六年級高斯學校競賽數(shù)論綜合二含答案

1、第18講數(shù)論綜合二內(nèi)容概述綜合運用各種知識解決的較復雜教論問題；與二次不定方程、分式不定方程有關(guān)的數(shù)論問題典型問題興趣篇1有4個不同的正整數(shù)，它們中任意2個數(shù)的和都是2的倍數(shù)，任意3個數(shù)的和都是3的倍數(shù)要使這4個數(shù)的和盡可能小，這4個數(shù)應該分別是多少？2已知算式（123n）+2007的結(jié)果可表示為n(n1)個連續(xù)自然數(shù)的和請問：共有多少個滿足要求的自然數(shù)n?3有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)之和的形式，并且在不計加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有4種所有滿足上述條件的自然數(shù)中最小的一個是多少？4甲、乙兩個自然數(shù)的乘積比甲數(shù)的平方小2008.滿足上述條件的自然數(shù)有幾組？5兩個不同兩位數(shù)的

2、乘積為完全平方數(shù)，它們的和最大可能是多少？6n個自然數(shù)，它們的和乘以它們的平均數(shù)后得到2008.請問：n最小是多少？7一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個數(shù)為“智慧數(shù)”比如16=5232，16就是一個“智慧數(shù)”，請問：從1開始的自然數(shù)列中，第2008個“智慧數(shù)”是多少？8將100!5分別除以2，3，4，100，可以得到99個余數(shù)（余數(shù)有可能為0）這99個余數(shù)的和是多少？9小悅、冬冬和阿奇三人經(jīng)常去電影院，小悅每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿齊每隔6天去一次今天他們?nèi)硕既ル娪霸海瑢頃羞B續(xù)三天都有人去電影院如果今天是第1天，那么最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是哪三天？10

3、有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們的平方從小到大依次是10、9、8的倍數(shù)這三個數(shù)中最小的一個是多少？拓展篇1有一個正整數(shù)，它加上100后是一個完全平方數(shù)，加上168后也是一個完全平方數(shù)這個正整數(shù)是多少？2已知甲、乙兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，兩數(shù)之和為1998.滿足上述條件的數(shù)一共有多少組？3冬冬往一個水池里扔石子第一次扔l顆石子，第二次扔2顆石子，第三次扔3顆石子，第四次扔4顆石子他準備扔到水池的石子總數(shù)是106的倍數(shù)請問：冬冬最少需要扔多少次？4數(shù)學老師把一個兩位數(shù)的約數(shù)個數(shù)告訴了小悅，聰明的小悅仔細思考了一下后算出了這個數(shù)同學們，你們知道這個數(shù)可能是多少嗎？5在一個正整數(shù)的所有約數(shù)中，個位數(shù)字為0

4、，1，2，9的數(shù)都出現(xiàn)過，這樣的正整數(shù)最小是多少？6求最小的正整數(shù)n，使得20067n是完全平方數(shù)。7請寫出由不同的兩位數(shù)組成的最長的等比數(shù)列8有一些自然數(shù)，它們不能用三個不相等的合數(shù)之和來表示這樣的自然數(shù)中的最大一個是多少？9有些數(shù)既能表示成5個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成6個連續(xù)自然數(shù)的和，還能表示成7個連續(xù)自然數(shù)的和例如：105就滿足上述要求，105=19+20+21+22+23;105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18.請問：在1至1000中一共有多少個滿足上述要求的數(shù)？10一個特殊的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動的角度為連續(xù)自然數(shù)

5、數(shù)列現(xiàn)在設定指針第一秒轉(zhuǎn)動的角度為a度（a為小于360的整數(shù)），則其第二秒轉(zhuǎn)動a+l度，第三秒轉(zhuǎn)動a+2度如果指針在第一圈內(nèi)恰好能指回出發(fā)位置，那么a一共有幾種設定方法？最小可以被設成多少？11某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，3，12.他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號碼整除已知這些電話的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號碼是9的這一家的電話號碼能被13整除請問：這一家的電話號碼是多少？12在等差數(shù)列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)比前n+l個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)少3個，那么n最小是多少？超越篇1有

