微專題9數(shù)列中的新定義性問題

1、微專題 9數(shù)列中的新定義性問題問題背景新定義數(shù)列題是指以學(xué)生已有的知識為基礎(chǔ)， 設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情境， 或定義一個(gè)概念，或規(guī)定一種運(yùn)算，或給出一個(gè)規(guī)劃， 通過閱讀相關(guān)信息， 根據(jù)題目引入新內(nèi)容進(jìn)行解答的一類數(shù)列題型 . 由于新定義性數(shù)列題背景新穎，構(gòu)思巧妙，而且能有效地考查學(xué)生的遷移能力和思維品質(zhì)，充分體現(xiàn)“遵循教學(xué)大綱，又不拘泥于教學(xué)大綱”的特點(diǎn)，所以備受命題專家的青睞 .高考命題方向：1. 給出一種新數(shù)列的定義， 要求構(gòu)造出一個(gè)滿足條件的數(shù)列或求出一個(gè)特殊數(shù)列的某些量；2. 給出一種新數(shù)列的定義證明這種數(shù)列的某些性質(zhì).思維模型說明：1. 解決方案及流程讀懂定義，理解新定義數(shù)列的含義；特殊

2、分析，比如先對n1,2,3 的情況進(jìn)行討論；通過特殊情況尋找新定義的數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì)， 以及新定義數(shù)列與已知數(shù)列 （如等差與等比數(shù)列） 的關(guān)系，仔細(xì)觀察， 探求規(guī)律， 注重轉(zhuǎn)化， 合理設(shè)計(jì)解題方案， 最后利用等差、等比數(shù)列有關(guān)知識來求解；聯(lián)系等差與等比數(shù)列知識將新定義數(shù)列問題在轉(zhuǎn)化為熟悉的知識進(jìn)行求解.2. 失誤與防范不能正確理解新定義的含義；不注重利用特殊化分析，尋找新定義的數(shù)列的性質(zhì)；難以用文字將解題過程完整準(zhǔn)確地表達(dá)出來.問題解決一、典型例題例 1 在數(shù)列 an中，若 a1 , a2 是正整數(shù)，且 aaa,n 3,4,5, ，則稱 ann 1n 2n為“絕對差數(shù)列”.（ 1）舉出一個(gè)前五

3、項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)） ；（ 2）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).例 2設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn . 若對任意正整數(shù)n ，總存在正整數(shù)m ，使得 Snam ，則稱 an是“H數(shù)列”.（ 1）若數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 Sn2nn N * ，證明：an 是“ H 數(shù)列”；（ 2）設(shè) an是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a11 ，公差 d0 . 若 an是“ H 數(shù)列”，求 d 的值；（ 3）證明：對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個(gè)“H 數(shù)列”bn 和 cn，使得anbn cn n N* 成立 .例 3 如果數(shù)列an滿 足 ： aa aa 0且a1a2a3an1

4、23n1 n3,n N *，則稱數(shù)列an 為 n 階“歸化數(shù)列” .（ 1）若某 4 階“歸化數(shù)列” an 是等比數(shù)列，寫出該數(shù)列的各項(xiàng)；（ 2）若某 11 階“歸化數(shù)列” an 是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ 3）若 an為 n 階“歸化數(shù)列” ，求證： a11 a21 a31 an11.23n22n二、自主探究1. 設(shè)數(shù)列 a的各項(xiàng)均為正數(shù) . 若對任意的 nN * ，存在 k N *，使得 an2kan ann成立，則稱數(shù)列an為“ Jk 型”數(shù)列 .（ 1）若數(shù)列an是“ J2 型”數(shù)列，且 a2 8,a81，求 a2 n ；（ 2）若數(shù)列an既是“ J3 型”數(shù)列，又是“J4 型

5、”數(shù)列，證明：數(shù)列an是等比數(shù)列.2. 已知數(shù)集Aa1, a2 , an0a1a2an, n2, nN *具有性質(zhì)p :i，i 1ijn , aia j 與 a jai 兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.（ 1）分別判斷數(shù)集 1,2,3,4 是否具有性質(zhì) p ，并說明理由；（ 2）證明： a1 0 ；（ 3）證明：當(dāng) n 5 時(shí)， a1, a2 , a3 , a4 , a5 成等差數(shù)列 .3. 已知數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，數(shù)列M n 滿足條件： M 1St ，當(dāng) n2 時(shí)，1MnSS，其中數(shù)列 tm單調(diào)遞增，且 tnN *.t mtm 1（ 1）若 ann .試找出一組 t1, t2 ,t3 ，使得 M 22M1M 3；證明： 對于數(shù)列 an n ，一定存在數(shù)列tn，使得數(shù)列M n 中的