微積分試卷與答案6套

1、.微積分試題(A 卷 )一. 填空題 ( 每空 2分,共 20分 )三 .已知 lim f ( x)A,則對于0 ，總存在 0，使得當x 1時，恒有 ? ( x) A 。四 .已知 lim an 2bn52 ，則 a =， bn 3n 2=。五 .若當 xx0 時，與是等價無窮小量，則lim。x x0六 .若 f ( x) 在點 x = a處連續(xù)，則 lim f ( x)。xa七 .f ( x)ln(arcsin x) 的連續(xù)區(qū)間是。八 .設(shè)函數(shù) y=? ( x) 在 x0 點可導(dǎo)，則limf ( x03h) f ( x0 )_ 。hh 0九 .曲線 y = x2 2x 5 上點 M處的切線斜

2、率為6，則點 M的坐標為。十 .d ( xf( x) dx)。十一 .設(shè)總收益函數(shù)和總成本函數(shù)分別為R24Q 2Q2， CQ 25 ，則當利潤最大時產(chǎn)量 Q是。二 . 單項選擇題 (每小題 2分,共 18 分)十二 .若數(shù)列 x 在a的鄰域（ -,+）有無窮多個點， 則（）。n(A)數(shù)列 xn 必有極限，但不一定等于a(B)數(shù)列 xn 極限存在，且一定等于a(C)數(shù)列 x 的極限不一定存在(D)數(shù)列 x 的極nn限一定不存在十三 .設(shè) f (x)arctg1 則 x1為函數(shù) f ( x) 的（）。x1(A)可去間斷點(B)跳躍間斷點(C)無窮型間斷.點(D)連續(xù)點十四 .lim (11 )3x

3、 1 （）。x x(A)1(B)(C)e2(D)e3pp十五 .Qe 5 ，需求價格彈性Ed對需求函數(shù)5。當價格 p （）時，需求量減少的幅度小于價格提高的幅度。(A)3(B)5(C)6(D) 10十六 .假設(shè) limf()0, lim() 0；f( ),g( )在點x0的某鄰域 ( x0可以除x x0xx x0g xxx外) 存在，又 a是常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）。(A)若 lim f ( x)a 或 ，則 limf( x)a 或x x0 g( x)x x0 g ( x)(B)若 lim f (x)a 或 ，則 limf ( x)a 或x x0 g ( x)x x0 g( x)(C)若

4、lim f (x)不存在，則 limf (x) 不存在x x0 g (x)x x0 g(x)(D) 以上都不對十七 .曲線 f (x)x3ax 2bxa 2 的拐點個數(shù)是（） 。(A) 0(B)1(C) 2(D) 3十八 .曲線 y4x1（）。( x2) 2(A)只有水平漸近線；(B)只有垂直漸近線；(C)沒有漸近線；(D)既有水平漸近線，y又有垂直漸近線十九 .假設(shè) f (x) 連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如右圖所示，則f ( x) 具有 ()(A)兩個極大值一個極小值(B)兩個極小值一個極大值ox(C)兩個極大值兩個極小值(D)三個極大值一個極小值二十 .若 ? ( x) 的導(dǎo)函數(shù)是 x2 ，則 ?

5、 ( x) 有一個原函數(shù)為 ()。.(A) ln x ；(B)ln x ；(C)x 1；(D) x 3三 計算題 ( 共 36 分)1 求極限 lim1 x1 x （ 6 分）x 0x12 求極限 lim (ln x) x（6 分）xsin 2xx0x3 設(shè) f (x)x0 ，求 a ,b 的值，使 f (x) 在 (-a， + ) 上連續(xù)。 (6xsin 1bx0x分 )4 設(shè) ex yxy1，求 y 及 y x 0 （ 6 分）5 求不定積分xe 2x dx （ 6 分）6 求不定積分4x2 dx. （6 分）四利用導(dǎo)數(shù)知識列表分析函數(shù)y1的幾何性質(zhì)，求漸近線，并作圖。(14 分)1x2五

