(2021年整理)初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)

1、初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié) 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺(jué)得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)的全部?jī)?nèi)容。初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)如圖（a)，點(diǎn)a、b在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)c，使ac與bc的距離之和最小,我們可以作出點(diǎn)b關(guān)

2、于l的對(duì)稱點(diǎn)b，連接a b與直線l交于點(diǎn)c，則點(diǎn)c即為所求（1)實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，o的直徑cd為4，點(diǎn)a 在o 上，acd=30，b 為弧ad 的中點(diǎn)，p為直徑cd上一動(dòng)點(diǎn)，則bp+ap的最小值為_(kāi)（2）知識(shí)拓展：如圖(c），在rtabc中，ab=10,bac=45,bac的平分線交bc于點(diǎn)d，e、f分別是線段ad和ab上的動(dòng)點(diǎn),求be+ef的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程2（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖(1）：若點(diǎn)a、b在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)p，使ap+bp的值最小,做法如下： 作點(diǎn)b關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)b，連接ab，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p,線段ab的長(zhǎng)度即為ap+bp的最小值 如圖（2

3、）：在等邊三角形abc中，ab=2，點(diǎn)e是ab的中點(diǎn),ad是高，在ad上找一點(diǎn)p,使bp+pe的值最小，做法如下：作點(diǎn)b關(guān)于ad的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)c重合,連接ce交ad于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p,故bp+pe的最小值為_(kāi) （2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3)：已知o的直徑cd為2，的度數(shù)為60，點(diǎn)b是的中點(diǎn)，在直徑cd上作出點(diǎn)p，使bp+ap的值最小，則bp+ap的值最小，則bp+ap的最小值為_(kāi) （3）拓展延伸如圖（4）：點(diǎn)p是四邊形abcd內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊ab、bc上作出點(diǎn)m，點(diǎn)n,使pm+pn+mn的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法如圖（1）,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站,分別向a、b兩鎮(zhèn)供氣泵站

4、修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法他把管道l看成一條直線(圖（2),問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)p，使ap與bp的和最小他的做法是這樣的:作點(diǎn)b關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)b連接ab交直線l于點(diǎn)p，則點(diǎn)p為所求請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題如圖在abc中，點(diǎn)d、e分別是ab、ac邊的中點(diǎn),bc=6，bc邊上的高為4，請(qǐng)你在bc邊上確定一點(diǎn)p，使pde得周長(zhǎng)最?。?)在圖中作出點(diǎn)p（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出pde周長(zhǎng)的最小值：_4（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)a，b在直線l同

5、側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)p，使ap+bp的值最小做法如下：作點(diǎn)b關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)b，連接ab，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p再如（b）圖，在等邊三角形abc中，ab=2，點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)，ad是高,在ad上找一點(diǎn)p,使bp+pe的值最小做法如下:作點(diǎn)b關(guān)于ad的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)c重合，連接ce交ad于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，故bp+pe的最小值為_(kāi)(2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c)圖，已知o的直徑cd為4，aod的度數(shù)為60，點(diǎn)b是的中點(diǎn)，在直徑cd上找一點(diǎn)p，使bp+ap的值最小,并求bp+ap的最小值（3）拓展延伸：如（d)圖,在四邊形abcd的對(duì)角線ac上找一點(diǎn)p，使apb=apd保留作圖痕跡,不

6、必寫(xiě)出作法5幾何模型：條件：如下圖，a、b是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題:在直線l上確定一點(diǎn)p，使pa+pb的值最小方法：作點(diǎn)a關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)a，連接ab交l于點(diǎn)p，則pa+pb=ab的值最小（不必證明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形abcd的邊長(zhǎng)為2,e為ab的中點(diǎn)，p是ac上一動(dòng)點(diǎn)連接bd,由正方形對(duì)稱性可知,b與d關(guān)于直線ac對(duì)稱連接ed交ac于p，則pb+pe的最小值是_；(2）如圖2,o的半徑為2,點(diǎn)a、b、c在o上，oaob，aoc=60,p是ob上一動(dòng)點(diǎn)，求pa+pc的最小值；（3）如圖3，aob=45，p是aob內(nèi)一點(diǎn)，po=10,q、r分別是oa、ob上的動(dòng)點(diǎn)，求pqr周長(zhǎng)的

7、最小值6如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（2，3）,b(4，1)(1）若p(p,0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)p=_時(shí)，pab的周長(zhǎng)最短；(2）若c（a，0），d(a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a=_時(shí)，四邊形abdc的周長(zhǎng)最短；（3）設(shè)m，n分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)m（m,0）、n（0，n），使四邊形abmn的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m=_，n=_（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由7需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng),使飛機(jī)場(chǎng)到a,b兩個(gè)城市的距離之和最小，請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的位置8如圖所示，在一筆直的公路mn的同一旁有兩個(gè)新開(kāi)發(fā)區(qū)a，b，已知ab=

