概率論24節(jié)常用離散分布課件

1、設(shè)隨機(jī)變量 X 只可能取0與1兩個(gè)值 , 它的分布律為,2.兩點(diǎn)分布,1.退化分布,若隨機(jī)變量X取常數(shù)值C的概率為1,即,則稱(chēng)X服從退化分布.,2.4 常用離散分布,1,概率論24節(jié)常用離散分布,例 拋一枚均勻硬幣 , 令,則隨機(jī)變量 X 服從 (0-1) 分布.,則稱(chēng) X 服從 (0-1) 分布或兩點(diǎn)分布.記為Xb(1,p),2,概率論24節(jié)常用離散分布,兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)分布刻畫(huà).,說(shuō)明,3,概率論24節(jié)常用離散分布,4,概率論24節(jié)常用離散分布,3 二項(xiàng)分布 記為 X b(n

2、, p). X為n重伯努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時(shí)， b(1, p) 為 0-1分布.,5,概率論24節(jié)常用離散分布,二項(xiàng)分布的圖形,6,概率論24節(jié)常用離散分布,7,概率論24節(jié)常用離散分布,試驗(yàn)次數(shù)為 n=4,“成功”即取得合格品的概率為 p=0.8,所以, X b(4, 0.8),思考： 若 Y 為不合格品件數(shù)，Y ？,Y b(4, 0.2),一批產(chǎn)品的合格率為0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 則取得合格品件數(shù) X 服從二項(xiàng)分布.,8,概率論24節(jié)常用離散分布,9,概率論24節(jié)常用離散分布,10,概率論24節(jié)常用離散分布,11,概率論24節(jié)常用離散分布,若隨機(jī)變量 X 的

3、概率分布為,則稱(chēng) X 服從參數(shù)為 的泊松分布,記為 X P().,4 泊松分布,12,概率論24節(jié)常用離散分布,滿足歸一性.,由,13,概率論24節(jié)常用離散分布,14,概率論24節(jié)常用離散分布,泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別為,泊松分布：,用同樣的方法可求得,15,概率論24節(jié)常用離散分布,泊松分布的圖形,16,概率論24節(jié)常用離散分布,泊松分布的背景及應(yīng)用,二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察 與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí), 他們做了2608 次觀察(每次時(shí)間為7.5 秒)發(fā)現(xiàn) 放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), 其放射的粒子 數(shù)X 服從泊松分布.,17,概率論24節(jié)常用離散分布,電

4、話呼喚次數(shù),交通事故次數(shù),商場(chǎng)接待的顧客數(shù),在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及 公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中 , 泊松分布是常見(jiàn)的.,18,概率論24節(jié)常用離散分布,例2.4.5 商店的歷史銷(xiāo)售記錄表明，某種商品每月的銷(xiāo)售量服從參數(shù)為l= 8的泊松分布。為了以90%以上的概率保證該商品不脫銷(xiāo)，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該商品多少件？,解,由附錄的泊松分布表知,只要在月底進(jìn)貨12件(假定上個(gè)月沒(méi)有存貨)，就可以90%的概率保證這種商品在下個(gè)月內(nèi)不會(huì)脫銷(xiāo) 。,19,概率論24節(jié)常用離散分布,泊松定理,定理2.4.1,(二項(xiàng)分布的泊松近似),在n重伯努里試驗(yàn)中，記 pn 為一次試驗(yàn)中 成功的概率.,若 npn

5、 ，則,20,概率論24節(jié)常用離散分布,定理2.4.1 (泊松定理),在 重貝努利試驗(yàn)中,事件,A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為,（與試驗(yàn)的次數(shù)n,有關(guān)）,如果,時(shí)，,（ 0，,為常數(shù) ),則對(duì)任意k,有,根據(jù)此定理,參數(shù)為,若,充分大,充分小,則X近似服從,的泊松分布.,即,21,概率論24節(jié)常用離散分布,上面我們提到,單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出,22,概率論24節(jié)常用離散分布,23,概率論24節(jié)常用離散分布,24,概率論24節(jié)常用離散分布,25,概率論24節(jié)常用離散分布,例2.4.7 有10 000名同年齡且同社會(huì)階層的人參加了某保險(xiǎn)公司的一項(xiàng)人壽保險(xiǎn)。每個(gè)投保人在每年初交納200元保費(fèi)，而

6、在這一年中若投保人死亡，則受益人獲10 000元的賠償費(fèi)。根據(jù)生命表知這類(lèi)人的年死亡率為0.001。試求保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上 （1）虧本的概率； （2）至少獲利500 000元的概率。,26,概率論24節(jié)常用離散分布,27,概率論24節(jié)常用離散分布,28,概率論24節(jié)常用離散分布,29,概率論24節(jié)常用離散分布,30,概率論24節(jié)常用離散分布,31,概率論24節(jié)常用離散分布,記為 X h(n, N, M).,超幾何分布對(duì)應(yīng)于不返回抽樣模型 ：,N 個(gè)產(chǎn)品中有 M 個(gè)不合格品，,從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X .,2.4.3 超幾何分布,32,概率論24節(jié)常用離散分布,記為 X Ge(p),X

7、 為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中， “首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).,幾何分布具有無(wú)記憶性，即：,P( X m+n | X m ) = P( X n ),2.4.4 幾何分布,33,概率論24節(jié)常用離散分布,負(fù)二項(xiàng)分布(巴斯卡分布),記為X Nb(r, p).,X 為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中， “第 r 次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).,34,概率論24節(jié)常用離散分布,注 意 點(diǎn)（1）,二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立 0-1 隨機(jī)變量之和.,n重伯努利試驗(yàn)可看作由n個(gè)相同的、獨(dú)立進(jìn)行的伯努利試驗(yàn)組成，若將第i個(gè)伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)記為Xi b(1,p) (i=1,n), n重伯努利試驗(yàn)成功的總次數(shù)X= X1 + X2 + Xn

8、 ，它服從b(n,p) .,35,概率論24節(jié)常用離散分布,注 意 點(diǎn)（2）,負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立幾何隨機(jī)變量之和.,做一系列的伯努利試驗(yàn)，如果將首個(gè)成功出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)記為X1 ，第二個(gè)成功出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)（從第一次成功之后算起）記為X2 ，第r個(gè)成功出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)記為Xr , 則Xi 獨(dú)立同分布，且Xi Ge(p). 此時(shí)有 X= X1 + X2 + Xn Nb(r,p).,36,概率論24節(jié)常用離散分布,解：,37,概率論24節(jié)常用離散分布,2 二項(xiàng)分布,設(shè) X 服從參數(shù)為 n、p 的二項(xiàng)分布，其分布律為,有,38,概率論24節(jié)常用離散分布,3 泊松分布,設(shè) X 服從參數(shù)為 的泊松分布，其分布律為,X的數(shù)學(xué)期望為,39,概率論24節(jié)常用離散分布,又可算得,=,故,40,概率論24節(jié)常用離散分布,常用離散分布的數(shù)學(xué)期望,幾何分布Ge(p) 的數(shù)學(xué)期望 = 1/p,0-1 分布的數(shù)學(xué)期望 = p,二項(xiàng)分布 b(n, p)的數(shù)學(xué)期望 = np,泊松分布 P() 的數(shù)學(xué)期望 = ,41,概率論24節(jié)常用離散分布,常用離散分布的方差,0-1 分布的方差 = p(1p),二項(xiàng)分布 b(n