人教A版高中數(shù)學(xué)必修五新課標(biāo)新課標(biāo)優(yōu)秀教案示范教案正弦定理

1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理從容說(shuō)課本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識(shí)也有著密切的聯(lián)系教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問(wèn)題“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問(wèn)題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊

2、和兩個(gè)角的問(wèn)題”這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué)重點(diǎn)1.正弦定理的概念；2.正弦定理的證明及其基本應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)1.正弦定理的探索和證明；2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)教具準(zhǔn)備直角三角板一個(gè)三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；2.會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題二、過(guò)程與方法1.讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系；2.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊

3、到一般歸納出正弦定理；3.進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；2.培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，通過(guò)三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師如右圖，固定abc的邊cb及b，使邊ac繞著頂點(diǎn)c轉(zhuǎn)動(dòng)師思考：c的大小與它的對(duì)邊ab的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？生顯然，邊ab的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角c的大小的增大而增大師能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？師在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系如右圖，在abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab

4、=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有abcabc=sina，=sinb，又sinc=1=,則=c.從而在直角三角形cccsinasinbsimcabc中，abc=sinasinbsimc.推進(jìn)新課合作探究師那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如右圖，當(dāng)abc是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊ab上的高是cd，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有cd=asinb=bsina,則abcb，同理，可得=sinasinbsincsinb.從而abc=.siansibnsicnabc是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成）正弦定理：

5、在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即abc=sinasinbsinc師是否可以用其他方法證明這一等式？生可以作abc的外接圓，在abc中,令bc=a,ac=b,ab=c,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等，來(lái)證明abc=sinasinbsinc這一關(guān)系師很好！這位同學(xué)能充分利用我們以前學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決此問(wèn)題，我們一起來(lái)看下面的證法.abc中,已知bc=a,ac=b,ab=c,abc的外接圓,o為圓心,連結(jié)bo并延長(zhǎng)交圓于b,設(shè)bb=2r.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到bab=90，c=b，sinc=sinb=sinc=sinb=c2rc

6、sinc=2rab同理,可得=2r,=2rsinasinbabc=2rsinasinbsinc這就是說(shuō),對(duì)于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式abc=sinasinbsinc點(diǎn)評(píng):上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識(shí),將任意三角形通過(guò)外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)而求證,此證法在鞏固平面幾何知識(shí)的同時(shí),易于被學(xué)生理解和接受,并且消除了學(xué)生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學(xué)生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊知識(shí)拓展師接下來(lái),我們可以考慮用前面所學(xué)的向量知識(shí)來(lái)證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識(shí)中,

7、哪一知識(shí)點(diǎn)體現(xiàn)邊角關(guān)系呢生向量的數(shù)量積的定義式ab=|a|b|cos,其中為兩向量的夾角師回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢生可以通過(guò)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sin=cos(90-)進(jìn)行轉(zhuǎn)化師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90-,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進(jìn)一步的運(yùn)算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90-這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因師在向量方法證明過(guò)程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得ac+cb=ab而添加垂直于ac的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與ab、ac、cb的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩

8、邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算,也就在情理之中了師下面,大家再結(jié)合課本進(jìn)一步體會(huì)向量法證明正弦定理的過(guò)程,并注意總結(jié)在證明過(guò)程中所用到的向量知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):(1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時(shí)間后,應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點(diǎn)為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運(yùn)用(2)要求學(xué)生在鞏固向量知識(shí)的同時(shí),進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用向量法證明過(guò)程(1)abc為銳角三角形,過(guò)點(diǎn)a作單位向量j垂直于cb的夾角為90-c與ac,則j與ab的夾角為-a,j由向量的加法原則可得ac+cb=ab為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到j(luò)(ac+cb)=jab由分配律可得

9、ac+jcb=jab|j|accos90+|j|cbcos(90-c)=|j|abcos(90-aaasinc=csinac=sinasinc另外,過(guò)點(diǎn)c作與cb垂直的單位向量j,則j與cb=90+b,可得sincsinbac的夾角為90+c,j與ab的夾角為(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防止誤解為j與ac的夾角為90-c,j與ab的夾角為90-babc=sinasinbsinc(2)abc為鈍角三角形,不妨設(shè)a90,過(guò)點(diǎn)a作與ac垂直的單位向量j,則j與ab的夾角為a-90,j與cb的夾角為90-c由ac+cb=ab,得jac即acos(90-c)=ccos(a-asinc

10、=csinacb=jabac=sinasinc另外,過(guò)點(diǎn)c作與cb垂直的單位向量j,則j與ac的夾角為90+c,j與ab夾角為90+b.同理,可得bc=sinbsincabc=simasinbsinc（形式1）綜上所述,正弦定理對(duì)于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立師在證明了正弦定理之后,我們來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)正弦定理的應(yīng)用教師精講（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a=ksina，b=ksinb，c=ksinc；（2）abc=sinasinbsincabcbac=,=,=等價(jià)于(形式sinasinbsincsinbsinasinc我們通

