寬帶激光傳輸?shù)南嚓P(guān)理論和數(shù)值算法畢業(yè)論文設(shè)計基礎(chǔ)

1、第1章 寬帶激光傳輸?shù)南嚓P(guān)理論和數(shù)值算法本章首先給出寬帶激光的基本傳輸方程，接著介紹寬帶激光線性和非線性傳輸?shù)幕纠碚摚⒛承├碚撨M行適當(dāng)推廣，然后闡述求解寬帶光束線性和非線性傳輸?shù)南嚓P(guān)數(shù)值算法。1.1 二維傅里葉變換與逆變換變換 逆變換其中(x, y)為空間坐標(biāo)，(fx, fy)為空間頻率坐標(biāo)。1.2 基本傳輸方程考慮光的波動性，光的傳輸滿足maxwells 方程組其中f 和j分別表示介質(zhì)中的自由電荷密度和傳導(dǎo)電流密度，e、d、b、h分別表示電場強度、電位移矢量、磁感應(yīng)強度和磁場強度，它們由物質(zhì)方程聯(lián)系式中p和m分別表示極化強度和磁化強度，e0和m0分別表示真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。對于無

2、源介質(zhì)f =0, j= 0, m = 0，用算符作用于方程，并結(jié)合方程得到式中m0e0=1/ c2，c為真空中的光速。利用關(guān)系，得一般的波動方程式中p=pl+pnl，其中 pl和pnl分別為表示介質(zhì)特性的線性極化強度和非線性極化強度。波動方程是光波傳輸所滿足的最基本的方程。1.3 寬帶激光線性傳輸?shù)南嚓P(guān)理論在線性介質(zhì)中，p為常量，方程表示的波動方程可化為標(biāo)量的helmholtz方程其中k為波數(shù)，定義為這里，n是介質(zhì)的折射率。在真空(n=1)或均勻介質(zhì)(n1)中傳播的任何單色光的擾動的電場復(fù)振幅必須滿足上述關(guān)系。1.3.1 寬帶激光脈沖的線性傳輸方程對于寬帶激光束，各種波長成分的光投射到入射面上

3、的相幅矢量的振幅變化是一致的，盡管空間任意兩點可有不同的固定相對相位，但它們的絕對相位隨時間的變化方式是相同的，在出射平面上各個脈沖響應(yīng)的變化也是一致的，因此可按復(fù)振幅相加 109 。這樣，我們可以借鑒單色光束的傳輸規(guī)律，研究寬帶激光束的傳輸特性。1.3.1.1 傍軸近似傳輸方程首先考慮波長為的單色光的自由空間傳輸規(guī)律。在菲涅耳傍軸近似下，標(biāo)量亥姆霍茲方程的解可近似為huygens-fresnel衍射積分公式，其表達(dá)形式有兩種形式 109，第一種形式是卷積形式，表示為式中e1和e2分別是輸入平面x1y1和輸出平面x2y2上的光場，z為光的傳輸距離。利用卷積的性質(zhì)，得到其中和分別表示二維傅里葉變

4、換和逆變換，為傳遞函數(shù)它描寫菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)的傳播的效果，這個式子的第一個指數(shù)因子代表一個總體的相位延遲，第二個指數(shù)因子代表相位彎曲。方程表示，輸出光場為輸入光場的傅里葉變換與傳遞函數(shù)的乘積的傅里葉逆變換。huygens-fresnel積分公式的另一種表達(dá)形式為式中右邊的積分表示輸入場e1(x1，y1)與一個二次相位因子expi/z(x12+y12)的乘積在空間頻率坐標(biāo)(x2/z，y2/z)的二維傅里葉變換。huygens-fresnel積分公式的這兩種表達(dá)形式在數(shù)值計算中有著不同的用途，例如，在fresnel數(shù)f(=w2/z，其中w為光腰)1時，使用第一種表達(dá)形式效果較好，在fresnel數(shù)f

