現(xiàn)代科技綜述知識(shí)文庫(kù)：常微分方程穩(wěn)定性理論

1、現(xiàn)代科技綜述系列常微分方程穩(wěn)定性理論科技是人類(lèi)區(qū)別于動(dòng)物的重要文明之一，是人類(lèi)對(duì)自然規(guī)律研究和利用的學(xué)科。本文提供對(duì)科技基本概念“常微分方程穩(wěn)定性理論”的解讀，以供大家了解。常微分方程穩(wěn)定性理論通常稱為運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論。簡(jiǎn)稱穩(wěn)定性理論。是常微分方程理論的一個(gè)重要分支。主要研究干擾對(duì)由常微分方程所描述的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。從而建立判斷運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性態(tài)的一些準(zhǔn)則。由于力學(xué)系統(tǒng)和工程技術(shù)問(wèn)題中都要考慮其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。因此，穩(wěn)定性的研究也是一般力學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題。穩(wěn)定性理論由19世紀(jì)末俄國(guó)李雅普諾夫()開(kāi)創(chuàng)。李雅普諾夫在運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題(1892)中給出了常微分方程dxdt=f(t，x)解的穩(wěn)

2、定性、漸近穩(wěn)定性及不穩(wěn)定性的定義。通常稱之為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。同時(shí)提出了研究其穩(wěn)定性的兩種方法。在第1種方法中，提出變系數(shù)線性微分方程組的特征數(shù)、正規(guī)解族和正則系統(tǒng)等概念，并建立了相應(yīng)的特征數(shù)理論。證明了當(dāng)一次近似是正則系統(tǒng)且其所有特征數(shù)為正時(shí)方程零解是漸近穩(wěn)定的。第2種方法的特點(diǎn)是不求出方程的解，而通過(guò)構(gòu)造一類(lèi)具有特殊性質(zhì)的函數(shù)V(t，x)來(lái)判斷微分方程解的穩(wěn)定性態(tài)。因此又稱為李雅普諾夫直接方法。這類(lèi)函數(shù)V(t，x)稱為李雅諾夫函數(shù)，簡(jiǎn)稱V函數(shù)。李雅普諾夫應(yīng)用V函數(shù)方法研究了方程右端一次近似為常系數(shù)的非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性，包括特征方程中具有一個(gè)零根或兩個(gè)零根或一對(duì)共軛虛根而其余特征

3、根均具負(fù)實(shí)部這3類(lèi)臨界情形的穩(wěn)定性。對(duì)周期系統(tǒng)也作了類(lèi)似分析。20世紀(jì)5060年代，在美國(guó)貝爾曼(RBellman)、萊夫謝茨(SLefschetz)及拉薩爾(JPLaSalle)等的大力介紹和推動(dòng)下，穩(wěn)定理論在世界范圍內(nèi)迅速發(fā)展起來(lái)。在中國(guó)，則在秦元?jiǎng)?、張學(xué)銘、許淞慶等的大力提倡下，形成一支可觀的研究隊(duì)伍。葉魯金(Epy)等研究第1方法中一次近似系統(tǒng)特征數(shù)與穩(wěn)定性保持問(wèn)題的關(guān)系，并進(jìn)一步探討特征數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算等。50年代馬爾金(Ma)提出特征數(shù)的穩(wěn)定性問(wèn)題，貝洛夫(o)等則研究了最大、最小特征數(shù)的上、下穩(wěn)定性和特征數(shù)的重合等問(wèn)題。對(duì)于李雅普諾夫第2方法，切塔也夫(Heae)等研究李雅普諾夫穩(wěn)

4、定性條件。提出了一致穩(wěn)定性等概念，建立了著名的切塔也夫不穩(wěn)定定理。同時(shí)研究了李雅普諾夫穩(wěn)定性條件的必要性。通過(guò)分類(lèi)并應(yīng)用微分方程的解構(gòu)造V函數(shù)，基本上解決了各種穩(wěn)定性定理的逆問(wèn)題。關(guān)于穩(wěn)定性定理?xiàng)l件的研究，除了個(gè)別條件的削弱，例如dvdt定號(hào)性的減弱等條件之外，最有名的是向量李雅普諾夫函數(shù)和微分不等式比較方法的引入。60年代貝爾曼和馬特洛索夫(BMarp)通過(guò)向量V函數(shù)將微分方程穩(wěn)定性的研究轉(zhuǎn)化為以V函數(shù)為自變量的另一微分方程的正解的穩(wěn)定性的研究。李雅普諾夫定義的穩(wěn)定性原是局部性質(zhì)的概念，在實(shí)際應(yīng)用中往往要考慮全相空間的情形。50年代初巴爾巴辛(EAaa)和克拉索夫斯基(HHKpacc)引進(jìn)了

