中考特殊三角形知識講解(基礎(chǔ))

1、中考總復習：特殊三角形知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定；2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題；3.會運用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有關(guān)問題【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.性質(zhì)：(1)具有三角形的一切性質(zhì).(2)兩底角相等(等邊對等角)(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60.3.判定：(1)如果一個三角形有兩

2、個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角為60的等腰三角形是等邊三角形.要點詮釋：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.考點二、直角三角形1.直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.2性質(zhì)：(1)直角三角形中兩銳角互余.(2)直角三角形中，30銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30.(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c

3、滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3判定：(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.【典型例題】類型一、等腰三角形1如圖，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于()a.頂角的2倍b.頂角的一半c.頂角d.底角的一半【思路點撥】等角的余角相等.【答案】b.【解析】如圖，abc中，ab=ac，bdac于d，所以abc=c，bdc=90，所以dbc=90-c=90-(18

4、0-a)=a，【總結(jié)升華】本題適用于任何一種等腰三角形,可以試著證明在鈍角三角形中結(jié)論一樣成立；總結(jié)規(guī)律，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于頂角的一半.舉一反三：【變式】如圖，在abc中，abac，a36，bd、ce分別是abc、bcd的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）a5個b4個c3個d2個【答案】a2（2015秋南通校級月考）如圖，在abc中，ab=ac，d、e是abc內(nèi)兩點，ad平分bac，ebc=e=60，若be=30cm，de=2cm，則bc=cm【思路點撥】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出be=30，de=2，進而得出bem為等邊三角形，efd為等邊三角形，從而得出bn的

5、長，進而求出答案【答案】32;【解析】解：延長ed交bc于m，延長ad交bc于n，作dfbc，ab=ac，ad平分bac，anbc，bn=cn，ebc=e=60，bem為等邊三角形，efd為等邊三角形，be=30，de=2，dm=28，bem為等邊三角形，emb=60，anbc，dnm=90，ndm=30，nm=14，bn=16，bc=2bn=32，故答案為32【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出mn的長是解決問題的關(guān)鍵類型二、直角三角形3將一張矩形紙片折痕的長為()a.b.如圖所示折疊，使頂點落在點.已知，則c.d.【思路點撥】直角三角形是常見的幾何圖形，在習

6、題中比較多的利用數(shù)形結(jié)合解決相應的問題.常用的是兩銳角互余，三邊滿足勾股定理和直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半.【答案】c.【解析】由折疊可知，ced=ced=30，因為在矩形abcd中，c等于90，cd=ab=2，所以在dce中，de=2cd=4.故選c.【總結(jié)升華】折疊題型一定要注意對應的邊相等，對應的角相等.【變式】如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊ac=4cm，bc=8cm，將abc折疊，點b與點a重合，折痕為de，則de的長為()a.b.c.d.5【答案】b.解析：由折疊可知，ad=bd，deab，be=ab設(shè)bd為x，則cd=8-xc=90，ac=4，bc=8，ac2+b

7、c2=ab2ab2=42+82=80，ab=，be=在acd中，ac2+cd2=ad2，42+(8-x)2=x2，解得x=5在bde中，be2+de2=bd2，即()2+de2=52，de=，故選b.4已知：在直角abc中，c=90，bd平分abc且交ac于d.(1)若bac=30，求證:ad=bd；(2)若ap平分bac且交bd于p，求bpa的度數(shù).圖1圖2【思路點撥】(1)利用直角三角形兩銳角互余，求得abd=a=30，得出ad=bd.(2)利用三角形內(nèi)角和及角平分線定義或利用三角形外角性質(zhì).【答案與解析】(1)證明：bac=30，c=90，abc=60又bd平分abc，abd=30，ba

8、c=abd，bd=ad；(2)解法一：c=90，bac+abc=90=45bd平分abc，ap平分bacbap=，abp=即bap+abp=45apb=180-45=135解法二：c=90，bac+abc=90=45bd平分abc，ap平分bacdbc=，pac=dbc+pad=45apb=pda+pad=dbc+c+pad=dbc+pad+c=45+90=135.【總結(jié)升華】本題利用了：1、直角三角形的性質(zhì)，兩銳角互余，2、角的平分線的性質(zhì)，3、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系類型三、綜合運用5.已知abc的兩邊ab、ac的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根

9、，第三邊bc的長為5.（1）k為何值時，abc是以bc為斜邊的直角三角形？（2）k為何值時，abc是等腰三角形？并求出abc的周長。【思路點撥】abc的兩邊的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，應該想到一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系.【答案與解析】(1)ab、acab、ac的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根,ab+ac=2k+3,abac=k2+3k+2又abc是以bc為斜邊的直角三角形，bc=5ab2+ac2=bc2(ab+ac)2-2abac=25即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25k=-5或k=212當k=-5時，方程為x2+7x+12

10、=0解得x=-3,x=-4（不合題意，舍去）12當k=2時，方程為x2-7x+12=0解得x=3,x=412當k=2時，abc是以bc為斜邊的直角三角形.(2)當abc是等腰三角形時，則有ab=ac,ab=bc,ab=bc三種情況：=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=10abac,故第一種情況不成立；當ab=bc或ac=bc時，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根k=3或k=412當k=3時，x2-9x+20=0，x=5,x=412等腰三角形的邊長分別是5,5,4.周長為14；當k=4時，x2-11x+30=0，x=5,x=612所以等腰三角形的邊長是5,5,6，周長是16

11、.【總結(jié)升華】當三角形是等腰三角形并且未明確哪兩邊為腰時,要注意分類討論.【變式】已知等腰三角形三邊的長為a、b、c且a=c，若關(guān)于x的一元二次方程ax2-2bx+c=0的兩根之差為2，則等腰三角形的一個底角是（）.a.150b.300c.450d.600【答案】b.6（2015春威海期末）如圖，abc中，bac=90，ab=ac，adbc，垂足是d，ae平分bad，交bc于點e，ehab，垂足是h在ab上取一點m，使bm=2de，連接me求證：mebc【思路點撥】根據(jù)ehab于h，得到beh是等腰直角三角形，然后求出he=bh，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得de=he，然后求出he=hm，從而得到hem是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可【答案與解析】解：bac=90，ab=ac，b=c=45，ehab于h，beh是等腰直角三角形，he=bh，beh=45，ae平分bad，adbc，de=he，de=bh=he，bm=2de，he=hm，hem是等腰直角三角形，meh=45，bem=45+45=90，mebc【總結(jié)升華】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，