8、10千米,直線ab與公路mn的夾角aon=30，新開(kāi)發(fā)區(qū)b到公路mn的距離bc=3千米（1）新開(kāi)發(fā)區(qū)a到公路mn的距離為_(kāi)；（2)現(xiàn)要在mn上某點(diǎn)p處向新開(kāi)發(fā)區(qū)a，b修兩條公路pa，pb，使點(diǎn)p到新開(kāi)發(fā)區(qū)a，b的距離之和最短此時(shí)pa+pb=_（千米)9。如圖:(1）若把圖中小人平移,使點(diǎn)a平移到點(diǎn)b，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出平移后的小人；（2)若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)p處喝水后，再游到b，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫(huà)出點(diǎn)p的位置10如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形abb1a1的對(duì)稱軸為y軸（1）請(qǐng)畫(huà)出：點(diǎn)a、b關(guān)于原點(diǎn)o的對(duì)稱點(diǎn)a2、b2（應(yīng)保留畫(huà)圖痕跡，不必寫(xiě)畫(huà)法，也不必證

9、明）；（2）連接a1a2、b1b2（其中a2、b2為(1）中所畫(huà)的點(diǎn)），試證明:x軸垂直平分線段a1a2、b1b2；(3)設(shè)線段ab兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（2,4）、b(4，2),連接(1）中a2b2,試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)c,使a1b1c與a2b2c的周長(zhǎng)之和最小?若存在，求出點(diǎn)c的坐標(biāo)（不必說(shuō)明周長(zhǎng)之和最小的理由)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由11某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路l旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地a、b的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工,以提高經(jīng)濟(jì)效益請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置c，使a、b兩地到加工廠c的運(yùn)輸路程之和最短（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法和證明

10、）12閱讀理解如圖1,abc中，沿bac的平分線ab1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a1c的平分線a1b2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿bnanc的平分線anbn+1折疊，點(diǎn)bn與點(diǎn)c重合,無(wú)論折疊多少次,只要最后一次恰好重合,bac是abc的好角小麗展示了確定bac是abc的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形abc頂角bac的平分線ab1折疊,點(diǎn)b與點(diǎn)c重合;情形二：如圖3，沿bac的平分線ab1折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a1c的平分線a1b2折疊，此時(shí)點(diǎn)b1與點(diǎn)c重合探究發(fā)現(xiàn)(1）abc中，b=2c，經(jīng)過(guò)兩次折疊，bac是不是abc的好角?_(填“是”或“不是）(

11、2)小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了bac是abc的好角，請(qǐng)?zhí)骄縝與c（不妨設(shè)bc)之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊bac是abc的好角,則b與c(不妨設(shè)bc）之間的等量關(guān)系為_(kāi)應(yīng)用提升(3)小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15、60、105，發(fā)現(xiàn)60和105的兩個(gè)角都是此三角形的好角請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角13如圖，abc中ab=ac，bc=6,點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)沿射線ba移動(dòng),同時(shí)，點(diǎn)q從點(diǎn)c出發(fā)沿線段ac的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)p、q移動(dòng)的速度相同,pq與直線bc相交于點(diǎn)d（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)p為ab的中點(diǎn)時(shí)，求cd

12、的長(zhǎng)；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)p作直線bc的垂線垂足為e，當(dāng)點(diǎn)p、q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段be、de、cd中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由；14（2012東城區(qū)二模）已知:等邊abc中，點(diǎn)o是邊ac，bc的垂直平分線的交點(diǎn)，m,n分別在直線ac,bc上，且mon=60（1）如圖1，當(dāng)cm=cn時(shí)，m、n分別在邊ac、bc上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出am、cn、mn三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2）如圖2,當(dāng)cmcn時(shí)，m、n分別在邊ac、bc上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明;若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;（3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)m在邊ac上,點(diǎn)n在bc 的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段am、cn、mn三者之間的數(shù)量

13、關(guān)系15如圖,線段cd垂直平分線段ab，ca的延長(zhǎng)線交bd的延長(zhǎng)線于e，cb的延長(zhǎng)線交ad的延長(zhǎng)線于f,求證：de=df16如圖，在abc和dcb中，ab=dc，ac=db，ac與db交于點(diǎn)m求證：（1）abcdcb；（2）點(diǎn)m在bc的垂直平分線上17如圖，abc的邊bc的垂直平分線de交bac的外角平分線ad于d，e為垂足,dfab于f，且abac，求證：bf=ac+af18已知abc的角平分線ap與邊bc的垂直平分線pm相交于點(diǎn)p，作pkab，plac，垂足分別是k、l,求證:bk=cl19某私營(yíng)企業(yè)要修建一個(gè)加油站，如圖,其設(shè)計(jì)要求是,加油站到兩村a、b的距離必須相等，且到兩條公路m、n

