皮亞諾型余項.doc

1、目錄摘要關(guān)鍵詞AbstractKey words.1引言2不同型泰勒公式證明2.1泰勒公式2.2帶有皮亞諾型余項泰勒公式的證明2.3帶有柯西型余項泰勒公式的證明.2.4帶有拉格朗日余項泰勒公式的證明2.5帶有積分型余項泰勒公式的證明3不同型余項泰勒公應(yīng)用3.1.帶有皮亞諾型余項的泰勒公式的應(yīng)用3.1.1求未定式的極限的應(yīng)用3.1.2廣義積分斂散性判定的應(yīng)用3.1.3數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)斂散性判斷的應(yīng)用3.2帶有柯西型余項的泰勒公式的應(yīng)用.3.2.1初等函數(shù)的冪級數(shù)的展開式中的應(yīng)用3.3帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的應(yīng)用3.3.1證明中值公式的應(yīng)用3.3.2證明等式和不等式的應(yīng)用3.3.3近視值

2、的計算的應(yīng)用3.4帶有積分型余項的泰勒公式的應(yīng)用3.4.1定積分計算中的應(yīng)用4.結(jié)束語參考文獻 泰勒公式的證明 內(nèi)容摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的地位,也在微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函數(shù)的增量,自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿。泰勒公式的余項有兩種：一種是定性的，例如我們可以使用泰勒公式, 佩亞諾型余項；另一種是定量的，如拉格朗日余項、柯西型余項等。來很好的解決有關(guān)高價函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題。泰勒公式的收縮適度很好的鍛煉了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，讓我

3、們在學(xué)習(xí)的時候有更廣的思維空間。關(guān)鍵字：泰勒公式 皮亞諾余項 拉格朗日1. 引言 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個重要的內(nèi)容，微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函數(shù)的增量，自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿。我們可以使用泰勒公式，來很好的解決某些問題，如求某些極限，確定無窮小的階，證明等式和不等式，判斷斂散性以及解決中值問題等。本文著重論述泰勒公式在極限、近似、積分運算以及中值問題這四個方面的具體應(yīng)用方法。2. 泰勒公式的證明2.1 泰勒公式我們在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分概念時已經(jīng)知道，如果函數(shù)在點

4、0可導(dǎo)，則有即在點附近，用一次多項式逼近函數(shù)時，其誤差為的高階無窮小量。然而在很多場合，取一次多項式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近，并要求誤差為n），其中n為多項式的次數(shù)，為此，我們考察任一n次多項式。.（1）逐次求它的點處的各階導(dǎo)數(shù)，得到，即由此可見，多項式的各項系數(shù)由其點的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定。對于一般的函數(shù)，設(shè)它在點存在直到n階的導(dǎo)數(shù)。由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個n次多項式 （2）稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式。的各項系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。由上面對多項式系數(shù)的討論，易知與其泰勒多項式在點有相同的函數(shù)值和相同的直至n階導(dǎo)數(shù)值，即,k=0，1，2，。，n （3）下面將要證明，即以（2）式

5、所示的泰勒多項式逼近時，其誤差為關(guān)于的高階無窮小量。2.2帶有皮亞諾型余項的泰勒公式的證明定理1 若函數(shù)在點存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有，即 （4）證 設(shè)現(xiàn)在只要證由關(guān)系式（3）可知并易知.因為存在，所以在點的某領(lǐng)域內(nèi)存在n-1階導(dǎo)函數(shù).于是，當(dāng)且，允許連接使用洛必達法則n-1次，得到 定理所證的（4）式稱為函數(shù)在點處的泰勒公式，稱為泰勒公式的余項，形如的余項稱為皮亞諾型余項。所以（4）又稱帶有皮亞諾型余項的泰勒公式。2.3帶有柯西型余項的泰勒公式的證明定理2 設(shè)函數(shù)和滿足（i）在a,b上連續(xù)；（ii）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（iii）和不同時為零；（iv）,則存在，使得 證 作輔助函數(shù) 易見F在a,b

6、上滿足羅爾定理條件，故存在，使得2.4帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的證明若函數(shù)在a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a，b）內(nèi)存在（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則對任意給定的x，至少存在一點，使得 （5）證 作輔助函數(shù) 所證明的（0）式即為或不妨設(shè)x0x，則F（t）與G（t）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。且又因F()=G（）=0，所以由柯西中值定理證明得其中（5）式同樣稱為泰勒公式，它的余項為 （01）,稱為拉格朗日型余項，所以（5）式又稱為帶拉格朗日型余項的泰勒公式。2.5帶有積分型余項的泰勒公式的證明設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間I上有n+1階連續(xù)可導(dǎo)，a ，I，則證明 記t的函數(shù).逐次對t求導(dǎo)數(shù)，得設(shè)函數(shù)在0,1上有n+1

