推測 an的通項公式，并加以證明。（3） 略解析：（ 1）An

4、是線段 An 2 An 3 的中點， xnxn 1xn 2 (n 3)2（ 2） a1 x2x1a 0 a ，a2x3x2x2x1x2 =1 (x22a3x4x3x3x2x3 =12(x22x1 )1 a ，2x2 )13a ，4猜想 an( 1 ) n 1 a(nN *) ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明210當(dāng) n=1 時， a1 a 顯然成立；20假設(shè) n=k 時命題成立，即ak( 1) k1 a(kN *)2則 n=k+1 時， ak 1xk 2xkxk 1xkxk1( xk 1xk )11=ak222= ( 1 )( 1 ) k 1 a ( 1 )k a222 當(dāng) n=k+1 時命題也成立，

5、命題對任意 n N *都成立。變式 :（ 2006，全國 II, 理 ,22,本小題滿分12 分）設(shè)數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，且方程 x2 anx an0 有一根為 Sn 1， n 1， 2， 3， （）求 a1， a2；（）an的通項公式四、累加（乘）法對于形如 an 1anf (n) 型或形如 an 1f ( n)an 型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n 取 1 到 n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。例 4.若在數(shù)列 an中， a13 ， an 1an n ，求通項 an 。解析：由 an 1ann 得 an 1ann ，所以anan 1 n

6、1， an 1an 2n2 ， ， a2a1 1，將以上各式相加得：ana1(n1)(n 2)1，又 a1 3n(n1)3所以an =2例 5.在數(shù)列 an中， a1 1 ， an 12n an （ nN * ），求通項 an 。解析：由已知 an 12n ， an2 n 1 ， an 12n 2 ， ，a22 ，又 a11 ，anan 1an 2a1anan 1a2n(n 1)所以 an =a1 = 2n 1 2n 22 1 = 2 2an 1an 2a1五 、取倒（對）數(shù)法、r這種類型一般是等式兩邊取對數(shù) 后轉(zhuǎn)化為apaq，再利用 待定系數(shù)法 求解a an 1n 1npanb、數(shù)列有形如f

7、 (an , an1 ,an an1 )0 的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以1,先求出 1,再求得 an .an an 1anc、 an 1f (n)an解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù) 后換元 轉(zhuǎn)化為 an1panq 。g (n)anh(n)例 6.設(shè)數(shù)列 an 滿足 a12, an1an(nN ), 求 an .an3解：原條件變形為an 1an3an1an . 兩邊同乘以an1, 得 1311.an 1anan1 （ 11)11,11n 132an 12an23an an2.3n1212an2例 7、 設(shè)正項數(shù)列an 滿足 a1 1， an1 （ n2） . 求數(shù)列 an的通項公式 .解：兩

8、邊取對數(shù)得：log 2an12 log 2an 1 ， log 2an12(log 2an11)，設(shè) blog an1，n2則 bn2bn 1bn是以 2為公比的等比數(shù)列，b1log1211.bn12n 12n1 ， log 2an12n 1 ， log 2an2n 11 ， a22 n 11n變式 :1.已知數(shù)列 an滿足： a1 3 ，且 an3nan1（ n2， nN ）22an1 n1（ 1）求數(shù)列 an的通項公式；（ 2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式 a1a2an 2n！2、若數(shù)列的遞推公式為a13,112( n) ，則求這個數(shù)列的通項公式。an 1an3、已知數(shù)列 an 滿足 a

9、11, n2 時， an1an2an1an ，求通項公式。4、已知數(shù)列 an滿足： anan 1, a11 ，求數(shù)列 an 的通項公式。3 an 115、若數(shù)列a n中，a1 =1，a n 1 =2an an2n N，求通項a n 六 、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算.例 8、（ 2003高考廣東）設(shè) a 0為常數(shù)，且 a n 3n -1 2 a n -1（ n 為正整數(shù)）證明對任意n1 ，a n 3n（ 1） n -1 2n （ 1） n 2n a 0證明：a n 3 n -1 2 a n -1 3 n -1 2（ 3 n -2 2a n -2 ）3 n -1 2 3 n -2