6、 設(shè) f ( x) 在 0, 1上連續(xù)，在 (0,1)可導(dǎo)，且 f (0) f (1) 0, f (1 ) 1，試證：( 1,2(1) 至少存在一點1) ，使 f ()；2(2) 至少存在一點(0, ) ，使 f ( ) 1 ；(3)對任意實數(shù)，必存在 x0(0,) ，使得 f ( x0 ) f ( x0 )x0 1 。 (12 分).微積分試題 (B 卷)一. 填空題 ( 每空 3分,共18分 )b二十一 .f x b dxa.二十二 .e 2 xdx.0二十三 .關(guān)于級數(shù)有如下結(jié)論： 若級數(shù)un un0n 1 若級數(shù)un un0n 1收斂，則1 發(fā)散.n 1 u n發(fā)散，則1 收斂.n 1

7、 u n 若級數(shù)un 和vn 都發(fā)散，則(un vn ) 必發(fā)散 .n 1n 1n 1 若級數(shù)un 收斂，vn 發(fā)散，則(un vn ) 必發(fā)散 .n 1n 1n 1 級數(shù)kun （ k為任意常數(shù)）與級數(shù)u n 的斂散性相同 .n1n 1寫出正確 結(jié)論的序號.二十四 .設(shè)二元函數(shù) zxexy( x1) ln 1y ，則dz (1, 0 ).二十五 .若 D 是由 x 軸、y 軸及 2x + y 2 = 0 圍成的區(qū)域，則dxdy.D二十六 .微分方程 xyy0滿足初始條件y(1) 3 的特解是.二. 單項選擇題 ( 每小題 3分, 共 24分 )設(shè)函數(shù) f ( x)x1)(t2)dt ，則 f

8、 ( x) 在區(qū)間 -3二十七 .(t，2 上的最大值為 （）.0.(A)2(B)10(C) 1(D) 433二十八 .設(shè) I1cos x2y2 d , I 2cos(x 2y2 )d ,I 3cos(x 2y 2 ) 2d，DDD其中 D( x, y)x2y 21 ，則有（）.(A)I1I 2I 3(B)I3 I2I1(C)I 2I 1I 3(D)I 3I 1I 2二十九 .設(shè) un0, n1,2,3，若un 發(fā)散，( 1)n1 un收斂，則下列結(jié)論正確的是n1n 1( ).(A)u2n1 收斂，u2n 發(fā)散(B)u2 n 收斂，u2 n1 發(fā)散n 1n1n1n1(C)(u 2 n 1u2n

9、 ) 收斂(D)(u2n1u2 n ) 收斂n 1n1三十 . 函數(shù) f ( x, y) 在點 P( x, y) 的某一鄰域有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是 f ( x, y) 在該點可微的 ()條件 .(A)充分非必要（ B）必要非充分（ C）充分必要（ D）既非充分又非必要三十一 .下列微分方程中，不屬于 一階線性微分方程的為（） .(A)xyyxcosln x(B)xy ln xy3x(ln x1) ，ln x(C)(2 yx) yy2x(D)( x21) yxy20三十二 .設(shè)級數(shù)an絕對收斂，則級數(shù)(11 ) n an （） .n 1n1n(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)不能判定斂散性

10、散設(shè) F (x)x2sin tdt ，則 F ( x) （三十三 .xesin t） .(A)為正常數(shù)(B)為負常數(shù)(C)恒為零(D)不為常數(shù)三十四 .設(shè) uf ( xy, yz, t z) ，則uuuu（）.xyzt(A)2 f 1(B)2 f 2(C)2 f 3(D) 0.三十五 .計算下列各題( 共 52 分 )1.2cos x cos3x dx （ 5 分）22.求曲線 yx 22x, y0, x1, x3 所圍成的平面圖形的面積.（6 分）3. 已知二重積分x2 d ，其中 D 由 y 11 x2 , x 1以及 y0圍成.D( ) 請畫出 D 的圖形，并在極坐標系下將二重積分化為累