5、1時，使用第二種表達(dá)形式效果較好。1.3.1.2 角譜傳輸理論由傅里葉變換的基本概念可知，對一隨時間變化的信號作傅里葉變換，可求得該信號的頻譜分布，同樣，若對任意平面上的復(fù)光場分布作二維傅里葉變換，則可求得光信號的“空間頻譜”分布。各個空間頻率的空間傅里葉分量，可以看作是沿不同方向傳播的平面波。因此，把“空間頻譜”稱為平面波的角譜?？紤]波長為的光波沿著z方向投射到平面x1y1上，z=0處光場為e1(x, y;) 的頻譜函數(shù)為a0(fx, fy;)，則函數(shù)e1(x, y;)在x1y1平面上的二維傅里葉變換為109其傅里葉逆變換為上式是把頻域函數(shù)a0傅里葉變換為空域函數(shù)e1，也可理解成空域函數(shù)e1

6、可以展開成以空間頻率為變量的系列基元函數(shù)expi2(xfx+yfy)之和。又因為以方向余弦(, , )傳播的單位振幅的平面波的方程為容易看出該方向余弦與空間頻率的關(guān)系基于這個原因，函數(shù)稱為光場e1(x, y;)的角譜。同樣地，在輸出平面x2y2上令a (fx, fy;)為輸出函數(shù)e2(x, y;)的角譜，根據(jù)標(biāo)量的亥姆霍茲方程，角譜的傳輸滿足方程109式中circ為圓域函數(shù)。可以看到，波傳播現(xiàn)象的傳遞函數(shù)為這樣，輸出光場e2(x, y; )與輸入光場e1(x, y; )仍由方程關(guān)聯(lián)，可以作為光束的非傍軸傳輸。1.3.1.3 單色光線性傳輸方程對寬帶激光傳輸?shù)耐茝V對于寬帶激光，輸出電場還是波長或

7、角頻率的函數(shù)，將上述單色光傳輸理用于寬帶激光的傳輸，最后的輸出場為所有輸出單色光復(fù)電場振幅的疊加，設(shè)光束的帶寬為，中心波長為0，若僅考慮光場的空間分布，則有 若還要考慮光場隨時t的變化，則有其中e2(x, y;)e2(x, y;)。1.3.2 寬帶激光脈沖通過單透鏡的傳輸方程眾所周知，透鏡對兩焦平面上的單色光具有fourier變換性質(zhì)。對寬帶激光，kempe等人得到了光從透鏡前側(cè)傳輸?shù)酵哥R后距離為z的近似結(jié)果110，這里重新考慮一般的情況，并得出精確解。設(shè)光的波長為時透鏡的焦距為f，光通過透鏡的傳輸如圖2-1所示。假定光束在距離d0上的傳輸滿足菲涅耳近似，由方程得式中k=k()是真空中的波數(shù)。

8、而在傍軸近似時透鏡后側(cè)的場ul可表示為111n=n()表示與波長有關(guān)的透鏡折射率，式中焦距f的計算公式為111為與透鏡孔徑有限大小有關(guān)的光瞳函數(shù)，定義為-r2ui(xi,yi)ul(x,y)ul(x,y)uo(xo,yo)zd0dzr1圖1-1光通過透鏡傳輸?shù)氖疽鈭D利用huygens-fresnel衍射積分求透鏡后距離為z的平面上場振幅分布uo(xo,yo)，有：若光束截面線度小于透鏡孔徑，忽略方程中的因子后代入得可見，上述被積函數(shù)內(nèi)的二次相乘因子在時不能相消。將代入并整理得對x、y積分化簡后得到其中式忽略了expik(d0+z)相位因子，表示原場乘以一個二次相位因子后在空間頻率坐標(biāo)(xo/z

9、l，yo/zl)上的傅里葉變換，雖然這種變換不是準(zhǔn)確的，但具有非常廣泛的意義，可用于非像傳遞空間濾波器、計算色差、研究透鏡后任一平面上的場幅或光強分布等。另一方面，考慮寬帶激光束，設(shè)投射到透鏡上的光束是帶寬為中心波長為0的對稱型寬帶激光束，將方程中的uo(xo, yo)改寫為uo(xo, yo; )，進行疊加后并取平均值得到 上式描述了凸透鏡對寬帶激光束的變換特性。1.3.3 寬帶激光通過空間濾波器的傳輸波長為的光束對應(yīng)的像傳遞空間濾波器如圖2-2所示，它的光束輸入、輸出平面分別在兩透鏡的焦平面上。f10f 20f 10f20ein l1 filter l2 eout圖1-2 單級空間濾波器

