人教版高中數(shù)學(xué)【必修五】[知識點整理及重點題型梳理]_數(shù)列的概念與簡單表示法_提高

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學(xué)必修五知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】數(shù)列的概念與簡單表示法【學(xué)習(xí)目標】1.掌握數(shù)列的概念與簡單表示方法，能處理簡單的數(shù)列問題.2.掌握數(shù)列及通項公式的概念，理解數(shù)列的表示方法與函數(shù)表示方法之間的關(guān)系.3.了解數(shù)列的通項公式的意義并能根據(jù)通項公式寫出數(shù)列的任一項.4.理解數(shù)列的順序性、感受數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)列之間的變量依賴關(guān)系.【學(xué)習(xí)策略】數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊的離散函數(shù)，因此，學(xué)習(xí)數(shù)列，可類比函數(shù)來理解。關(guān)于數(shù)列的一些問題也常通過函數(shù)的相關(guān)知識和方法來解決.【要點梳理】要點一、數(shù)列的概念數(shù)列概念：按照一定順序排列著的

2、一列數(shù)稱為數(shù)列.要點詮釋：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.各項依次叫做這個數(shù)列的第1項，第2項，；排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項.其中數(shù)列的第1項也叫作首項.要點詮釋：數(shù)列的項與項數(shù)是兩個不同的概念。數(shù)列的項是指數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號.類比集合中元素的三要素，數(shù)列中的項也有相應(yīng)的三個性質(zhì)：（1）確定性：一個數(shù)是否數(shù)列中的項是確定的；（2）可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)；（3）有

3、序性：數(shù)列中的數(shù)的排列是有次序的.數(shù)列的一般形式：數(shù)列的一般形式可以寫成：a,a,a,l,a,l，或簡記為a.其中a是數(shù)列的第n項.123nnn要點詮釋：a與a的含義完全不同，a表示一個數(shù)列，a表示數(shù)列的第n項.nnnn要點二、數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，是無窮數(shù)列資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用n23422精品文檔用心整理根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列

4、。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.要點三、數(shù)列的通項公式與前n項和數(shù)列的通項公式a如果數(shù)列的第n項a與n之間的關(guān)系可以用一個公式a=f(n)來表示，那么這個公式就叫做這nnn個數(shù)列的通項公式.如數(shù)列：0,1,2,3,.的通項公式為a=n-1（nn*）；n1,1,1,1,.的通項公式為a=1（nn*）；n11111,.的通項公式為a=（nn*）；n要點詮釋：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的。如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，1+(-1)n+1n+1它的通項公式可以是a=，也可以是a=|cosp|.nn數(shù)列通項公式的作用：求數(shù)

5、列中任意一項；檢驗?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項.（4）數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第n項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示數(shù)列a的前n項和n數(shù)列a的前n項和：指數(shù)列a的前n項逐個相加之和，通常用s表示，即s=a+a+.+a；nnnn12na與s的關(guān)系nn當n=1時a=s；11當n2時，a=(a+a+.+an12n-1+a)-(a+a+.+a)=s-sn12n-1nn-1故a=.s-s,n2且nn*ns,n=11nn-1要點四、數(shù)列的表示方法通項公式法（解析式法）：數(shù)列通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系。給了數(shù)列的通項公式，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項反之，根據(jù)通項公式，可以判定

6、一個數(shù)是否為數(shù)列中的項。列表法相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用a表示第一項，用a表示第二項，用a12資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用n精品文檔用心整理表示第n項，依次寫出得數(shù)列an12na1a2an圖象法：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法：以項數(shù)n為橫坐標，相應(yīng)的項a為縱坐標，即以(n,a)為坐標在平面直角坐標系中做出nn點。所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在y軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢遞推公式法a遞推公式：如果已知數(shù)列n的第1項（或前幾項），且任一

7、項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如：數(shù)列：-3，1，5，9，13，可用遞推公式：a=-3,a=a1nn-1+4(n2)表示。數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，可用遞推公式：a=3,a=5,a=a12nn-1+an-2(n3)表示。要點五、數(shù)列與函數(shù)（1）數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上。數(shù)列可以看成以正整數(shù)集n*（或它的有限子集1,2,3,.,n）為定義域的函數(shù)a=f(n)，當自變量n從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù)y=f(x),如果f(i

