論文時間序列分析非平穩(wěn)時間序列建模實驗報告

1、實驗報告課程名稱： 時間序列分析 設計題目： 非平穩(wěn)時間序列建模 院 系： 電信學院 班 級： 設 計 者： 學 號： 指導教師： 設計時間： 2010-05-07 一、緒論穩(wěn)序列的直觀含義就是序列中不存在任何趨勢性和周期性,其統(tǒng)計意義就是一階矩為常數(shù)，二階矩存在且為時間間隔t的函數(shù)。但是在實際問題中，我們常遇到的序列，特別是反映社會、經(jīng)濟現(xiàn)象的序列，大多數(shù)并不平穩(wěn)，而是呈現(xiàn)出明顯的趨勢性或周期性。這時，我們就不能認為它是均值不變的平穩(wěn)過程，需要用如下更一般的模型來描述。其中,表示中隨時間變化的均值,它往往可以用多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)等描述，而是中剔除趨勢性或周期性后余下的部分，往往可以認

2、為是零均值的平穩(wěn)過程，因而可以用arma模型來描述。具體的處理方法可分為兩大類：一類是通過某些數(shù)學方法剔除掉中所包含的趨勢性或周期性（即），余下的可按平穩(wěn)過程進行分析與建模，最后再經(jīng)反運算由的結果得出的有關結果。另一類方法是具體求出的擬合形式，求出，然后對殘差序列進行分析，該殘差序列可以認為是平穩(wěn)的。利用前述方法可以求出，最后綜合可得。如果我們對的形式并不敢興趣，則可以采取第一類方法，否則可以用第二類方法。需要再強調的一點是，時間序列非平穩(wěn)性的表現(xiàn)是多種多樣的，這里我們所能分析處理的僅是一些較為特殊的非平穩(wěn)性。二、建模原理2.1平穩(wěn)化方法2.1.1差分一般而言，若某序列具有線性的趨勢，則可以通

3、過對其進行一次差分而將線性趨勢剔除掉，然后對差分后的序列擬合arma模型進行分析與預測，最后再通過差分的反運算得到的有關結果。做一次差分可記為，則 (1)如果對一階差分結果再進行差分，則稱為高階差分，差分的次數(shù)稱為差分的階，d階差分記為。2.2.2 季節(jié)差分反映經(jīng)濟現(xiàn)象的序列，不少都具有周期性，例如，剛收獲的小麥，由于供應充足，價格一般是較低的，然后隨著供應量的減少，價格會逐漸上漲，直至下一個收獲季節(jié)又重新開始這一周期。設為一含有周期s的周期性波動序列，則為各相應周期點的數(shù)值，它們則表現(xiàn)出非常相近或呈現(xiàn)某一趨勢的特征，如果把每一觀察值同下一周期相應時刻的觀察值相減，這就叫季節(jié)差分，它可以消除周

4、期性的影響。季節(jié)差分常用表示,其中s為周期。2.2.3對數(shù)變換與差分運算的結合運用如果序列含有指數(shù)趨勢，則可以通過取對數(shù)將指數(shù)趨勢轉化為線性趨勢，然后再進行差分以消除線性趨勢。2.2齊次非平穩(wěn)在除去局部水平或趨勢以外，某些非平穩(wěn)時間序列顯示出一定的同質性，即序列的某一部分與任何其他部分極其相似。這樣的序列往往經(jīng)過若干次差分后可轉化為平穩(wěn)序列，這種非平穩(wěn)性稱為齊次非平穩(wěn)性，差分的次數(shù)稱為齊次性的階。實際中較為常見的是一階和二階的齊次非平穩(wěn)性，表現(xiàn)為兩種情形：第一種是序列呈現(xiàn)出水平非平穩(wěn)性，除了局部水平不同，序列是同質的，也就是說序列的一部分和其他部分非常相似，只是在垂直方向上位置不同。這樣的序列

5、經(jīng)過一次差分后可轉化為平穩(wěn)序列。第二種是序列呈現(xiàn)出水平和斜率的非平穩(wěn)性，序列既沒有固定的水平，也沒有固定斜率，除此之外，序列是同質的，這樣的序列經(jīng)過兩次差分后可轉化為平穩(wěn)序列。2.3 arima模型對于d階齊次非平穩(wěn)序列而言，是一個平穩(wěn)序列，設其適合armra（p,q）模型，即 （2）也可寫作： （3）其中： （4） （5）稱此模型為求和自回歸滑動平均模型（integreated autoregressive moving average model），簡記為arima（p,d,q），其中p,d,q分別表示自回歸階數(shù)、差分階數(shù)和移動平均階數(shù)。之所以稱之為求和自回歸滑動平均模型,是因為差分的反運

6、算即位求和運算。常見的arima模型有以下幾種：1.arima（0,1,1） （6）也可寫作： （7）這就是說，是1階齊次非平穩(wěn)序列，一次差分后適合ma（1）模型，值得注意的是，不能認為是平穩(wěn)arma（1,1）序列，因為其特征根r=1，不在單位圓內。2.arima（0,2,2） （8）即序列兩次差分后適合ma(2)模型。3.arima（1,1,1） （9）即經(jīng)一次差分適合arma（1,1）模型。三、仿真試驗如圖3-1所示,為某市1985年-1993年各月工業(yè)生產(chǎn)總值(數(shù)據(jù)見附錄1)?？梢钥闯鰔t具有明顯的周期性，做一次差分yt=xt-xt-12，剔除掉周期性。這樣就可以按照平穩(wěn)序列線性模型的知