10、(ssf)理想的單色光束可以滿足像傳遞，但對于寬帶脈沖，由于透鏡的色散，焦距隨頻率或波長的變化而變化，寬帶脈沖中最多只有一種頻率的光能進行像傳遞，因此現(xiàn)有的透鏡變換公式不適合寬帶脈沖傳輸?shù)目臻g滲濾器，必須考慮更普遍的情形?？紤]色散效應(yīng)的空間濾波器我們稱之為色散空間濾波器。對中心波長為0寬帶脈沖，設(shè)透鏡l1和l2的焦距分別為f10和f20，濾波小孔安裝在l1與l2的共焦平面上，入射場與出射場分別為與中心波長相對應(yīng)的l1的前焦面和l2的后焦面。在方程、中取d0=z=f10或f20，f=f1或f2，用方程描述透鏡l1和l2的特性，將l分別寫成l1和l2，有f1或f2分別是透鏡l1和l2隨波長而變化的

11、焦距?？梢?，l1和l2分別表示了透鏡l1和l2的色散關(guān)系。將方程應(yīng)用于透鏡l1和l2后再進行線性疊加，并取平均值得到 其中d1和d2分別表示了透鏡l1和l2的厚度，t(x/f10，y/f10)是濾波小孔的透射函數(shù)，定義為方程表示光通過透鏡l1進行一次fourier變換，由小孔進行濾波，最后由透鏡l2再進行一次fourier變換而得到輸出光場。由于透鏡的色散，寬帶激光僅在=0時才能實現(xiàn)理想的空間濾波。同樣，最后的輸出場為注意，上面給出的寬帶激光傳輸理論主要考慮的是輸出光束的空間特性，若考慮的是時間特性或時空耦合特性，應(yīng)將輸出場中的波長改寫為頻率，然后進行一次fourier逆變換。1.4 寬帶激光

12、非線性傳輸?shù)南嚓P(guān)理論單色光束傳輸問題時可以略去群速度色散項，為標(biāo)準(zhǔn)的非線性schrdinger方程為88式中是橫向laplace算符。注意，由于“本地時間坐標(biāo)”隱含于方程，因此方程也適用于準(zhǔn)單色光束情況。寬帶脈沖光束的非線性傳輸不同于普通窄帶(準(zhǔn)單色)的高功率激光傳輸，其差別主要有兩點:第一是脈沖光譜成分中不同波長的光波衍射的強弱程度不一樣，導(dǎo)致所謂的時空耦合形象，對光束的展寬、聚焦，以及小尺度自聚焦過程等都有影響；其二，脈沖的光譜寬度與激光增益帶寬可以相比，所以必須考慮不同光譜成分的增益差別，以及脈沖光譜的窄化現(xiàn)象。同時，激光脈沖光束在傳輸過程中由于時空耦合也會導(dǎo)致脈沖光束的形狀改變。具體考

13、慮到高功率激光驅(qū)動器的要求，典型脈沖時間為tp=1-5ns，對應(yīng)的變換極限帶寬為1.632103-0. 3264103nm。按照目前的設(shè)計，寬帶脈沖是通過ps級超短脈沖展寬后得到ns級脈沖，所以脈沖帶有巨大的頻率啁啾，典型約103-104。對于這種帶有大啁啾的脈沖光束，其沿時間維的相位變化是非常快的。1.4.1 慢演化波近似非線性傳輸方程光學(xué)中傳輸方程在描述脈沖變化時起著非常重要的作用。包含幾個脈沖周期長周期飛秒脈沖己經(jīng)在理論和實驗上廣泛研究。brabec等人從方程出發(fā)通過慢演化波近似(slowly-evolving-wave approximation(sewa)推導(dǎo)了一個三維的非線性傳輸方