8、)（i=1,2,3,.,n,.）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，；（2）數(shù)列的通項公式實際上就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。數(shù)列通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系。給了數(shù)列的通項公式，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項反之，根據(jù)通項公式，可以判定一個數(shù)是否為數(shù)列中的項。（3）數(shù)列的圖象是落在y軸右側(cè)的一群孤立的點數(shù)列a=f(n)的圖象是以項數(shù)n為橫坐標，相應(yīng)的項a為縱坐標的一系列孤立的點(n,a)，這些點nnn都落在函數(shù)y=f(x)的圖象上。因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在y軸的右側(cè)，從圖象中可

9、以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢（4）跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，不是所有的數(shù)列都有通項公式.【典型例題】資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用精品文檔用心整理類型一：根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式例1寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，使其前四項分別是:(1)0,3815,；234n-35-7(2)1,；4916(3)9,99,999,9999,；(4)6,1,6,1,.【解析】12-122-132-142-1（1）將數(shù)列改寫為，2134n2-1故a=.n（2）此數(shù)列奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，可用(-1)n+1來表示；其絕對值中分子為奇數(shù)數(shù)列，分母是自然數(shù)的平方數(shù)列，n2故a=

10、(-1)n+12n-1n.（3）將數(shù)列改寫為101-1,102-1,103-1,104-1，故a=10n-1.n（4）將數(shù)列每一項減去6與1的平均值75555得新數(shù)列,-,-,，222222222故a=n7575+(-1)n+1或a=+cos(n+1)p.n【總結(jié)升華】寫通項時注意以下常用思路：若數(shù)列中的項均為分數(shù)，則先觀察分母的規(guī)律再觀察分子的規(guī)律，如(1)；特別注意有時分數(shù)是約分后的結(jié)果，要根據(jù)觀察還原分數(shù)；注意(1)n在系數(shù)中的作用是讓數(shù)列中的項正、負交替出現(xiàn)，如(2)；(-1)n作指數(shù)，讓數(shù)列中隔項出現(xiàn)倒數(shù)；（4）可視為周期數(shù)列，故想到找一個周期為2的函數(shù)為背景。歸納猜想的關(guān)鍵是從特殊

11、中去尋找一般規(guī)律，很多情況下是將已寫出的項進行適當?shù)淖冃?，使?guī)律明朗化.熟練掌握一些基本數(shù)列的通項公式，例如：數(shù)列-1，1，-1，1，的通項公式為a=(-1)n；n數(shù)列1，2，3，4，的通項公式為a=n；n數(shù)列1，3，5，7，的通項公式為a=2n-1；n數(shù)列2，4，6，8，的通項公式為a=2n；n資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用精品文檔用心整理數(shù)列1，4，9，16，的通項公式為a=n2；n234n數(shù)列1，1111，的通項公式為a=。n(4)1，-，-,；舉一反三：【數(shù)列的概念與簡單表示法379271數(shù)列知識的講解及配套練習(xí)】【變式】根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)1,1,

12、1,1,；(2)-1,1,-1,1,；(3)1,-1,1,-1,；111234(5)2，0，2，0，.【答案】(1)a=1；n(2)a=(-1)n+2；n(3)a=(-1)n+1；nn(4)a=(-1)n+11n；(5)a=1+(-1)n+1；n類型二：通項公式的應(yīng)用例2已知數(shù)列a的通項公式a=3n-2,試問下列各數(shù)是否為數(shù)列a的項，若是，是第幾項？nnn(1)94；(2)71.【思路點撥】先假設(shè)是數(shù)列中的項，可以列方程求解，若求解得到的腳標nn，那么是數(shù)列中的項，否則，不是.+【解析】（1）設(shè)94=3n-2,解得n=32.故94是數(shù)列a的第32項.n1（2）設(shè)71=3n-2，解得n=24n*

13、.3故71不是數(shù)列a的項.n【總結(jié)升華】方程思想是解決數(shù)列中未知量的主要方法，n,a,d,s,a中知三求二，就是采用了方程nn1的思想.舉一反三：資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用1【變式1】數(shù)列a的通項公式為a=n它的前8項依次為2n-1（n是偶數(shù)）精品文檔用心整理(n是奇數(shù)）nn111【答案】1,3,7,11,15357【變式2】已知數(shù)列a的通項公式a=(n+1)(n+2),nn（1）若a=9900，試問a是第幾項？nn（2）56和28是否為數(shù)列a的項？n【答案】（1）98項；（2）56是，28不是.類型三：遞推公式的應(yīng)用【數(shù)列的概念與簡單表示法379271例2】例3.設(shè)數(shù)列a滿足：a=1，a

