知識(shí)講解_變量間的相關(guān)關(guān)系_提高

1、變量的相關(guān)性【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 明確兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的意義；2. 知道回歸分析的意義；3. 知道回歸直線、回歸直線方程、線性回歸分析的意義；4. 掌握對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行線性回歸的方法和步驟， 并能借助科學(xué)計(jì)算器確定實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量間的回歸直線方程；【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：變量的相關(guān)關(guān)系 400458 知識(shí)講解 1】要點(diǎn)一、變量之間的相關(guān)關(guān)系變量與變量之間存在著兩種關(guān)系：一種是函數(shù)關(guān)系，另一種是相關(guān)關(guān)系。1函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，如y=kx+b ，變量 x 取的每一個(gè)值，y 都有唯一確定的值和它相對(duì)應(yīng)。2相關(guān)關(guān)系變量間確定存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性相關(guān)關(guān)系分為兩種:正相

2、關(guān)和負(fù)相關(guān)要點(diǎn)詮釋?zhuān)簩?duì)相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（ 1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同. 因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)系是一種非常確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系. 而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個(gè)非隨機(jī)變量之間的關(guān)系. 因此，不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系.（ 2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系. 例如，有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系. 然而，學(xué)會(huì)新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個(gè)因素年齡. 當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高而且由于長(zhǎng)大腳也變大.（ 3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系， 在一定的

3、條件下可以相互轉(zhuǎn)化 . 例如正方形面積 S 與其邊長(zhǎng) x 間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測(cè)量邊長(zhǎng)時(shí)，由于測(cè)量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機(jī)性 . 而對(duì)于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量來(lái)說(shuō)，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對(duì)這兩個(gè)變量間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì) .3散點(diǎn)圖將收集到的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別作為橫、縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，這樣的圖叫做散點(diǎn)圖。通過(guò)散點(diǎn)圖可初步判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，她反映了各數(shù)據(jù)的密切程度。要點(diǎn)二、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)（ 1）正相關(guān)：在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的兩個(gè)變量，一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱(chēng)為正相關(guān)。如：家庭年收入越高，年飲食

4、支出越高。反映在散點(diǎn)圖上它們散布在從左下角到右上角的區(qū)域，按表中所列數(shù)據(jù)制作散點(diǎn)圖如圖A05101520253035B541 67602.66670.09704.99806.71908.59975.421034.75（ 2）負(fù)相關(guān)：如果兩個(gè)變量中，一個(gè)變量的值由小到大變化時(shí)，另一個(gè)變量的值由大到小變化，那么這種相關(guān)稱(chēng)為負(fù)相關(guān)。在散點(diǎn)圖中，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的位置為從左上角到右下角的區(qū)域。按表中所列數(shù)據(jù)制作的散點(diǎn)圖如圖。C581618283035D64565042373221（ 3）無(wú)相關(guān)關(guān)系：如果關(guān)于兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示，那么這兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系。例如，學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)沒(méi)

5、有相關(guān)關(guān)系。要點(diǎn)詮釋?zhuān)豪蒙Ⅻc(diǎn)圖可以大致判斷兩個(gè)變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系?！靖咔逭n堂：變量的相關(guān)關(guān)系400458知識(shí)講解2】要點(diǎn)三、線性回歸方程1. 回歸直線方程（ 1）回歸直線：觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各個(gè)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近。如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。求出的回歸直線方程簡(jiǎn)稱(chēng)回歸方程。2回歸直線方程的求法設(shè)與 n 個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（x i , y i ）i 1, 2, , n 最接近的直線方程為 yb x a , ，其中 a、b 是待定系數(shù) .則 y ib x ia , ( i1, 2, n ) . 于

6、是得到各個(gè)偏差yiy iy i( b xia ), ( i1, 2, n ) .顯見(jiàn)，偏差 y iy i的符號(hào)有正有負(fù)，若將它們相加會(huì)造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度，故采用n 個(gè)偏差的平方和 .Q( y 1bx 12( y 2bx 2a )22a )( y n bx na )表示 n 個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度.記 Qna ) 2 .( yib x ii1上述式子展開(kāi)后，是一個(gè)關(guān)于a、b 的二次多項(xiàng)式，應(yīng)用配方法，可求出使Q為最小值時(shí)的 a、 b 的值 .即nn( x ix )( y iy )x i y in x ybi1i 1n1nn2，1( x

7、ix )22xx i ， yxin xn i 1ni 1i 1ayb xny ii1相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對(duì)兩個(gè)變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)分析叫做回歸分析上述求回歸直線的方法是使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?. 對(duì)回歸直線方程只要求會(huì)運(yùn)用它進(jìn)行具體計(jì)算 a、b，求出回歸直線方程即可 . 不要求掌握回歸直線方程的推導(dǎo)過(guò)程 .2. 求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)標(biāo)意義.否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義. 因此，對(duì)一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先看其散點(diǎn)圖是否成線性.3. 求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出系