14、程24，理論上甚至可以描述單周期脈沖的傳輸，并且說明了慢變包絡(luò)近似和sewa之間的差別。其中及對kerr介質(zhì)的話，當(dāng)脈沖很短時g不得不考慮raman效應(yīng)（self-frequency shifting(sfs)）的影響，此時為其中為非線性折射率的raman效應(yīng)因子。方程右邊各項分別表示衰減、衍射、群速度和色散(group-velocity dispersion, gvd)、以及非線性自聚焦，為自陡峭項（self-steepening(ss)）。1.4.2 慢演化波近似非線性傳輸方程的進一步簡化在近似條件|1-01/0|s時，用方程表示的系數(shù)fn和gn均恒等于0，于是方程無限項的和變成了有限項，

15、取前n1項，得到離散ht和iht分別為 為了減少方程右邊求和符中數(shù)據(jù)相乘的次數(shù)，分別定義向量g(m)和f(n)為于是方程進一步簡化為其中cnm為(n1)(n1)變換矩陣c的矩陣元，表示為由方程和容易看出矩陣c的一些特性：c是正交矩陣，滿足cct=cc=i（i表示單位矩陣），其行列式detc的值等于1；c是單參數(shù)s的函數(shù)，cc(s)，s不同，矩陣c中元素的值不同，所以如何選擇s以使c成為正交矩陣對提高該算法的精度非常重要。通過數(shù)值分析，取sjn+1(jn+1是0階bessel 函數(shù)的第n+1個零點)變換矩陣c最接近正交矩陣，為進一步提高精度，我們利用矩陣c的性質(zhì)對jn+1進行修正得到s，其修正表

16、達(dá)式為我們通過數(shù)值方法計算|detc|-1|的值來驗證方程的修正效果，取n10，k分別為0和2，計算的結(jié)果分別為8.5710-4和8.1610-5，而sjn+1時的結(jié)果為2.2110-2?？梢妔按方程取值c更接近于正交矩陣，其中k為調(diào)整精度的參數(shù)，它只跟抽樣點數(shù)n有關(guān)。為了確定k的值，我們編制了n分別從2到500計算|detc|-1|最小值所對應(yīng)的k的程序，結(jié)果發(fā)現(xiàn)(算符表示取整運算)時|detc|-1|取最小值或接近于最小值，k的這個取值可作為讀者在應(yīng)用上的參考。將方程代入parseval定理：并結(jié)合方程得到parseval定理的離散形式為這就意味著dqdht算法在空間域與空間頻率域能量同樣

17、是守恒的，適合反復(fù)變換。2.3 算法的測試與驗證我們用c+語言編程對dqdht算法的正確性與精度進行測試，根據(jù)c為實對稱矩陣，對數(shù)據(jù)的存儲采用三角矩陣形式，可以分別節(jié)省n(n+1)/2個雙精度型存儲單元的存儲空間，這用c+語言編程是非常容易實現(xiàn)的。關(guān)于bessel函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的零點可以參考文獻(xiàn)計算127，也可以直接用常用的數(shù)值方法解非線性方程求解，只要通過幾次迭代，就可以得到很高精度的結(jié)果。首先我們用連續(xù)函數(shù)f(r)=r2exp(-r2)作為輸入函數(shù)對dqdht算法進行測試，它在0,)上的0階ht的精確表達(dá)式為以g ()作為基準(zhǔn)，用g*()表示dqdht算法的變換值，在空間頻率域定義絕對誤差為

18、|g-g*|，并分別用maxe表示最大絕對誤差，mine表示最小絕對誤差，meane表示平均誤差|g-g*|/n，取b=(s/2) 0.5，一次dqdht的計算結(jié)果如表2-1所示：表2-1 f(r)的dqdht值與精確值的絕對誤差n10203040mine2.710-91.710-168.310-181.310-18maxe1.910-75.210-142.810-161.910-16meane5.110-89.410-159.710-177.810-17可見，對于連續(xù)函數(shù)，當(dāng)抽樣點數(shù)n很小時dqdht算法都有很高的精度，隨著n的增加，精度更高。圖2-1表示函數(shù)g()的精確值與經(jīng)過101次dq