6、一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個正整數(shù)的和，而且當把它表示成連續(xù)正整數(shù)之和（至少2個）的形式時，恰好有20種方法這樣的正整數(shù)最小是多少？（寫出質(zhì)因數(shù)分解）2有些自然數(shù)可以表示成兩個合數(shù)相乘再加一個合數(shù)的形式，例如：33=46+9.請問：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是多少？3在給定的圓周上有100個點任取一點標上1；按順時針方向從標有1的點往后數(shù)2個點，標上2；從標有2的點再往后數(shù)3個點，標上3依此類推，直至在圓周上標出100.對于圓周上的這些點，有的點可能標上多個數(shù)，有的點可能沒有被標數(shù)請問：標有100的那個點上標出的數(shù)最小是多少？4三個聰明的初中生聚在一起玩一個推理的游戲，小強與小花各選

7、了一個自然數(shù)并分別將它告訴小安小安告訴小強和小花，他將分別把這兩個數(shù)的和與乘積寫在不同的紙上小安寫好后，將其中一張紙藏起來，把另一張紙亮出來給小強和小花看（這張紙上寫著2008）小安請小強和小花互猜對方所選的數(shù)，小強首先宣稱他無法確定小花所選的數(shù)，小花聽完小強的話后，也說她無法確定小強所選的數(shù)請問：小花所選的數(shù)是什么？5已知三個互不相等的正整數(shù)成等差數(shù)列，且三個數(shù)的乘積是完全平方數(shù)，那么這三個數(shù)的和最小是多少？6是否存在一個完全平方數(shù)，它的每一位上的數(shù)字全都相同（至少是兩位數(shù)）?如果存在，請寫出一個；如果不存在，請說明理由，先m7有一根均勻木棍，用紅色刻度線將它分成m等份，再用藍色刻度線將它分

8、成n等份，n然后按所有刻度線將該木棍鋸成小段，一共可以得到170根長短不一的小棍，其中最長的小棍恰有100根求m和n8是否存在這樣的自然數(shù)：在這個數(shù)后面重寫一遍這個數(shù)，新組成的數(shù)是一個完全平方數(shù)？如果存在，請舉例；如果不存在，請說明理由第18講數(shù)論綜合二興趣篇1、有4個不同的正整數(shù)，它們中任意2個數(shù)的和都是2的倍數(shù)，任意3個數(shù)的和都是3的倍數(shù)。要使這4個數(shù)的和盡可能小，這4個數(shù)應該分別是多少？【分析】對于2，3同余，對于6同余。答案：1，7，13，192、已知算式(1+2+3+n)+2007的結(jié)果可表示為n(n1)個連續(xù)自然數(shù)的和。請問：共有多少個滿足要求的自然數(shù)n？答案：5個【分析】3，9，

9、223，669，20073、有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)之和的形式，并且在不計加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有4種。所有滿足上述條件的自然數(shù)中最小的一個是多少？答案：11【分析】2+9=3+8=5+6=7+44、甲、乙兩個自然數(shù)的乘積比甲數(shù)的平方小2008。滿足上述條件的自然數(shù)有幾組？答案：4組【分析】甲（甲-乙）=2008=222251=20081=10042=5024=2518它5、兩個不同兩位數(shù)的乘積為完全平方數(shù)，們的和最大可能是多少？答案：170【分析】170=98+726、n個自然數(shù)，它們的和乘以它們的平均數(shù)后得到2008。請問：n最小是多少？答案：502【分析】200