5、無(wú)限大函數(shù)的概念把李雅普諾夫定理推廣到全空間，建立了全局穩(wěn)定性理論。其結(jié)果后來(lái)廣泛應(yīng)用于自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)中。早在60年代，拉薩爾便應(yīng)用拓樸動(dòng)力系統(tǒng)的極限集概念建立了“不變性原理”。用李雅普諾夫函數(shù)刻劃微分方程解的極限集位置。70年代以來(lái)，不變性原理用于全局穩(wěn)定性的各種研究。從力學(xué)問(wèn)題中還提出了部分變?cè)€(wěn)定性概念。通過(guò)對(duì)V函數(shù)條件的改進(jìn)也得到了部分變?cè)€(wěn)定性的有關(guān)定理。40年代末，控制理論的發(fā)展提出了一類(lèi)自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)(稱為ype系統(tǒng))的絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題。5060年代對(duì)這類(lèi)問(wèn)題作了細(xì)致的研究，為此而發(fā)展了V函數(shù)方法和波波夫(Popov)頻率法則，并研究了其相互聯(lián)系。反映了古典控制論的

6、頻率方法和現(xiàn)代控制論的狀態(tài)空間方法的結(jié)合。70年代以來(lái)，穩(wěn)定性理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展。除了5060年代發(fā)展起來(lái)的控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性、臨界情形穩(wěn)定性、向量李雅普諾夫函數(shù)和比較方法等繼續(xù)得到發(fā)展外，在科學(xué)技術(shù)發(fā)展的推動(dòng)下還提出了若干新的問(wèn)題和方法。同時(shí)，穩(wěn)定性理論與方法，已廣泛地滲透到其他學(xué)科中去。60年代初，秦元?jiǎng)?、王慕秋、王?lián)即已提出將大系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題分解為子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。劉永清亦曾應(yīng)用V函數(shù)的分解來(lái)處理大系統(tǒng)的穩(wěn)定性。后來(lái)貝利(FNBayley)應(yīng)用向量李雅普諾夫函數(shù)研究大系統(tǒng)。70年代以來(lái)，大系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究得到了迅速發(fā)展。在電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性研究中得到實(shí)際應(yīng)用。生態(tài)種群模型是一種僅當(dāng)

7、變量為非負(fù)時(shí)才有意義的特殊類(lèi)型微分方程，可以通過(guò)引入特殊形式的V函數(shù)來(lái)研究其生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?；瘜W(xué)、生物、物理等學(xué)科的發(fā)展也提出了眾多的各類(lèi)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。技術(shù)研究要求研究的干擾范圍和時(shí)間間隔，一些實(shí)際系統(tǒng)可能是不可微或不連續(xù)的，對(duì)其擾動(dòng)影響的研究提出了有限時(shí)間區(qū)間穩(wěn)定性、經(jīng)常擾動(dòng)作用下穩(wěn)定性、區(qū)間穩(wěn)定性及不連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性等各種技術(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題。李雅普諾夫方法已不限于研究穩(wěn)定性問(wèn)題，也可應(yīng)用于研究解的有界性、振動(dòng)性等。吉澤太郎(TYoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的穩(wěn)定性、有界性。同時(shí)，利用李雅普諾夫函數(shù)研究周期解、概周期解的存在性。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論與方法已滲透到各類(lèi)學(xué)科中去。對(duì)

8、動(dòng)力系統(tǒng)、泛函微分方程、隨機(jī)微分方程、微分積分方程、含脈沖系統(tǒng)及偏微分方程建立了相應(yīng)的穩(wěn)定性理論。李雅普諾夫特征數(shù)在渾沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起著重要作用。50年代，儒波夫(3y)已將常微分方程穩(wěn)定性的結(jié)果轉(zhuǎn)移到距離空間的流上。后來(lái)，逐漸形成了以李雅普諾夫函數(shù)為主要工具的動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性理論。60年代主要研究動(dòng)力系統(tǒng)的緊不變集和閉不變集的穩(wěn)定性。70年代以來(lái)，非緊集、“過(guò)程”及一般系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論得到迅速發(fā)展。李雅普諾夫函數(shù)還應(yīng)用于流形上動(dòng)力系統(tǒng)的孤立塊理論研究。泛函微分方程從理論建立的開(kāi)始便同時(shí)研究其穩(wěn)定性問(wèn)題。4050年代主要研究差分微分方程穩(wěn)定性。60年代全面開(kāi)展

9、有滯后型泛函數(shù)微分方程穩(wěn)定性的研究。7080年代則主要研究無(wú)限時(shí)滯系統(tǒng)和中立型泛函微分方程穩(wěn)定性。其主要工具是李雅普諾夫泛函和拉什密辛(CP)型V函數(shù)。運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的含義一般不局限于常微分方程所描述的系統(tǒng)，也不受囿于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。科學(xué)技術(shù)特別是航天技術(shù)的發(fā)展促進(jìn)了力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究。提出并發(fā)展了有關(guān)哈密頓系統(tǒng)穩(wěn)定性、衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定性、充液腔體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、陀螺力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性、粒子和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、碰撞運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性以及流體穩(wěn)定性等一系列力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。今后，穩(wěn)定性理論將繼續(xù)在新技術(shù)的應(yīng)用中發(fā)揮作用，并在控制理論、偏微分方程、微分積分方程等學(xué)科中得到發(fā)展。同時(shí)，動(dòng)力系統(tǒng)理論、非線性科學(xué)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用將為穩(wěn)定性理論的發(fā)展開(kāi)拓新的方向?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】： 1 LaSalle J P. Soc for Industrial and Appl Math, 197