7、階連續(xù)可導(dǎo)，根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有對上式做部分積分n次，得出：將（0）式中的t分別取1，0帶入（0）式中得：3. 不同型泰勒公式的應(yīng)用3.1帶有皮亞諾型余項的泰勒公式的應(yīng)用3.1.1求未定式的極限的應(yīng)用例1. 求極限解：已知 = = =于是， = =例2 寫出的麥克勞林公式，并求與解：用替換公式中的得到由泰勒公式系數(shù)的定義，在上述的麥克勞林公式中，與的系數(shù)分別為由此可見，例3求極限解：時，有，所以 故例4：求極限解： 利用泰勒公式，將 和 中的 展到 的項。已知，代入計算3.1.2廣義積分斂散性判定的應(yīng)用3.1.3數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)斂散性的應(yīng)用3.2帶有柯西型余項的泰勒公式的應(yīng)用3.2.1

8、初等函數(shù)的冪級數(shù)的展開式中的應(yīng)用例5 證明：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則證明 令，顯然，已知 ，即，有，根據(jù)柯西中值定理，有，或 或 已知，即，有與于是，有即 例6 設(shè)函數(shù)在 內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，有 證明： 在 內(nèi)一致連續(xù)證 由函數(shù)極限的局部有界性可知，和，使 ， .于是，且，依柯西中值定理，有即故 ，當(dāng)，且時，由上面兩式得到于是知道在上一致連續(xù).由于在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù).于是在上一致連續(xù).例7 設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)n階可導(dǎo)，且 證明，證 令，則，在上滿足柯西中值定理條件，故式中，即 ，例8 設(shè)函數(shù)在a,b上可微，且a與b同號，證明：，使得（1）（2）證 （1）將原不等式變形為知，

9、只要引入輔助函數(shù).由于，在上滿足柯西中值定理條件，所以，即 （2）將原不等式變形為知，只要引入輔助函數(shù)=，由于，在上滿足柯西中值定理條件，所以，使，即=3.3帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的應(yīng)用3.3.1證明中值公式的應(yīng)用3.3.2證明等式和不等式的應(yīng)用3.3.3近視值的計算的應(yīng)用例9將下列麥克勞林公式改寫為帶有拉格朗日型余項的形式（1）（2）（3）解：（1），由，得到（2），由得到（3）類似可得例10：證明證 由泰勒公式，有將上述兩式兩邊相減，得或 由 故 ，則 于是 例11：（1） 計算e的值，使其誤差不超過10-6 ；（2） 證明數(shù)e為無理數(shù)解：（1）由公式，當(dāng)x=1時有 ，故 ，當(dāng)時，便

10、有從而略去而求得e的近似值為（2）由 得 倘若（a,b為正整數(shù)），則當(dāng)時，為正整數(shù)，從而上式左邊為整數(shù)，因為，所以當(dāng)時右邊為非整數(shù)，矛盾。從而e只能是無理數(shù)。例12 設(shè) 在 內(nèi)有四階導(dǎo)數(shù)，且，.又，證明 證 將和 分別在點展開，得，則 將兩式相加，得 所以 3.4帶有積分型余項的泰勒公式的應(yīng)用3.4.1定積分計算中的應(yīng)用 例13 計算 解：設(shè) 則 由公式有例14 計算解：結(jié)束語泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計算、極限計算、函數(shù)凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問題以及行列式的計算等方面有重要的應(yīng)用。通過本文對極限計算、斂散性的判斷、中

11、值問題以及等式與不等式的證明這四個方面的論述，我們可以了解到高階（二階及二階以上）導(dǎo)數(shù)的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。只要題中條件給出函數(shù)二階及二階以上可導(dǎo)，不妨先把函數(shù)在指定點展成泰勒公式再說，一般是展成比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式，然后根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇展開點（展開點未必一定是具體數(shù)值點，有時以X為佳）。只要在解題訓(xùn)練中注意分析、研究題設(shè)條件及其形式特點，并把握上述處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。參考文獻：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊、第三版）M北京高等教育出版社2001（2008重?。?，125-126，134-1392孫清華，孫昊數(shù)學(xué)分析 內(nèi)容、方法與技巧（上）M武漢華中科