10、8=23251是平均數(shù)的倍數(shù)。平均數(shù)盡量大，和是平均數(shù)的倍數(shù)，和為1004，平均數(shù)為2。則”“?！?、一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，稱這個數(shù)為“智慧數(shù)，比如16=52-32，16就是一個智慧數(shù)”請問：從1開始的自然數(shù)數(shù)列中，第2008個智慧數(shù)”是多少？答案：2680a【分析】所有的奇數(shù)均可，2-b2=(a-b)(a+b)所有4的倍數(shù)均可，所有除以4余2的均不行。20083=66916694=26762676+4=2680。8、將100!5分別除以2,3,4，100，可以得到99個余數(shù)（余數(shù)有可能為0）這樣99個余【分析】三數(shù)分別是10，3，4的倍數(shù)，最大數(shù)3ll1524ll0（【分析

11、】nn+1）數(shù)的和是多少？答案：4565【分析】余數(shù)分別為1，1，3，0，1，295和為45659、小悅、冬冬和阿奇三人經(jīng)常去電影院，小悅每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿奇每隔6天去一次。今天他們?nèi)硕既ル娪霸海瑢頃羞B續(xù)三天都有人去電影院。如果今天是第1天，那么最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是哪三天？答案：第50天、第51天和第52天【分析】6，7，8先看3和5，第6，7連續(xù)，第11，10天連續(xù)810、有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們的平方從小到大依次是10、9、的倍數(shù)。這三個數(shù)中最小的一個是多少？10ll2所以最小的數(shù)是50拓展篇1、有一個正整數(shù)，它加上100后是一個完全平方數(shù)，加上16

12、8后也是一個完全平方數(shù)。這個正整數(shù)是多少？答案：156【分析】168-100=68=234兩平方數(shù)為182與162。162-100=1562、已知甲、乙兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，兩數(shù)之和為1998。滿足上述條件的數(shù)一共有多少組？答案：108組【分析】1998=333333=3337，把333拆成兩數(shù)之和，不含3或37的因子就行。333-111-6=2162162=1083、冬冬往一個水池里仍石頭。第一次仍1顆石頭，第二次仍2顆石頭，第三次仍3顆石頭，第四次仍4顆石頭他準備扔到水池的石子總數(shù)是106的倍數(shù)。請問：冬冬最少需要仍多少次？答案：52次n）=106k（n+1=212k=453k2n，

13、n+1一奇一偶，n+1=53n=524、數(shù)學老師把一個兩位數(shù)的約數(shù)個數(shù)告訴了小悅，聰明的小悅仔細思考了一下后算出了這個數(shù)。同學們，你們知道這個數(shù)可能是多少嗎？答案：64或365【分析】令公比為，其中b3，若有6項，則末項為a，是b的倍數(shù)，超過100，aa2【分析】根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，個數(shù)為，3，4，5，6，8，10，12選擇不只一個，個數(shù)為7，9的只有1個，分別是26=64，2232=365、在一個正整數(shù)的所有約數(shù)中，個位數(shù)字為0，1,2,，9的數(shù)都出現(xiàn)過，這樣的正整數(shù)最小是多少？答案：270【分析】10，1，2，3，4，5，6，27，18，9分別都是此數(shù)約數(shù)。6、求最小的正整數(shù)n，使得2006

14、+7n是完全平方數(shù)?！痉治觥孔罱咏?006并大于2006的平方數(shù)是2025，不行下一個2025+91=2116，不行下一個2116+93=2209，n=297、請寫出由不同的兩位數(shù)組成的最長的等比數(shù)列。答案：16，24，36，54，81bb51所以至多5項。8、有一些自然數(shù)，它們不能用三個不相等的合數(shù)之和來表示。這樣的自然數(shù)中的最大一個是多少？答案：17【分析】4+6+9=1918以上任何數(shù)都可以4+6+8=189、有些數(shù)既能表示成5個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成6個連續(xù)自然數(shù)的和，還能表示成7個連續(xù)自然數(shù)的和。例如：105就滿足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16