14、=1+n1n【思路點撥】1an-1(n2)，寫出這個數(shù)列的前五項。題中已給出a的第1項a=1和遞推公式：a=1+n1na1n-1，故可以依次寫出下列各項.aa2a35【解析】據(jù)題意可知：a=1，a=1+112113158=2，a=1+=，a=1+=，a=3423故數(shù)列的前5項為:1，2，358，.235【總結(jié)升華】遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可以逐次寫出數(shù)列的所有項。舉一反三：【變式1】已知數(shù)列a滿足：a=2，an1n+1=2a，寫出前5項，并猜想ann【答案】法一：a=2，a=22=22，a=222=23，觀察可得a=2n123nn-1即a法二：由an+1=2a，a=

15、2annann-1=2anan-1aaan-1n-2ll2=2n-1aaan-2n-31a=a2n-1=2nn1【變式2】已知兩個等比數(shù)列an，bn，滿足a1=a(a0)，b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3.資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用若a=1，求數(shù)列a精品文檔用心整理的通項公式；n【答案】解：（1）設(shè)a的公比為q,則b=1+a=2,b=2+aq=2+q,n12b=3+aq2=3+q2,由b，b，b成等比數(shù)列得：3(2+q)2=2(3+q2)123即q2-4q+2=0,解得q=2+12,q=2-22所以a的通項公式為a=（2+n2）-1或a=（2-n2）-1.nnn【數(shù)列的概念與

16、簡單表示法379271例3】例4.（1）已知數(shù)列a滿足a=1,a=an1nn-1+1(n2),寫出這個數(shù)列的通項公式.（2）已知數(shù)列a滿足a=1,n1anan-1n=(n2),寫出這個數(shù)列的通項公式.n+1【解析】（1）由遞推式可得，a-a=1,a-a=1,a-a2132n把以上n-1個式子相加得，a-a=n-1,n1a=n，顯然n=1，也適用，n數(shù)列的通項為a=nn（2）由遞推式可得n-1=1,，n=a2=a12a,3=3a23a,4=4a3a4n5an+1n-1把以上n-1個式子相乘得，an=a12n+1；a=n2n+1，n=1時，a=1,1數(shù)列的通項為a=n2n+1【總結(jié)升華】一般遞推關(guān)

17、系為an+1=f(n)a時，可用累乘法求通項公式；遞推關(guān)系為ann+1=f(n)+an時可考慮累加法，有時需要將遞推關(guān)系化簡，再靈活求通項.舉一反三：11-【變式1】（2014新課標）數(shù)列an滿足an1an，a82，則a1資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用11-【答案】由題意得，an1an精品文檔用心整理，a82，令n7代入上式得，a81，解得a7；1-a712令n6代入得，a71，解得a61；1-a6令n5代入得，a611-a5，解得a52；根據(jù)以上結(jié)果發(fā)現(xiàn)，求得結(jié)果按2，13822，故a1212，1循環(huán)，aaana【變式2】已知數(shù)列an滿足：4n31，4n10，2nan，n*，則a2009_；

18、2014_.【答案】10【解析】依題意得a2009a450331，a2014a21007a1007a425210.故分別填1,0.類型四：前n項和公式s與通項a的關(guān)系nn【例5】（2015秋通渭縣校級期末）已知數(shù)列an的前n項和，求an【思路點撥】利用公式可求出數(shù)列an的通項an【解析】a1=s1=3+2=5，an=snsn1=（3+2n）（3+2n1）=2n1，當n=1時，2n1=1a1，【思路點撥】已知sn，求an的類型，解答本題的關(guān)鍵是利用an=snsn1求出數(shù)列的通項公式，要特別注意n=1的檢驗舉一反三：【變式1】（2015春迪慶州校級月考）數(shù)列的前n項的和sn=2n2+n+1，求數(shù)列的通項公式【解析】當n2時，有an=snsn1=2n2+n+12（n1）2+（n1）+1=4n1；，而a1=s1=4不適合上式，所以資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用精品文檔用心整理【變式2】已知數(shù)列a的前n項積s=n+2，求通項annn【答案】當