11、次積分；（3 分）( )請在直角坐標系下分別用兩種積分次序?qū)⒍胤e分化為二次積分；（4 分）( )選擇一種積分次序計算出二重積分的值.（4分）4. 設(shè)函數(shù) uf x, y, z 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 且 zx, y 是由方程 xezye yzez 所確定的二元函數(shù)，求u ,u 及 du . （ 8 分）xy5. 求冪級數(shù)(1) n x2 nS(x). （ 8 分）2n的收斂域及和函數(shù)n 16.求二元函數(shù) f ( x, y)( x2y)e2 y 的極值 . （ 8 分）7.求微分方程 y 2 ye 2 x 的通解，及滿足初始條件f (0) 1, f (0) 0 的特解 .(6分 )三十六 .假設(shè)函數(shù)f

12、 (x)在 a,b上連續(xù),在 ( ,b) 可導(dǎo)，且f ( x) 0，記aF ( x)1x0.（6分）f (t ) dt ，證明在 ( a, b ) F ( x)xa a.微積分試卷(C)一 .填空題(每空2分,共20分 )1.數(shù)列 xn 有界是數(shù)列 xn 收斂的條件。2.若ysin x2，則dy。3.函 數(shù) yx , x 0 是 第類間斷點，且為tan x間斷點。4.若 lim axb3，則 a =，b =。x1 x15.在積分曲線族2xdx中，過點（0， 1）的曲線方程是。6.函 數(shù)f ( x)x 在 區(qū) 間 1,1上羅爾定理不成立的原因是。7.已知 F ( x)xt dt ，則 F ( x

13、)e。08. 某商品的需求函數(shù)為Q 12P， 則 當 p =6 時的需求價格彈性為2EQ。EP二 .單項選擇題 (每小題 2分,共 12 分)1.若 lim3，則 lim（）。xx0x x0(A)2(B)0(C)1(D)233x12.在）。處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)是（(A)y1(B)yx 1(C) yln( x21)1) 2x1(D)y(x3.在區(qū)間（ -1 ， 1），關(guān)于函數(shù)f ( x)1x 2 不正確 的敘述為（）。(A)連續(xù).(B)有界(C)有最大值， 且有最小值(D)有最大值，但無最小值4.當 x0 時， sin 2x 是關(guān)于 x 的（）。(A)同階無窮小(B)低階無窮小(C)高階無窮小(

14、D) 等價無窮小55. 曲線 yxx 3在區(qū)間（）是凹弧 。(A) (, 0)(B)(0,)(C)( ,)(D) 以上都不對6. 函數(shù) ex 與 ex滿足關(guān)系式（）。(A) exex(B)exex(C)exex(D) ex ex三計算題 ( 每小題 7 分, 共 42 分)1求極限 lim x(ex1) 。x 0 1 cos x2 求極限 lim 2 nsinxn （ x 為不等于0 的常數(shù)）。n23 求極限 lim 12 xx。x x4 已知 y 1xey ，求 y x 0 及 y x 0 。5 求不定積分sinx dx 。x6 求不定積分xln(x dx。1).四已知函數(shù)x1(14 分)y

15、2，填表并描繪函數(shù)圖形。x定義域yy單調(diào)增區(qū)間極值點凹區(qū)間拐點圖形 ：單調(diào)減區(qū)間極值凸區(qū)間漸近線五證明題 ( 每小題 6 分, 共 12 分)1.設(shè)偶函數(shù)f ( x) 具有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且f ( x)0 。證明： x0為 f ( x) 的極值點。2. 就 k 的不同取值情況，確定方程 xsin x k 在開區(qū)間（ 0,）根的個數(shù)，并證明你的22結(jié)論。.微積分試卷（ D卷）一、單項選擇題 （本題共5 小題，每小題 3分，共 15 分）：1.函數(shù) f ( x, y) 在 x, yx0 , y0 處的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該處可微的（）條件。A. 充分；B. 必要；C. 充分必要；D. 無關(guān)的2.函數(shù)