14、的距離也必須相等,那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置（要有作圖痕跡）20如圖，在abc中，ab=ac,a=120,bc=9cm,ab的垂直平分線mn交bc于m，交ab于n，求bm的長(zhǎng)21如圖，在abc中，bac的平分線與bc的垂直平分線pq相交于點(diǎn)p,過(guò)點(diǎn)p分別作pnab于n，pmac于點(diǎn)m，求證：bn=cm22如圖己知在abc中,c=90，b=15，de垂直平分ab,e為垂足交bc于d,bd=16cm，求ac長(zhǎng)參考答案與試題解析一解答題（共22小題）1(2013日照)問(wèn)題背景：如圖（a），點(diǎn)a、b在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)c,使ac與bc的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)b關(guān)于

15、l的對(duì)稱點(diǎn)b，連接a b與直線l交于點(diǎn)c，則點(diǎn)c即為所求（1)實(shí)踐運(yùn)用:如圖（b)，已知，o的直徑cd為4，點(diǎn)a 在o 上，acd=30，b 為弧ad 的中點(diǎn)，p為直徑cd上一動(dòng)點(diǎn)，則bp+ap的最小值為2（2）知識(shí)拓展：如圖（c）,在rtabc中，ab=10，bac=45,bac的平分線交bc于點(diǎn)d，e、f分別是線段ad和ab上的動(dòng)點(diǎn)，求be+ef的最小值,并寫(xiě)出解答過(guò)程考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題3113559分析：(1）找點(diǎn)a或點(diǎn)b關(guān)于cd的對(duì)稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和mn的交點(diǎn)p就是所求作的位置根據(jù)題意先求出cae，再根據(jù)勾股定理求出ae，即可得出pa+pb的最小值；（2）

16、首先在斜邊ac上截取ab=ab，連結(jié)bb，再過(guò)點(diǎn)b作bfab,垂足為f，交ad于e,連結(jié)be,則線段bf的長(zhǎng)即為所求解答：解：（1）作點(diǎn)b關(guān)于cd的對(duì)稱點(diǎn)e,連接ae交cd于點(diǎn)p此時(shí)pa+pb最小，且等于ae作直徑ac,連接ce根據(jù)垂徑定理得弧bd=弧deacd=30，aod=60，doe=30,aoe=90，cae=45，又ac為圓的直徑,aec=90，c=cae=45，ce=ae=ac=2,即ap+bp的最小值是2故答案為：2；（2)如圖,在斜邊ac上截取ab=ab，連結(jié)bbad平分bac，點(diǎn)b與點(diǎn)b關(guān)于直線ad對(duì)稱過(guò)點(diǎn)b作bfab，垂足為f，交ad于e，連結(jié)be，則線段bf的長(zhǎng)即為所求（

17、點(diǎn)到直線的距離最短） 在rtafb中，bac=45，ab=ab=10，bf=absin45=absin45=10=5,be+ef的最小值為點(diǎn)評(píng):此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)p位置是解題關(guān)鍵2(2013六盤(pán)水）（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點(diǎn)a、b在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)p,使ap+bp的值最小,做法如下： 作點(diǎn)b關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)b，連接ab，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，線段ab的長(zhǎng)度即為ap+bp的最小值 如圖（2）：在等邊三角形abc中，ab=2,點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)，ad是高，在ad上找一點(diǎn)p,使bp+pe的值最小，做法如下：作

18、點(diǎn)b關(guān)于ad的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)c重合,連接ce交ad于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，故bp+pe的最小值為 （2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3）：已知o的直徑cd為2，的度數(shù)為60，點(diǎn)b是的中點(diǎn),在直徑cd上作出點(diǎn)p，使bp+ap的值最小,則bp+ap的值最小,則bp+ap的最小值為 （3）拓展延伸如圖（4)：點(diǎn)p是四邊形abcd內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊ab、bc上作出點(diǎn)m,點(diǎn)n，使pm+pn+mn的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法考點(diǎn)：圓的綜合題；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題3113559專題：壓軸題分析:（1)觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到ce的長(zhǎng)為bp+pe的最小值；由ab=2,點(diǎn)e是ab的中點(diǎn),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ce

19、ab，bce=bca=30,be=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得ce=；(2）實(shí)踐運(yùn)用:過(guò)b點(diǎn)作弦becd，連結(jié)ae交cd于p點(diǎn)，連結(jié)ob、oe、oa、pb，根據(jù)垂徑定理得到cd平分be，即點(diǎn)e與點(diǎn)b關(guān)于cd對(duì)稱,則ae的長(zhǎng)就是bp+ap的最小值;由于的度數(shù)為60,點(diǎn)b是的中點(diǎn)得到boc=30，aoc=60，所以aoe=60+30=90，于是可判斷oae為等腰直角三角形,則ae=oa=；(3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)p關(guān)于ab和bc的對(duì)稱點(diǎn)e和f，然后連結(jié)ef,ef交ab于m、交bc于n解答：解：(1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（2)，ce的長(zhǎng)為bp+pe的最小值,在等邊三角形abc中，ab=2，點(diǎn)