11、過(guò)觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形問(wèn)題.已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如a=bsinasinb.這類問(wèn)題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對(duì)容易,課本p4的例1就屬于此類問(wèn)題已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sina=asinb此b類問(wèn)題變化較多,我們?cè)诮忸}時(shí)要分清題目所給的條件一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形師接下來(lái),我們通過(guò)例題評(píng)析來(lái)進(jìn)一步體會(huì)與總結(jié)例題剖析【例1abc中，已知a=32.0,b=81.8,a=42.9cm,解三角形分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)

12、邊的問(wèn)題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b,若求邊c,再利用正弦定理即可解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，c=180-(a+b)=180-根據(jù)正弦定理，asinb42.9sin81.8o=b=80.1(cm)sinasin32.0oasinc42.9sin66.2o=c=74.1(csinasin32.0o方法引導(dǎo)(1)此類問(wèn)題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180求出第三角,再利用正弦定理(2)對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器【例2abc中，已知a=20cm，b=28cm，a=40，解三角形（角度精確到1，邊長(zhǎng)精確到1cm）分析:此例題屬于bsinaab的情形,

13、故有兩解,這樣在求解之后呢,無(wú)需作進(jìn)一步的檢驗(yàn),使學(xué)生在運(yùn)用正弦定理求邊、角時(shí),感到目的很明確,同時(shí)體會(huì)分析問(wèn)題的重要性解：根據(jù)正弦定理，sinb=bsina28sin40o=a20因?yàn)?b180，所以b64或b（1）當(dāng)b64時(shí)，c=180-（a+b）=180-（40+64）=76，asinc20sin76o=c=30(csinasin40o（2）當(dāng)b116時(shí)，c=180-（a+b）=180-（40+116）=24，asinc20sin24o=c=13(csinasin40o方法引導(dǎo)通過(guò)此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過(guò)分析獲得,這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊

14、和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形.當(dāng)然對(duì)于不符合題意的解的取舍,也可通過(guò)三角形的有關(guān)性質(zhì)來(lái)判斷,對(duì)于這一點(diǎn),我們通過(guò)下面的例題來(lái)體會(huì)變式一：在abc中,已知a60,b50,a38,求b(精確到1)和c(保留兩個(gè)有效數(shù)字).分析:此題屬于ab這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對(duì)大邊,小角對(duì)小邊這一性質(zhì)來(lái)排除b為鈍角的情形解：已知ba,所以bb的情形,有一解,可應(yīng)用正弦定理求解角b后,利用三角形內(nèi)角和為180排除角b為鈍角的情形解：sinb=bsina20sin120o=a28c=asincb38或b142(舍去c=180-（a+b）28sin22=sinasin12012.方法引導(dǎo)此題

15、要求學(xué)生注意考慮問(wèn)題的全面性,對(duì)于角b為鈍角的排除也可以結(jié)合三角形小角對(duì)小邊性質(zhì)而得到(2)綜合上述例題要求學(xué)生自我總結(jié)正弦定理的適用范圍,已知兩角一邊或兩邊與其中一邊的對(duì)角解三角形(3)對(duì)于已知兩邊夾角解三角形這一類型,將通過(guò)下一節(jié)所學(xué)習(xí)的余弦定理來(lái)解師為鞏固本節(jié)我們所學(xué)內(nèi)容,接下來(lái)進(jìn)行課堂練習(xí)：1.abc中(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)，(1)已知c=3,a=45,b=60，求b(2)已知b12,a30,b120,求a解：(1)c=180-(a+b)=180-(45+60)=75，bc=sinbsinc，b=csinb3sin60=sincsin75(2)ab=sinasinb，bsina12s

16、in30a=sinbsin120點(diǎn)評(píng):此題為正弦定理的直接應(yīng)用,意在使學(xué)生熟悉正弦定理的內(nèi)容,可以讓數(shù)學(xué)成績(jī)較弱的學(xué)生進(jìn)行在黑板上解答,以增強(qiáng)其自信心2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1,邊長(zhǎng)精確到(1)b=11,a=20,b=30;(2)a=28,b=20,a(3)c=54,b=39,c=115;(4)a=20,b=28,a解：(1)ab=sinasinbc1=bsincc2=asinb20sin30sina=b11a165，a2當(dāng)a165時(shí)，c1=180-(b+a1)=180-(30+65)=85，11sin851=sinsinbsin30當(dāng)a2115時(shí)，c2=180-(b+a2)=18

17、0-bsinc11sin352=sinbsin30bsina20sin45(2)sinb=a28b130，b2由于a+b2=45+150180,故b2150應(yīng)舍去(或者由ba知ba,故b應(yīng)為銳角c=180-(45+30)=105c=asinc28sin105=sinasin45a=csinabc(3)=sinbsincbsinc39sin115sinb=c54b141,b2由于bc,故bc,b2139應(yīng)舍去當(dāng)b=41時(shí)，a=180-54sin24=sincsin115bsina28sin120=(4)sinb=1.212a20本題無(wú)解點(diǎn)評(píng):此練習(xí)目的是使學(xué)生進(jìn)一步熟悉正弦定理,同時(shí)加強(qiáng)解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行正確取舍課堂小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),我們一起研究了