16、zln x 3y3在（ 1， 1）處的全微分 dz（）。A dxdy ； B2dx dy； C3 dx dy；D 3 dxdy 23.設(shè) D為： x2y 2R 2 ，二重積分的值x2y 2 dxdy=（）。DA R2；B2 R2；C 2 R3；D1 R4324. 微分方程 y 4 y 5y e xsin x 的特解形式為 ( )。A aeC axexb sin x ；Bae xb cos xc sin x ；xb sin x ；Daxe xb cos xc sin x 5. 下列級數(shù)中收斂的是（）。A( 1)n；B1；C2n；Dsin 1n 1nn 1 2n 1n 1 n2n 1n二、填空題

17、（本題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）：1x 2 arcsin xdx。1.1 1x 22.f (x)0x(t1)(t2)dt ，則在區(qū)間 -2， 3 上 f ( x) 在 x（ -1）處取得最大值。3.已知函數(shù) zx y ( x0) ，則 z =， z =。xy4. 微分方程y 4x3 y 在初始條件 y x 04 下的特解是 : y =。105. 冪級數(shù)nxn 1 的收斂半徑是：R =。n 1 10n三、計算下列各題（本題共5 小題，每小題8 分，共 40 分）：1. 已知 zf ( xy, xy) ，其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2 z 。x y.2.已知 xlnz ，求z ，

18、 z 。zyxy222 dy 的積分次序并且計算該積分。3.改換二次積分dxsin y0x4. 求微分方程 y4 y 3 y 0 在初始條件 yx 06， y x 010 下的特解。5. 曲線C 的方程為 yf ( x) ，點 (3,2)是其一拐點，直線l1, l 2 分別是曲線 C 在點 (0,0) 與(3,2)處的切線，其交點為(2,4)，設(shè)函數(shù)f ( x ) 具 有 三 階 導(dǎo) 數(shù) ， 計 算32x ) f ( x )dx 。( x0四、 求冪級數(shù)( 1)n x2 n的和函數(shù) s( x) 及其極值 （ 10 分）。n 12n五、解下列應(yīng)用題（本題共2 小題，每小題10 分，共 20 分）

19、：311.某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q x, y100x 4 y 4 ，其中 x 為勞動力人數(shù)，y 為設(shè)備臺數(shù)，該企業(yè)投入5000 萬元生產(chǎn)該產(chǎn)品，設(shè)招聘一個勞動力需要15 萬元，購買一臺設(shè)備需要 25 萬元，問該企業(yè)應(yīng)招聘幾個勞動力和購買幾臺設(shè)備時，使得產(chǎn)量達到最高？2. 已知某商品的需求量Q對價格P 的彈性2P2 ，而市場對該商品的最大需求量為10000件，即 Q (0)=10000,求需求函數(shù)Q ( P) 。.微積分試卷（ E 卷）一、單項選擇題（每小題3 分，共 18 分）1.設(shè)函數(shù) f xx2 ;x11處可導(dǎo)，則（）axb; x在 x1A.a0, b1B.a2, b1C.a3, b2D.

20、a1,b 22.已知 fx在 x0的某鄰域連續(xù)，且f00,limfx2 ，則在 x 0處x 0 1cos xf x 滿足（）A.不可導(dǎo)B.可導(dǎo)C.取極大值D.取極小值3.若廣義積分dx收斂，則（）2kx ln xA. k1B.k1C.k1D.k114.lim ex1()x1A 0B.C.不存在D.以上都不對5.當 x0時，1cosx 是關(guān)于 x 2 的（） .A同階無窮小 .B低階無窮小 .C高階無窮小 .D等價無窮小 .6. 函數(shù) f ( x) 具有下列特征：f (0) 1,f (0) 0，當 x0 時， f (x)0, f0, x0( x)00, x則 f ( x) 的圖形為（）。yyyy

21、1111oxoxoxox(A)(B)(C)(D)二、填空（每小題3 分，共 18 分）.1.limsin x。xx1x2 dx2.1。1f ( x0h) f ( x0h)3. 已知f ( x0 ) 存在，則 limh。h 04設(shè) yln( x1) ，那么 y( n ) ( x)。5d0t2。dxx2 e dt6某商品的需求函數(shù)Q 75 P2 ，則在 P 4 時，需求價格彈性為P 4，收入對價格的彈性是ER。EPP 4三、計算（前四小題每題5 分，后四小題每題6共44分）x1 limarctantdt0x21x1x2 x2 limxxe3x ln xdx14dxx(1x6 )yxy x 的導(dǎo)數(shù)