20、e是ab的中點(diǎn)ceab,bce=bca=30，be=1，ce=be=；故答案為；（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖(3），過(guò)b點(diǎn)作弦becd,連結(jié)ae交cd于p點(diǎn)，連結(jié)ob、oe、oa、pb，becd，cd平分be，即點(diǎn)e與點(diǎn)b關(guān)于cd對(duì)稱，的度數(shù)為60，點(diǎn)b是的中點(diǎn),boc=30，aoc=60，eoc=30，aoe=60+30=90，oa=oe=1，ae=oa=,ae的長(zhǎng)就是bp+ap的最小值故答案為；（3）拓展延伸如圖(4）點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到,同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題3（2012涼山州）在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候

21、,老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題如圖（1)，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向a、b兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短?你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法他把管道l看成一條直線（圖（2)）,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為,要在直線l上找一點(diǎn)p，使ap與bp的和最小他的做法是這樣的：作點(diǎn)b關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)b連接ab交直線l于點(diǎn)p,則點(diǎn)p為所求請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題如圖在abc中，點(diǎn)d、e分別是ab、ac邊的中點(diǎn),bc=6，bc邊上的高為4,請(qǐng)你在bc邊上確定一點(diǎn)p,使pde得周長(zhǎng)最?。?)在圖中作出點(diǎn)p（保留作圖痕跡

22、，不寫(xiě)作法）（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出pde周長(zhǎng)的最小值：8考點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題3113559專題:壓軸題分析：（1）根據(jù)提供材料de不變，只要求出dp+pe的最小值即可，作d點(diǎn)關(guān)于bc的對(duì)稱點(diǎn)d，連接de,與bc交于點(diǎn)p,p點(diǎn)即為所求；（2)利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出de的值，即可得出答案解答：解：(1）作d點(diǎn)關(guān)于bc的對(duì)稱點(diǎn)d，連接de,與bc交于點(diǎn)p，p點(diǎn)即為所求；(2）點(diǎn)d、e分別是ab、ac邊的中點(diǎn)，de為abc中位線,bc=6，bc邊上的高為4，de=3，dd=4，de=5,pde周長(zhǎng)的最小值為：de+de=3+5=8,故答案為:8點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑以及三角形中

23、位線的知識(shí)，根據(jù)已知得出要求pde周長(zhǎng)的最小值，求出dp+pe的最小值即可是解題關(guān)鍵4（2010淮安）（1)觀察發(fā)現(xiàn):如(a）圖,若點(diǎn)a，b在直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)p，使ap+bp的值最小做法如下:作點(diǎn)b關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)b，連接ab，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p再如（b）圖,在等邊三角形abc中,ab=2，點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)，ad是高，在ad上找一點(diǎn)p,使bp+pe的值最小做法如下：作點(diǎn)b關(guān)于ad的對(duì)稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)c重合，連接ce交ad于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p,故bp+pe的最小值為（2）實(shí)踐運(yùn)用：如(c）圖，已知o的直徑cd為4，aod的度數(shù)為60，點(diǎn)b是的中點(diǎn),在直徑cd上找一點(diǎn)

24、p,使bp+ap的值最小,并求bp+ap的最小值（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形abcd的對(duì)角線ac上找一點(diǎn)p，使apb=apd保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題3113559分析:（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，ceab,在直角bce中，bec=90bc=2，be=1，由勾股定理可求出ce的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)果;（2）要在直徑cd上找一點(diǎn)p，使pa+pb的值最小，設(shè)a是a關(guān)于cd的對(duì)稱點(diǎn),連接ab，與cd的交點(diǎn)即為點(diǎn)p此時(shí)pa+pb=ab是最小值，可證oab是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果(3）畫(huà)點(diǎn)b關(guān)于ac的對(duì)稱點(diǎn)b,延長(zhǎng)db交ac于點(diǎn)p則點(diǎn)p即為所求解答：解：（1)bp

25、+pe的最小值=（2)作點(diǎn)a關(guān)于cd的對(duì)稱點(diǎn)a,連接ab，交cd于點(diǎn)p，連接oa，aa，ob點(diǎn)a與a關(guān)于cd對(duì)稱，aod的度數(shù)為60，aod=aod=60，pa=pa，點(diǎn)b是的中點(diǎn)，bod=30,aob=aod+bod=90，o的直徑cd為4，oa=oa=2，ab=2pa+pb=pa+pb=ab=2（3)如圖d：首先過(guò)點(diǎn)b作bbac于o,且ob=ob，連接db并延長(zhǎng)交ac于p（由ac是bb的垂直平分線，可得apb=apd）點(diǎn)評(píng):此題主要考查軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將求折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段問(wèn)題,其說(shuō)明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊5（2009漳州）幾何模