19、dht后的結(jié)果比較，計算中抽樣點數(shù)n100。在圖2-1(a)中，實線表示精確值，圓點線表示dqdht的數(shù)值結(jié)果，可見兩者非常一致；圖2-1(b)表示它們之間的誤差隨空間頻率的變化，由圖可知，整個頻率范圍內(nèi)誤差均是極小的，相對而言，只有在在低頻的小范圍內(nèi)誤差大一些，取絕對值后得到的最小絕對誤差、最大絕對誤差和平均誤差分別為2.1710-17、1.8010-13和6.8010-15。從這些結(jié)果看出：即使是最大誤差，也與計算機精度同數(shù)量級（c+雙精度型數(shù)值精度為15位小數(shù)）。同時該算法的執(zhí)行速度也是快的，在p1.5ghz的cpu，512mb內(nèi)存的pc機上執(zhí)行程序，dqdht算法經(jīng)過101次變換花費的

20、時間僅0.031s，抽樣點在128以內(nèi)時，它比快速hankel變換速度更快?？梢?，同fft一樣，dqdht算法經(jīng)過多次變換是不會丟失精度的，而且程序執(zhí)行速度也快。圖2-1 g()的精確值與函數(shù)f(r)經(jīng)過101次dqdht后的結(jié)果比較其次，我們用top-hat函數(shù)f(r)=1 (0rb)，作為輸入函數(shù)，其0階ht的精確表達(dá)式為圖2-2(a)給出了“top-hat”函數(shù)經(jīng)過一次dqdht后與精確變換值的比較，計算中空間域截斷半徑b=5，抽樣點數(shù)n200，空間頻率域截斷半徑在20.025附近。圖中實線表示精確值，點線表示數(shù)值結(jié)果，由圖看出dqdht的變換值與精確變換值符合的很好。準(zhǔn)離散hankel

21、變換(qdht)123 算法是以前ht算法中精度最高的，分別計算top-hat函數(shù)經(jīng)過一次dqdht和qdht后的數(shù)值結(jié)果與精確值絕對誤差的對數(shù)繪于圖2-2(b)，計算參數(shù)同上。從圖2-2(b)看出，整個空間頻率范圍內(nèi)dqdht算法得到的曲線(圓點線)均位于qdht算法得到的曲線(方點線)的下方，表示基于dini級數(shù)展開的dqdht算法比基于fourierbessel級數(shù)展開的qdht算法的精度更高，絕對誤差的對數(shù)前者小于-5.02，而后者大于-3.39。圖中17.13處出現(xiàn)了最小值-10.46，這是因為“top-hat”函數(shù)的ht值在2.0后接近于0（見圖2-2(a)），我們通過數(shù)值計算論證

22、，發(fā)現(xiàn)“top-hat”函數(shù)的ht的精確值在此處及其附近更接近0，因此qdht后的數(shù)值結(jié)果與精確值絕對誤差的對數(shù)在17.13處出現(xiàn)了最小值。圖2-2 (a)“top-hat”函數(shù)經(jīng)過一次dqdht后與精確變換值的比較，(b)它們之間絕對誤差的對數(shù)隨空間頻率半徑變化的比較，其中b=5，n2002.4 dqdht方法在光束傳輸中的應(yīng)用2.4.1 dqdht處理光傳輸問題的有效性在光傳輸系統(tǒng)中，光束在傳輸過程中一般要經(jīng)過各種不同的組件和不同的介質(zhì)，這就需要對光束的傳輸進行分步計算，將前一步的輸出作為下一步的輸入。在周期性介質(zhì)和非線性介質(zhì)中尤其如此，而且要進行數(shù)以千計次反復(fù)計算。對于每一步傳輸?shù)挠嬎阋?/p>

23、般使用二維fourier變換對，對于圓柱對稱系統(tǒng)，采用hankel變換可大大提高計算速度，但對hankel變換的計算精度要求更高。也就是說，hankel變換算法應(yīng)用于光束傳輸，尤其是非線性傳輸中，要求其對輸入函數(shù)進行大量的hankel變換對后，函數(shù)形狀保持不變。這里以超super gaussian啁啾光束為例，來證明dqdht處理光傳輸問題的有效性。設(shè)初始m階超gaussian啁啾光束為其中e0、w和c分別是超gaussian光束的振幅、束寬和啁啾。分別取e01, w1, m=20, c0.01，橫向抽樣點數(shù)n=256，空間域截斷半徑b5。為了準(zhǔn)確地考察dqdht算法對應(yīng)用于光傳輸?shù)目尚行裕?/p>