10、 2 2 （3 n -3 2 a n -3 ）3 n -1 2 3 n -2 2 2 3 n -3 2 3（ 3 n -4 2 a n -4 ）3n -1 23n -2 223n 3 （ 1）n -1 2n -1 （ 1） n2n a 0（ 1） n 2 na 0 前面的 n 項組成首項為3 n -1 ，公比為的等比數(shù)列，這n 項的和為： 3n（ 1） n -1 2n a n 3n（ 1） n -1 2n （ 1） n 2 na 0七、待定系數(shù)法：求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來

11、求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1 、 通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a n +k 的形式求解。一般地，形如a n1 =pa n +q （p 1 ， pq 0 ）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q 分解法：設(shè)a n 1 +k=p （a n +k ）與原式比較系數(shù)可得pk k=q ，即 k=q ，從而得等比數(shù)p1列a n +k 。1例 9、數(shù)列 a n 滿足 a1 =1， a n =a n 1 +1（n 2），求數(shù)列 a n 的通項公式。解：由 a n =1 a n 1 +1（ n 2）得 a n 2=1 （ a n 1

12、2），而 a1 2=1 2=1，22數(shù)列 a n 2 是以 1 為公比，1 為首項的等比數(shù)列2 an 2=（ 1 ） n 1 a n =2（ 1 ） n 122說明：通過對常數(shù) 1 的分解，進(jìn)行適當(dāng)組合，可得等比數(shù)列 a n 2 ，從而達(dá)到解決問題的目的。練習(xí) 、 1 數(shù)列 a n 滿足 a1 =1， 3an1an7 0 , 求數(shù)列 a n 的通項公式。解：由 3an 1 an 70 得 an 117an33設(shè) a n 1k1 (ank) ，比較系數(shù)得kk7解得 k73334 an7 是以1a171734為公比，以44為首項的等比數(shù)列34 an73( 1)n 1an7 3( 1) n 1443

13、4432、已知數(shù)列an滿足 a11，且 a13a2 ，求 an nn解：設(shè)an1t3(ant) ，則an132t1 ，an 113(an1)an1 是ant以 (a11)為首項,以3為公比的等比數(shù)列an1( a11)3n 12 3n 1an23n 11點評：求遞推式形如an1panq （ p、q 為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列 an 1pqp( an1q) 來求得 , 也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得1p很多的一種題型2、遞推式為 an 1panqn 1（ p、 q為常數(shù)）時，可同除qn 1，得an 1p an1 ，令 bnanqn 1qqnqn 從而化歸

14、為 an 1 panq （p、 q 為常數(shù)）型、例 10 已知數(shù)列an 滿足 a11， an3n2an1( n2) ， 求 an 解：將 an3n2an1 兩邊同除 3n ，得 an12an1an12 an13n3n3n3 3n1設(shè) bnann ，則 bn1 2 bn 1 令 bnt2 (bn 1t )bn2 bn 11 t33333t3 條件可化成 bn323)，數(shù)列bn3是以 b13a138為首項，(bn13332 為公比的等比數(shù)列bn38 ( 2) n1 因 bnann,38( 2 )n 1333anbn 3n3n (3)an3n 12n 2 333、形如 an 1pananb ( p1

15、、0，a 0)解法： 這種類型一般利用待定系數(shù)法 構(gòu)造等比數(shù)列，即令(1)()，與已知遞an 1x ny p anxn y推式比較，解出x, y ,從而轉(zhuǎn)化為anxny 是公比為 p 的等比數(shù)列。例 11:設(shè)數(shù)列 an： a14, an3an12n 1,( n2) ，求 an .解： 令 an 1x(n1)y3(anxny)化簡得： an 13an2xn2 yx2x2x1所以2 yx1解得y0，所以 an 1(n 1) 3(an n)又因為 a115，所以數(shù)列ann 是以 5 為首項， 3 為公比的等比數(shù)列。從而可得 ann53n 1, 所以 an53n 1 -n變式 :（ 2006，山東 ,