26、型:條件：如下圖，a、b是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)p，使pa+pb的值最小方法：作點(diǎn)a關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)a，連接ab交l于點(diǎn)p，則pa+pb=ab的值最?。ú槐刈C明)模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形abcd的邊長(zhǎng)為2，e為ab的中點(diǎn),p是ac上一動(dòng)點(diǎn)連接bd,由正方形對(duì)稱性可知，b與d關(guān)于直線ac對(duì)稱連接ed交ac于p，則pb+pe的最小值是；（2）如圖2,o的半徑為2，點(diǎn)a、b、c在o上,oaob，aoc=60,p是ob上一動(dòng)點(diǎn)，求pa+pc的最小值；（3）如圖3,aob=45,p是aob內(nèi)一點(diǎn),po=10，q、r分別是oa、ob上的動(dòng)點(diǎn),求pqr周長(zhǎng)的最小值考點(diǎn)：軸對(duì)稱-

27、最短路線問(wèn)題3113559專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析:（1）由題意易得pb+pe=pd+pe=de，在ade中，根據(jù)勾股定理求得即可；（2）作a關(guān)于ob的對(duì)稱點(diǎn)a，連接ac，交ob于p,求ac的長(zhǎng)，即是pa+pc的最小值；(3）作出點(diǎn)p關(guān)于直線oa的對(duì)稱點(diǎn)m，關(guān)于直線ob的對(duì)稱點(diǎn)n，連接mn，它分別與oa，ob的交點(diǎn)q、r，這時(shí)三角形pef的周長(zhǎng)=mn,只要求mn的長(zhǎng)就行了解答：解：（1)四邊形abcd是正方形,ac垂直平分bd，pb=pd，由題意易得：pb+pe=pd+pe=de，在ade中，根據(jù)勾股定理得，de=；(2）作a關(guān)于ob的對(duì)稱點(diǎn)a,連接ac，交ob于p，pa+pc的最小值即為ac

28、的長(zhǎng)，aoc=60aoc=120作odac于d，則aod=60oa=oa=2ad=；(3）分別作點(diǎn)p關(guān)于oa、ob的對(duì)稱點(diǎn)m、n，連接om、on、mn，mn交oa、ob于點(diǎn)q、r，連接pr、pq，此時(shí)pqr周長(zhǎng)的最小值等于mn由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，om=on=op=10，moa=poa，nob=pob，mon=2aob=245=90，在rtmon中，mn=10即pqr周長(zhǎng)的最小值等于10點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對(duì)稱最短路線的問(wèn)題,綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí)6（2006湖州）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(2，3），b(4，1）(1）若p（p，0）

29、是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p=時(shí)，pab的周長(zhǎng)最短；（2）若c（a，0)，d（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)a=時(shí)，四邊形abdc的周長(zhǎng)最短；（3）設(shè)m,n分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)m（m，0)、n(0,n)，使四邊形abmn的周長(zhǎng)最短?若存在，請(qǐng)求出m=，n=（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn):軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)3113559專題:壓軸題分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出并找到b(4，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是b，其坐標(biāo)為（4,1）,進(jìn)而可得直線ab的解析式，進(jìn)而可得答案；（2）過(guò)a點(diǎn)作aex軸于點(diǎn)e，且延長(zhǎng)ae，取ae=ae做點(diǎn)f（1，1）,連接af

30、利用兩點(diǎn)間的線段最短，可知四邊形abdc的周長(zhǎng)最短等于af+cd+ab，從而確定c點(diǎn)的坐標(biāo)值(3)根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì),可得存在使四邊形abmn周長(zhǎng)最短的點(diǎn)m、n，當(dāng)且僅當(dāng)m=,n=；時(shí)成立解答：解:（1）設(shè)點(diǎn)b（4，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是b，其坐標(biāo)為（4,1），設(shè)直線ab的解析式為y=kx+b，把a(bǔ)（2,3），b（4，1）代入得:,解得，y=2x7，令y=0得x=，即p=（2)過(guò)a點(diǎn)作aex軸于點(diǎn)e，且延長(zhǎng)ae，取ae=ae做點(diǎn)f(1，1），連接af那么a(2，3）直線af的解析式為，即y=4x5，c點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，0)，且在直線af上,a=（3）存在使四邊形abmn周長(zhǎng)最短的點(diǎn)m、n，作a關(guān)于

31、y軸的對(duì)稱點(diǎn)a，作b關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)b，連接ab，與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)m、n,a（2，3）,b（4,1)，直線ab的解析式為:y=x，m(，0），n（0，)m=，n=點(diǎn)評(píng)：考查圖形的軸對(duì)稱在實(shí)際中的運(yùn)用,同時(shí)考查了根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式,運(yùn)用解析式求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識(shí)7（2007慶陽(yáng)）需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)到a，b兩個(gè)城市的距離之和最小,請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的位置考點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題3113559專題：作圖題分析：利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可作點(diǎn)a關(guān)于公路的對(duì)稱點(diǎn)a，連接ab，與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)p的位置解答:解：點(diǎn)p就是飛機(jī)場(chǎng)所在的位置(5分）點(diǎn)評(píng)：本題主要是利用軸對(duì)稱圖形