22、dy .5求由et dtcostdt 0 所決定的隱函數(shù) y00dx6已知 sin x 是 f ( x) 的原函數(shù)，求xf ( x)dx 。x7求由曲線yx3 與 x1, y0 所圍成的平面圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。.8求曲線 yx2 與直線 ykx1所圍平面圖形的面積，問k 為何時，該面積最??？四、(A 類 12 分)列表分析函數(shù)x2y函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、 凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并作出1x函數(shù)圖形。解： (1)函數(shù)的定義域D: (,1) (1,) ，無對稱性；(2) yx22x0 , 得 x12, x20(1x)2(2x2)(1x) 22(x 22x)(1x)2y1x 4(1 x) 3(

23、3) 列表：x(- ， -2)-2（-2 ，-1 ）（ -1 ，0）0(0,+ )y00yy, 極大值 -4 , , 極小值 0 , y(4)垂直漸近線： x1；斜漸近線：y x1(5)繪圖，描幾個點 (2, 4), (0,0), (1,1), (2,4)23ox.(B 類 12 分 ) 列表分析函數(shù)yln( 1x 2 ) 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并作出函數(shù)圖形。解： 函數(shù)定義域D:(- ， + ) ，偶函數(shù)關(guān)于Y 軸對稱；2xy1x2 0 , 得 x 02(1 x2 )2x 2x2(1x)(1 x)0 ,得 x1yx 22(1x 2 ) 21 列表： ( 只討論（ 0,+ ）部分

24、 )x0(0,1)1(1,+ )y0y0y極小值, 拐點 , 極小值 f (0) = 0；拐點（ 1,ln2 ） 該函數(shù)無漸近線； 繪圖，描幾個點： （ 0， 0），（ -1 ， ln2 ），（ 1， ln2 ）五、（B 類 8 分） 設(shè) fx 連續(xù)，證明：xutdt duxu fu du0fx00證明：令F ( x)xuG ( x)xu) f (u)du 只需證明0f (t )dt( x001 , x 21yoxF ( x)G ( x) （ 3 分）F (x)xf (t )dt0G ( x)xxx f (u)duuf (u)du00G ( x)xf (u)du xf (x)x0xf (x)f

25、 (u)du0所以 F (x)G (x)（8 分）（A類 8分）設(shè) f (x) 在 a, b 上連續(xù)在 ( a ,b ) 可導(dǎo)且 f ( x) 0F ( x)1xx(a, b)xf (t) dt,a a試證（ 1）F ( x) 在 ( a ,b ) 單調(diào)遞減.(2) 0F ( x)f ( x) f (a)f (b)證（ 1）( x a) f ( x)xf (t )dtF ( x)a( xa) 2積分中值定理 (xa)f(x)f()(x a)（ a,x）(xa)2f(x)f()xa由 f ( x)0 知 f ( x) 單調(diào)減 , 即在 ( a ,b ) 當x 時有 f (x)f( ) 又 (x

26、a)0 可得F ( x)0 . 即 F ( x) 在 ( a ,b ) 單調(diào)減 .1xf ( x)(2) 因F ( x)f (x)f (t )dtx a a積分中值定理 f(） f(x) 0又由 f ( x) 單調(diào)減知 , f(a)f ()f(x)f(b) 于是有0F(x)f(x)f(a)f(b).微積分試卷（ F 卷）一、單項選擇題（每小題3 分，共 18 分）1.設(shè)函數(shù)f xx2;x11處可導(dǎo)，則（）axb; x在 x1A.a0, b1B.a2, b1C.a3, b2D.a1,b22.當 x0時， 1cosx 是關(guān)于 x2 的（） .A同階無窮小 .B低階無窮小 .C高階無窮小 .D等價無窮小 .3.若廣義積分dx收斂，則（）