16、文 ,22,本小題滿分14 分）已知數(shù)列 an 中，a11、點（ n、2an 1 an）2在直線 y=x 上，其中 n=1,2,3( )令 bnan 1an3, 求證數(shù)列 bn 是等比數(shù)列；( )求數(shù)列 an 的通項；4、形如 an 1panan2bnc ( p1、0，a 0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an 1x(n1)2y(n1)cp(anxn2ync) ，與已知遞推式比較， 解出 x, y ,z.從而轉(zhuǎn)化為 anxn2ync是公比為 p 的等比數(shù)列。例 12:設(shè)數(shù)列 an： a14,an3an 12n21,(n2) ，求 an .5. 遞推公式為 an 2pan1q

17、an （其中 p， q 均為常數(shù)）。解法一 (待定系數(shù)法 )：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an2san 1t (an 1 san )其中 s， t 滿足stpstq解法二 (特征根法 )：對于由遞推公式 an2pan1qan ， a1,a2給出的數(shù)列an ，方程x2px q0 ，叫做數(shù)列an的特征方程。若x1 ,x2 是特征方程的兩個根，當(dāng) x1x2 時，數(shù)列 an的通項為 anAx1n 1Bx2n1 ，其中A ， B 由 a1,a2決定（即把 a1 , a2 , x1 , x2 和n1,2 ，代入 anAx1n1Bx2n1 ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）；當(dāng) x1x2 時，數(shù)列an 的通項為 an

18、( ABn) x1n1 ，其中A ， B 由 a1, a2決定（即把a(bǔ)1 , a2 , x1 , x2 和 n1,2 ，代入an( A Bn) x1n 1 ，得到關(guān)于 A 、 B 的方程組）。例 13:已知數(shù)列an中， a11, a22 , an 22 an 11 an ，求 an 。33變式 :1.已知數(shù)列an滿足 a11, a23,an 23an12an (nN* ).（ I）證明：數(shù)列an 1an 是等比數(shù)列；（ II ）求數(shù)列an的通項公式；（ III ）若數(shù)列 bnb1b1b1(anb*), 證明 bn滿足 4142.4 n1) n ( nN是等差數(shù)列2. 已知數(shù)列 an中， a11

19、,a22 ,an22 an 11 an ，求 an333. 已知數(shù)列 an中， Sn 是其前 n 項和，并且 Sn 14an2(n1,2,), a11 ，設(shè)數(shù)列 bnan12an (n 1,2,) ，求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列 cnan , (n1,2,) ，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；求數(shù)列an的通項公式及前n 項和。2n八：特征根法。1 、設(shè)已知數(shù)列 an 的項滿足 a1b, an 1cand ,其中 c0, c1, 求這個數(shù)列的通項公式。作出一個方程xcxd , 則當(dāng) x0a1 時， an 為常數(shù)列，即 ana1;當(dāng) x0a1時, anbnx0 ，其中 bn 是以 c 為公比的等比

20、數(shù)列，即 bnb1c n 1 ,b1 a1x0 .2. 對于由遞推公式an2pan 1qan ， a1, a2給出的數(shù)列an，方程 x2px q0 ，叫做數(shù)列an的特征方程。若x1, x2 是特征方程的兩個根，當(dāng)x1x2 時，數(shù)列 an的通項為 anAx1n 1Bx2n 1 ，其中 A ， B 由 a1,a2決定（即把 a1 ,a2 , x1, x2 和 n1,2 ，代入 anAx1n 1Bx2n1，得到關(guān)于 A、B 的方程組）；當(dāng) x1x2 時，數(shù)列an的通項為 an( ABn)x1n 1 ，其中A ， B 由 a1, a2決定（即把a(bǔ)1 , a2 , x1 , x2 和 n1,2，代入 a