32、來(lái)求最短的距離用到的知識(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短8(2006貴港）如圖所示，在一筆直的公路mn的同一旁有兩個(gè)新開(kāi)發(fā)區(qū)a,b,已知ab=10千米，直線ab與公路mn的夾角aon=30，新開(kāi)發(fā)區(qū)b到公路mn的距離bc=3千米(1）新開(kāi)發(fā)區(qū)a到公路mn的距離為8；（2）現(xiàn)要在mn上某點(diǎn)p處向新開(kāi)發(fā)區(qū)a，b修兩條公路pa,pb，使點(diǎn)p到新開(kāi)發(fā)區(qū)a，b的距離之和最短此時(shí)pa+pb=14（千米）考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題3113559專題:計(jì)算題；壓軸題分析：（1）先求出ob的長(zhǎng)，從而得出oa的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離（2)根據(jù)切線的性質(zhì)得ef=cd=bc=3,af=ae+ef=ae+bc=11,再根

33、據(jù)余弦概念求解解答：解：（1）bc=3，aoc=30，ob=6過(guò)點(diǎn)a作aemn于點(diǎn)e,ao=ab+ob=16，ae=8即新開(kāi)發(fā)區(qū)a到公路的距離為8千米；（2）過(guò)d作dfae的延長(zhǎng)線(點(diǎn)d是點(diǎn)b關(guān)于mn的對(duì)稱點(diǎn)),垂足為f則ef=cd=bc=3，af=ae+ef=ae+bc=11，過(guò)b作bgae于g，bg=df，bg=abcos30=5，,連接pb，則pb=pd，pa+pb=pa+pd=ad=14（千米）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生利用軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)綜合解三角形的能力9（2006巴中)如圖:（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn)a平移到點(diǎn)b，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出平移后的小人；（2)若圖中小人是一名游泳者的位置,他要先

34、游到岸邊l上點(diǎn)p處喝水后，再游到b，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫(huà)出點(diǎn)p的位置考點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題；作圖-軸對(duì)稱變換;作圖-平移變換3113559專題:作圖題分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點(diǎn)b,再利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，找到點(diǎn)a的對(duì)稱點(diǎn),連接a1b與l相交于點(diǎn)p，即為所求解答：解：點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平移變換與最短線路問(wèn)題最短線路問(wèn)題一般是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解題，通過(guò)作軸對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可求出所求的點(diǎn)作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)；確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn);利用第一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)

35、確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；按原圖形順序依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn),所得到的圖形即為平移后的圖形10（2003泉州)如圖,在直角坐標(biāo)系中,等腰梯形abb1a1的對(duì)稱軸為y軸(1)請(qǐng)畫(huà)出：點(diǎn)a、b關(guān)于原點(diǎn)o的對(duì)稱點(diǎn)a2、b2(應(yīng)保留畫(huà)圖痕跡，不必寫(xiě)畫(huà)法，也不必證明)；(2）連接a1a2、b1b2(其中a2、b2為（1）中所畫(huà)的點(diǎn)),試證明：x軸垂直平分線段a1a2、b1b2；（3）設(shè)線段ab兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（2，4）、b(4，2），連接（1）中a2b2，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)c，使a1b1c與a2b2c的周長(zhǎng)之和最??？若存在，求出點(diǎn)c的坐標(biāo)（不必說(shuō)明周長(zhǎng)之和最小的理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：作圖-

36、軸對(duì)稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題3113559專題:作圖題；證明題；壓軸題；探究型分析:(1）根據(jù)中心對(duì)稱的方法,找點(diǎn)a2，b2，連接即可（2）設(shè)a（x1，y1）、b（x2，y2）依題意與（1)可得a1（x1,y1），b1（x2，y2），a2（x1，y1）,b2(x2,y2），得到a1、b1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是a2、b2，所以x軸垂直平分線段a1a2、b1b2（3）根據(jù)a1與a2,b1與b2均關(guān)于x軸對(duì)稱,連接a2b1交x軸于c,點(diǎn)c為所求的點(diǎn)根據(jù)題意得b1（4,2），a2（2，4）設(shè)直線a2b1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法解得，所以可求直線a2b1的解析式為y=3

37、x10令y=0，得x=，所以c的坐標(biāo)為（，0)即點(diǎn)c(，0）能使a1b1c與a2b2c的周長(zhǎng)之和最小解答：解：（1）如圖,a2、b2為所求的點(diǎn)（2）設(shè)a（x1，y1）、b（x2，y2）依題意與（1）可得a1（x1,y1），b1（x2,y2)，a2(x1，y1），b2（x2，y2）a1、b1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是a2、b2，x軸垂直平分線段a1a2、b1b2(3）存在符合題意的c點(diǎn)由(2)知a1與a2，b1與b2均關(guān)于x軸對(duì)稱,連接a2b1交x軸于c，點(diǎn)c為所求的點(diǎn)a(2，4)，b(4,2）依題意及（1)得：b1（4，2），a2(2，4)設(shè)直線a2b1的解析式為y=kx+b則有解得直線a2b1的解析