15、+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18。請問：在1至1000中一共有多少個滿足上述要求的數(shù)？答案：5個【分析】此數(shù)是5的倍數(shù)，7的倍數(shù)，除以6余3，最小105，最大945，共5個現(xiàn)，10、一個特殊的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動的角度為連續(xù)自然數(shù)數(shù)列。在設定指針第一秒轉(zhuǎn)動的角度為a度（a為小于360的整數(shù)）則其第二秒轉(zhuǎn)動a+1度，第三秒轉(zhuǎn)動a+2度如果指針在第一圈內(nèi)恰好能指回出發(fā)位置，那么a一共有幾種設定方法？最小可以被設成多少？答案：5種；15度【分析】連續(xù)自然數(shù)和為360設有n個（a+a+n-1）n2=360（2a-1+n）n=720一奇一偶720=

16、16325，奇數(shù)有6種取法，除去取1的情況，共5種。37以上除以8余5的奇數(shù)都可以44+9=2525以上除以8余1的奇數(shù)都可以n=16時，a最小，a=15。11、某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1,2,3，12。他們的電話號碼依次是12個并已連續(xù)的六位自然數(shù)，且每家的電話號碼都能被這家的門牌號碼整除。知這些電話的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號碼是9的這一家的電話號碼能被13整除。請問：這一家的電話號碼是多少？答案：388089【分析】2，3，4，12=27720門牌9的這家為27720k+9當k=1時，是13的倍數(shù)，27729再考慮是6位數(shù)27729+2772013=38808912、在

17、等差數(shù)列1,8,15,22,29,36,43，中，如果前n個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)比前n+1個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)少3個，那么n最小是多少？答案：108【分析】第n+1個數(shù)是125的倍數(shù)，125k是除以7余1，k最小為61256=750（750-1）7+1=108超越篇1、有一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個正整數(shù)的和，而且當把它表示成連續(xù)正整數(shù)之和（至少2個）的形式時，恰好有20種方法。這樣的正整數(shù)最小是多少？（寫出質(zhì)因數(shù)分解）答案：236=52=36450（【分析】是10的奇數(shù)倍，最小的話，考慮23a5b的數(shù)（2首項-1+項數(shù)）項數(shù)2=23a5b（2首-1+項）項=223a5b（a+1）b+

18、1）=20+1=21=37a=6，b=2時最小例2、有些自然數(shù)可以表示成兩個合數(shù)相乘再加上一個合數(shù)的形式，如：33=46+9。請問：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是多少？答案：354【分析】4+4=2020以上的偶數(shù)都可以44+15=3131以上除以8余7的奇數(shù)都可以最大為3544+21=3744+27=4343以上除以8余3的奇數(shù)都可以3、在給定的圓周上有100個點。任取一點標上1；按順時針方向從標有1的點往后數(shù)2個點，標上2；從標有2的點再往后數(shù)3個點，標上3依此類推，直至在圓周上標出100。對于圓周上的這些點，有的點可能標上多個數(shù)，的點可能沒有被標數(shù)。請問：標有100的那個點上標出的數(shù)最小是多少？答案：75【分析】標100的點是5050，所以是第50個點，n(n+1)2=100k+50n(n+1)=200k+100=100(2k+1)l100的奇數(shù)倍?？紤]n為25的倍數(shù)周圍的數(shù)，n=75，n+1=76滿足4、三個聰明的初中生聚在一起玩一個推理的游戲。小強與小花各選了一個自然數(shù)并分別將它。告訴小安。小安告訴小強和小花，他將分別把這兩個數(shù)的和與乘積寫在不同的紙上。小安寫好后，將其中一張紙藏起來，把另一張紙亮出來給小強和小花看（這張紙上寫著2008）小安請小強和小花互猜對方所選的數(shù)，小強首先宣稱他無法確定小花所選的數(shù)小花聽完小強的話后，也說她無法確定小強所選的數(shù)。請問