21、n( A Bn) x1n 1 ，得到關(guān)于 A 、 B 的方程組）。例 14：（ 1）已知數(shù)列an 滿足 a1a,a2b,3an25an12an0(n0, nN ) ，求數(shù)列an的通項公式。解法一（待定系數(shù)迭加法）由 3an 25an 12an0 ，得an 2an 12 (an 1an ) ，且 a2a1b a 。3則數(shù)列an 1an是以 b a 為首項，2 為公比的等比數(shù)列，于是3an 1an(ba)( 2) n 1 。把 n1,2,3, n 代入，得3a2a1ba ，a3a2(b a) ( 2 ) ，3a4a3(b a) ( 2 ) 2 ，3anan1(ba)( 2) n 2 。3把以上各式

22、相加，得2221(2) n 1ana1)n 23(b a) 。(b a)1( )333123an 33( 2) n 1 ( ba)a3( ab)( 2) n 13b 2a 。33解法二（特征根法：這種方法一般不用于解答題）：數(shù)列an ： 3an2 5an 1 2an 0(n 0, n N ) ，a1a, a2 b 的特征方程是： 3x25x 2 0 。x11, x22,3anAx1n 1Bx2n 1A B ( 2 )n 1 。3又由 a1 a, a2b ，于是a A B 2bA B 3A3b2a3b 2a 3(a b)( 2 ) n 1B3(a故 anb)3(2) 已知數(shù)列解：作方程 x數(shù)列

23、bn 是以 an 滿足： an 11 x 2,則 x031為公比的等比數(shù)列31 an2, n N , a14, 求 an .33 .當(dāng) a14 時， a1 x0 , b1a1311.222.于是 bnb1 (1)n 111(1) n 1 ,an3bn311 (1 ) n 1 , n N .3232223九：不動點法，形如an 1panqra nh解法：如果數(shù)列 an 滿足下列條件：已知a1 的值且對于 nN ，都有 an 1panq （其中 p、q、r、h 均ranh為常數(shù)，且phqr , r0,a1hxpxqx0 時 , 則），那么，可作特征方程rx,當(dāng)特征方程有且僅有一根rh1是等差數(shù)列

24、;當(dāng)特征方程有兩個相異的根x1、 x2時，則anx1是等比數(shù)列。an x0anx2例 15：已知數(shù)列 an 滿足性質(zhì)：對于 nN, an 1an43, 求 an 的通項公式 .2an, 且 a13例： 已知數(shù)列 an 滿足：對于 nN , 都有 an 113an25an3.（ 1）若 a15, 求 an ;（ 2）若 a13, 求 an ;（ 3）若 a16, 求 an ;（4）當(dāng) a1 取哪些值時，無窮數(shù)列 an 不存在？變式 :（ 2005，重慶 ,文,22,本小題滿分 12 分）數(shù)列 an 滿足 a1 1且8an 1 an16an 1 2an 5 0( n 1). 記 bn1(n1).a

25、n12（）求 b1、 b2、 b3、 b4 的值；（）求數(shù)列 bn 的通項公式及數(shù)列 anbn 的前 n 項和 Sn .十：換元法： 類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例 16已知數(shù)列 an 滿足 an 114an1 24 an )， a11 ，求數(shù)列 an 的通項公式。(116解：令 bn124an，則 an1 (bn21)24故 an11(bn211)，代入 an 11(14an124an ) 得24161 (bn211)1 1 4 1 (bn2 1) bn 241624即 4bn21(bn3)2因為 b124an0 ，故 b124a0nn

26、 1n 1則 2bn 1bn1bn33 ，即 bn 1，22可化為 bn131 (bn3) ，2所以 bn3 是以 b13 124a1312413 2 為首項，以1 為公比的等比數(shù)列，因此2bn 32( 1 )n1(1 ) n 2 ，則 bn( 1) n23 ，即124an( 1 )n 23 ，得2222an2 ( 1)n( 1 )n1 。3423評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將1 24an的換元為 bn ，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化 bn 11 bn3形式，22從而可知數(shù)列 bn3 為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 bn3 的通項公式，最后再求出數(shù)列 an 的通項公式。例 18.已知數(shù)列an滿足 a11an 11an，求 an。，22a11cosan 11 an232a2 cosa3c