38、式為y=3x10,令y=0，得x=，c的坐標(biāo)為（,0)綜上所述，點(diǎn)c(，0）能使a1b1c與a2b2c的周長(zhǎng)之和最小點(diǎn)評(píng):主要考查了軸對(duì)稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì)要知道對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線會(huì)根據(jù)此性質(zhì)求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵11(2001宜昌)某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路l旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地a、b的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置c，使a、b兩地到加工廠c的運(yùn)輸路程之和最短（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題3113559專題:作圖題

39、分析：作a關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)e,連接be交直線l于c，則c為所求解答：答：如圖:點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)軸對(duì)稱最短路線的問(wèn)題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是解此題的關(guān)鍵，12（2012淮安)閱讀理解如圖1，abc中,沿bac的平分線ab1折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a1c的平分線a1b2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿bnanc的平分線anbn+1折疊，點(diǎn)bn與點(diǎn)c重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，bac是abc的好角小麗展示了確定bac是abc的好角的兩種情形情形一:如圖2，沿等腰三角形abc頂角bac的平分線ab1折疊，點(diǎn)b與點(diǎn)c重合；情形二:如圖3，沿bac的平分線ab

40、1折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a1c的平分線a1b2折疊，此時(shí)點(diǎn)b1與點(diǎn)c重合探究發(fā)現(xiàn)（1）abc中，b=2c，經(jīng)過(guò)兩次折疊，bac是不是abc的好角？是（填“是”或“不是)(2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了bac是abc的好角,請(qǐng)?zhí)骄縝與c（不妨設(shè)bc）之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊bac是abc的好角，則b與c（不妨設(shè)bc)之間的等量關(guān)系為b=nc應(yīng)用提升（3)小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15、60、105，發(fā)現(xiàn)60和105的兩個(gè)角都是此三角形的好角請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角考點(diǎn)：翻折變換（

41、折疊問(wèn)題）3113559專題:壓軸題；規(guī)律型分析：(1）在小麗展示的情形二中，如圖3,根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知b=2c；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知a1a2b2=c+a2b2c=2c；根據(jù)四邊形的外角定理知bac+2b2c=180，根據(jù)三角形abc的內(nèi)角和定理知bac+b+c=180，由可以求得b=3c；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論:b=nc;（3）利用（2）的結(jié)論知b=nc，bac是abc的好角，c=na，abc是abc的好角，a=nb，bca是abc的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是4、172；8、168；16、16

42、0;44、132;88、88解答：解：(1）abc中，b=2c,經(jīng)過(guò)兩次折疊，bac是abc的好角；理由如下:小麗展示的情形二中，如圖3，沿bac的平分線ab1折疊，b=aa1b1;又將余下部分沿b1a1c的平分線a1b2折疊，此時(shí)點(diǎn)b1與點(diǎn)c重合，a1b1c=c；aa1b1=c+a1b1c（外角定理)，b=2c，bac是abc的好角故答案是：是；（2）b=3c;如圖所示，在abc中，沿bac的平分線ab1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a1c的平分線a1b2折疊,剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿b2a2c的平分線a2b3折疊,點(diǎn)b2與點(diǎn)c重合,則bac是abc的好角證明如下:根據(jù)折疊的性質(zhì)知,

43、b=aa1b1，c=a2b2c，a1 b1c=a1a2b2，根據(jù)三角形的外角定理知，a1a2b2=c+a2b2c=2c;根據(jù)四邊形的外角定理知，bac+b+aa1b1a1 b1c=bac+2b2c=180，根據(jù)三角形abc的內(nèi)角和定理知，bac+b+c=180，b=3c；由小麗展示的情形一知，當(dāng)b=c時(shí),bac是abc的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)b=2c時(shí),bac是abc的好角；由小麗展示的情形三知,當(dāng)b=3c時(shí)，bac是abc的好角；故若經(jīng)過(guò)n次折疊bac是abc的好角，則b與c（不妨設(shè)bc）之間的等量關(guān)系為b=nc；（3）由（2）知設(shè)a=4，c是好角，b=4n;a是好角，c=mb=4m

44、n，其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180如果一個(gè)三角形的最小角是4，三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是4、172;8、168；16、160；44、132；88、88點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)難度較大13（2013青羊區(qū)一模）如圖，abc中ab=ac，bc=6，點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)沿射線ba移動(dòng),同時(shí)，點(diǎn)q從點(diǎn)c出發(fā)沿線段ac的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)p、q移動(dòng)的速度相同，pq與直線bc相交于點(diǎn)d(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)p為ab的中點(diǎn)時(shí)，求cd的長(zhǎng)；（2)如圖，過(guò)點(diǎn)p作直線bc的垂線垂足為e，當(dāng)點(diǎn)p、q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段be、de、cd中