7、識來進行模式識別，參數(shù)估計等。1.求出差分后的數(shù)據(jù)的均值，并使序列零均值化，也就是將yt-,得到的序列為零均值的平穩(wěn)隨機序列,如圖3-2所示。2.求wt的樣本自相關函數(shù)和樣本偏相關函數(shù)，本例中選取的k=0，1，2，24,以保證k相對于n不能取太大。 （10） （11） （12）圖3-1:某市1985年-1993年各月工業(yè)生產(chǎn)總值xt圖3-2:零均值化后的平穩(wěn)序列wt3.根據(jù)樣本自相關函數(shù)和樣本偏相關函數(shù)確定模型類別和定階。如圖3-3和圖3-4可以看出，當k2時，有,并且呈現(xiàn)拖尾現(xiàn)象，故可判定此模型為ar（2）模型。圖3-3:樣本自相關函數(shù)圖3-4:樣本偏相關函數(shù)4.參數(shù)估計。，帶入數(shù)據(jù)可得，。

8、這樣就得到了wt的隨機線性模型。在進行預報時，可以先對進行預報，然后加上均值得到的預報值,然后在反差分得到原始序列的預報值。附錄11、 某市1985-1993年各月工業(yè)生產(chǎn)總值(單位:萬元)1985.0110.939.3411.0010.9811.2911.841985.0710.6210.9012.7712.1512.2412.301986.019.9110.2410.4110.4711.5112.451986.0711.3211.7312.6113.0413.1414.151987.0110.8510.3012.7412.7313.0814.271987.0713.1813.7514.42

9、13.9514.5314.911988.0112.9411.4314.3614.5714.2515.861988.0715.1815.9416.5416.9016.8818.101989.0113.7010.8815.7916.3617.2217.751989.0716.6216.9617.6916.4017.5119.731990.0113.7312.8515.6816.7917.5918.511990.0716.8017.2720.8319.1821.4023.761991.0115.7313.1417.2417.9318.8219.121991.0717.7019.8721.1721.4

10、422.1422.451992.0117.8816.0020.2921.0321.7822.511992.0721.5522.0122.6823.0224.5524.671993.0119.6117.1522.4624.1923.4026.261993.0722.9124.0323.9424.1225.8728.252、樣本自相關函數(shù)的值1234560.42820.29070.18780.04210.08700.04787891011120.00230.04580.08490.0035-0.0483-0.1972131415161718-0.00698-0.0568-0.00630.15230

11、.14110.11651920212223240.06540.0852-0.0595-0.0880-0.0112-0.0633、樣本偏相關函數(shù)的值1234560.42820.13140.0291-0.09300.0855-8.1917e-04789101112-0.03830.04470.0852-0.0834-0.0865-0.18781314151617180.1346-0.00170.04830.17050.0707-0.0456192021222324-0.06620.1134-0.1357-0.11980.0966-0.0721附錄2matlab源代碼x=10.93,9.34,11.

12、00,10.98,11.29,11.84, 10.62,10.90,12.77,12.15,12.24,12.30, 9.91,10.24,10.41,10.47,11.51,12.45, 11.32,11.73,12.61,13.04,13.14,14.15, 10.85,10.30,12.74,12.73,13.08,14.27, 13.18,13.75,14.42,13.95,14.53,14.91, 12.94,11.43,14.36,14.57,14.25,15.86, 15.18,15.94,16.54,16.90,16.88,18.10, 13.70,10.88,15.79,16

13、.36,17.22,17.75, 16.62,16.96,17.69,16.40,17.51,19.73, 13.73,12.85,15.68,16.79,17.59,18.51, 16.80,17.27,20.83,19.18,21.40,23.76, 15.73,13.14,17.24,17.93,18.82,19.12, 17.70,19.87,21.17,21.44,22.14,22.45, 17.88,16.00,20.29,21.03,21.78,22.51, 21.55,22.01,22.68,23.02,24.55,24.67, 19.61,17.15,22.46,23.19,

14、23.40,26.26, 22.91,24.03,23.94,24.12,25.87,28.25; %輸入原始數(shù)據(jù)m=linspace(1985,1994,108);x2=zeros(1,108);for i=1:18 x2(1+6*(i-1):6*i)=x(i,:);endplot(m,x2) %x2為原始序列m2=linspace(1986,1994,96);y=zeros(1,96);for i=1:96 y(i)=x2(i+12)-x2(i);endfigureplot(m2,y) %y為季節(jié)差分后的序列save x2save yload ys=sum(y);m=s/length(y)

15、; %求序列均值y2=zeros(1,length(y);for i=1:length(y) y2(i)=y(i)-m;endplot(m2,y2); %y2為零均值化后的序列k=24; %取k=24r0=(1/length(y2)*sum(y2.2); %求r0r=zeros(1,24); %求rkk=1:24;su=0;for i=1:24 for j=1:length(y2)-i su=su+y2(j)*y2(j+i); end r(i)=(1/length(y2)*su; su=0;endp=r/r0; % p為自相關函數(shù)%求偏相關函數(shù)fai=zeros(1,24);fai(1)=p(1);for i=2:24; p2=zeros(1,i); p2(1)=1; p2(2:i)=p(1:(i-1); t=toeplitz(p2); t2=inv(t); an=t2*p(1:i); fai(i)=an(i);endfai2=zeros(1,25);fai2(1)=1;fai2(2:25)=fai; %fai2為加上fai00后的偏相關函數(shù)p3=zeros(1,25);p3(1)=1;p3(2:25)=p;