24、們考察了光束強度和能量隨hankel變換對的次數(shù)的變化，計算結(jié)果繪于圖2-3和圖2-4。圖2-3給出了20階超gaussian啁啾光束隨hankel變換對次數(shù)的變化。圖2-3 (a)表示軸上dqdht的結(jié)果(圓點線)與初始光強(方點線)的比較，可以看出，隨著hankel變換對次數(shù)的增加，光束傳播軸上的光強與初始光強基本一致；圖2-3(b)表示光束的總能量隨hankel變換對數(shù)的變化，圖上的水平直線說明光束的總能量在傳輸過程中保持基本不變。圖2-4 (a)為3階超gaussian啁啾光束經(jīng)過500個hankel變換對后的剖面光強與初始剖面光強的比較，其中方點線表示初始剖面光強，圓點線表示3階超g

25、aussian啁啾光束經(jīng)過500個hankel變換對后的剖面光強，可見它們的分布是幾乎完全一樣的；圖2-4 (b)是它們之間的絕對誤差的對數(shù)，隨著半徑的增大誤差越來越小，最大誤差為10-10量級，最小誤差為10-25量級，進一步說明dqdht算法具有極高的精度。圖2-3 20階超gaussian啁啾光束隨hankel變換對次數(shù)的變化，(a)軸上dqdht的結(jié)果與初始光強的比較；(b)光束的總能量隨hankel變換對數(shù)的變化圖2-4 (a)3階超gaussian啁啾光束經(jīng)過500次hankel變換對后與初始光強的比較；(b)它們之間的絕對誤差的對數(shù)2.4.2 線性傳輸將dqdht算法應(yīng)用于實際的

26、光束線性傳輸中，光束傳輸算法采用方程和。將厚度均為4cm折射率分別是n1=1和n2=1.5的兩種平板線性介質(zhì)交替緊密排列，用光束在每一塊介質(zhì)中的傳輸取代上述的hankel變換對，500步的傳輸中傳輸距離為2000cm。取初始超高斯(super gaussian)啁啾光束參數(shù)e02 =1.0gw/cm2，w=1cm，c0.01/cm2，波長=1053nm，分別用dqdht和二維快速傅里葉變換(2dfft)兩種方法計算20階超高斯啁啾光束的傳輸結(jié)果如圖2-5和3-6所示，其中抽樣點數(shù)分別為256和512512。圖中可見兩種方法計算的結(jié)果幾乎沒有差別。在同樣的pc機上運行程序用2dfft方法需要時間

27、114.22s，而用dqdht方法只需要1.19s。這就充分說明，對圓對稱光傳輸問題完全可以用dqdht方法取代2dfft，效率可以極大地得到提高。圖2-5 分別用dqdht和2dfft兩種方法計算20階超高斯啁啾光束通過500塊交替排列的介質(zhì)的軸上強度隨傳輸距離的變化關(guān)系圖2-6分別用dqdht和2dfft兩種方法計算20階超高斯啁啾光束通過500塊交替排列的介質(zhì)后的剖面強度分布2.4.3 非線性傳輸另外，我們以穩(wěn)態(tài)自聚焦為例驗證dqdht算法處理光束非線性傳輸問題的有效性。在旁軸近似下，kerr介質(zhì)中光束傳輸滿足方程(2-31)非線性schrdinger，采用方程表示的非線性傳輸算法，線性和非線性算符、分別定義為我們分別用二維快速fourier變換(2dfft)和dqdht計算方程(2-31)，并將它們的結(jié)果進行比較?？紤]gaussian光束的傳輸，設(shè)m=1，e02 =1.0，w=2.5，c0，波長=1.32，n0=1，n2=0.02，這兒e02和n2的絕對單位是不重要的，重要的是它們的積。取傳輸距離z為25，傳輸步數(shù)為500，抽樣點數(shù)分別為512512和257，計算結(jié)果如圖2-7和3-8所示。由圖2-7看出，光束在z=21.75處崩塌