45、是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由；考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)3113559專題:幾何綜合題;壓軸題；分類討論分析：(1）過(guò)點(diǎn)p做pf平行與aq，由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等,再由ab=ac，根據(jù)等邊對(duì)等角得角b和角acb的相等，根據(jù)等量代換的角b和角pfb的相等,根據(jù)等角對(duì)等邊得bp=pf，又因點(diǎn)p和點(diǎn)q同時(shí)出發(fā),且速度相同即bp=cq，等量代換得pf=cq,在加上對(duì)等角的相等，證得三角形pfd和三角形qcd的全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出df=cd=cf，而又因p是ab的中點(diǎn)，pfaq得出f是bc的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的bc的長(zhǎng)，求出cf，即可得

46、出cd的長(zhǎng)（2)分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)p在線段ab上,根據(jù)等腰三角形的三線合一得be=ef，再又第一問(wèn)的全等可知df=cd，所以ed=,得出線段de的長(zhǎng)為定值；第二種情況，p在ba的延長(zhǎng)線上,作pm平行于ac交bc的延長(zhǎng)線于m,根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角pmb等于角acb,而角acb等于角abc，根據(jù)等量代換得到角abc等于角pmb，根據(jù)等角對(duì)等邊得到pm等于pb，根據(jù)三線合一，得到be等于em，同理可得pmd全等于qcd，得到cd等于dm,根據(jù)de等于em減dm，把em換為bc加cm的一半,化簡(jiǎn)后得到值為定值解答：解：（1）如圖，過(guò)p點(diǎn)作pfac交bc于f,點(diǎn)p和點(diǎn)q同時(shí)出發(fā),且

47、速度相同，bp=cq，pfaq，pfb=acb，dpf=cqd，又ab=ac，b=acb,b=pfb，bp=pf,pf=cq,又pdf=qdc，證得pfdqcd，df=cd=cf，又因p是ab的中點(diǎn)，pfaq，f是bc的中點(diǎn),即fc=bc=3,cd=cf=;（2)分兩種情況討論，得ed為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)p在線段ab上，過(guò)點(diǎn)p作pfac交bc于f,pbf為等腰三角形，pb=pf，be=ef，pf=cq，fd=dc，ed=，ed為定值，同理，如圖，若p在ba的延長(zhǎng)線上，作pmac的延長(zhǎng)線于m，pmc=acb,又ab=ac,b=acb，b=pmc，pm=pb，根據(jù)三線合一得be=em，

48、同理可得pmdqcd,所以cd=dm，綜上所述，線段ed的長(zhǎng)度保持不變點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,是一道綜合題14（2012東城區(qū)二模）已知:等邊abc中,點(diǎn)o是邊ac，bc的垂直平分線的交點(diǎn)，m，n分別在直線ac,bc上,且mon=60（1）如圖1,當(dāng)cm=cn時(shí)，m、n分別在邊ac、bc上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出am、cn、mn三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2）如圖2,當(dāng)cmcn時(shí),m、n分別在邊ac、bc上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)m在邊ac上，點(diǎn)n在bc 的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段a

49、m、cn、mn三者之間的數(shù)量關(guān)系考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)3113559分析：（1）在am上截取an=cn，連接on，oc，oa,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線得出ocn=oan=30,oc=oa，證ocnoan推出on=on，con=aon,求出nom=mon，根據(jù)sas證monmon，推出mn=mn，即可求出答案；（2）結(jié)論還成立，證明過(guò)程與(1）類似；（3）結(jié)論是mn=cn+am，延長(zhǎng)ca到n，使an=cn，連接oc，oa，on，證ocnoan推出on=on,con=aon，求出nom=mon，根據(jù)sas證monmon，推出mn=mn，即可求出答案；解答：解：（

50、1）mn=amcn,理由是:在am上截取an=cn，連接on,oc，oa，o是邊ac和bc垂直平分線的交點(diǎn),abc是等邊三角形，oc=oa，o也是等邊三角形三個(gè)角的平分線交點(diǎn),oca=oab=ocn=60=30，aoc=1803030=120，nco=oan，在ocn和oan中，ocnoan（sas)，on=on，con=aon，coa=120，nom=60，con+com=60,aon+com=60,即nom=nom，在nom和nom中，nomnom，mn=mn,mn=aman=amcn,mn=amcn（2)mn=amcn，證明：理由是：在am上截取an=cn,連接on,oc，oa，o是邊ac和bc垂直平分線的交點(diǎn)，abc是等邊三角形,oc=oa，由三線合一定理得：ocb=oca=oac=30，aoc=1803030=120，ocn=oan=30，在oc