8、數(shù) a、b，由于求 a、b 的計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計(jì)算產(chǎn)生失誤 .4. 回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用 . 應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定性問(wèn)題，把“無(wú)序”變?yōu)椤坝行颉?，并對(duì)情況進(jìn)行估測(cè)、補(bǔ)充 . 因此，學(xué)過(guò)回歸直線方程以后，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題的意識(shí).【典型例題】類(lèi)型一：變量間的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系例 1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系中，不是函數(shù)關(guān)系的是（）A 角度和它的余弦值B正方形的邊長(zhǎng)和面積C正 n 邊形的邊數(shù)和其內(nèi)角度數(shù)之和D人的年齡和身高【答案】 D【解析】函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系。而相關(guān)關(guān)系是非確定性關(guān)系。選項(xiàng)A 、

9、B、C 都是函數(shù)關(guān)系，可以寫(xiě)出它們的函數(shù)表達(dá)式：f ( x )c o s， g ( a )a 2 ， h ( n )n2，選項(xiàng)D 不是函數(shù)關(guān)系，在相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人，故選D【總結(jié)升華】 本題考查非數(shù)據(jù)型兩個(gè)變量的相關(guān)性判斷要根據(jù)兩個(gè)變量之間是否具有確定性關(guān)系及因素關(guān)系進(jìn)行判斷舉一反三：【變式 1】下列圖形中具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量是（）【答案】C【解析】 A 、B 中顯然任給一個(gè)x 都有唯一確定的y 值和它對(duì)應(yīng)，是函數(shù)關(guān)系；C 中從散點(diǎn)圖可看出所有點(diǎn)看上去都在某條直線附近波動(dòng)，具有相關(guān)關(guān)系，因此變量間是不相關(guān)的。【變式 2】下列關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是_（填序號(hào)）人的年齡與他擁有的

10、財(cái)富之間的關(guān)系；曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；森林中的同一種樹(shù)木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；學(xué)生與其學(xué)號(hào)之間的關(guān)系【答案】例 2某小賣(mài)部為了解熱茶銷(xiāo)售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6 天賣(mài)出熱茶杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表。氣溫 x261813104 1杯數(shù) y202434395064請(qǐng)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系。【解析】散點(diǎn)圖如下圖：從圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與杯數(shù)之間具有相關(guān)關(guān)系，當(dāng)氣溫的值由小到大變化時(shí)杯數(shù)值由大變小，所以氣溫和杯數(shù)成負(fù)相關(guān)。【總結(jié)升華】畫(huà)出散點(diǎn)圖可幫助分析變量間是否具有相關(guān)關(guān)系，但不是唯一的判斷途徑。舉一反三：【變式 1】下表是某地的年

11、降雨量與年平均氣溫，判斷兩者是相關(guān)關(guān)系嗎？求回歸直線方程有意義嗎？年平均氣溫（）12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05年降雨量（ mm）748542507813574701432【解析】以 x 軸為年平均氣溫，y 軸為年降雨量，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如下圖所示。因?yàn)閳D中各點(diǎn)并不在一條直線的附近，所以?xún)烧卟痪哂邢嚓P(guān)關(guān)系，求回歸直線方程是沒(méi)有意義的。【總結(jié)升華】用回歸直線進(jìn)行擬合兩變量關(guān)系的一般步驟為：作出散點(diǎn)圖，判斷各點(diǎn)是否散布在一條直線附近。如果各點(diǎn)散布在一條直線附近，那么可用公式求出線性回歸方程；如果各點(diǎn)不在一條直線附近，那么求出的回歸直線方程沒(méi)有意義。類(lèi)型二：回歸

12、直線方程的求解例 3（ 2014 秋 甘肅涼州區(qū)月考）某工廠對(duì)某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量 x（千件）2356成本 y（元）78912（ 1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；（ 2）求成本 y 與產(chǎn)量 x 之間的線性回歸方程；（ 3）當(dāng)成本為 15 萬(wàn)元時(shí)，試估計(jì)產(chǎn)量為多少件？（保留兩位小數(shù)）nxi y in x y（ bi 1， ay b x ）n22x in xi 1【思路點(diǎn)撥】（ 1）在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，即可得到所要的三點(diǎn)圖（2）求線性回歸直線方程要先求出均值，再由公式求a、 b 的值，寫(xiě)出回歸直線方程；（ 3）令 y=15，求出 x 即可【解析】（ 1）散點(diǎn)圖如圖（2） x4， y9

13、， b=1.10ayb x91.10 4 4.60回歸方程為y=1.10 x+4.60；（ 3） y=15 時(shí)， y=1.10 x+4.60=15 ， x 9.45舉一反三：【變式 1】 某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x 與銷(xiāo)售額 y 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用 x（萬(wàn)元）4235銷(xiāo)售額 y（萬(wàn)元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程?6 萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為y b xa 中的 b 為 9 4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為A 636 萬(wàn)元B655 萬(wàn)元C 67 7 萬(wàn)元D 72 0 萬(wàn)元【答案】選 B42354 92 63 95 4【解析】 x43.5, y44 2ay b x4 29.43.59.1 ，回歸方程為 y

14、 9.4 x 9.1，當(dāng) x6 時(shí)， y 9.469.1 =65.5 ，故選 B .【變式2】 觀察兩相關(guān)變量得如下數(shù)據(jù)：x 1 2 3 4 553421y 9 7 5 3 115379求兩變量間的回歸方程【答案】 yx【解析】列表：i12345678910xi1 2 3 4 553421yi9 7 5 3 115379xiyi9141512551512149計(jì)算得： x0， y0 。1 01 021 1 0，x i y i110 。xii1i 11 0xiy i1 0 x y1 1 01 00 bi1。1 0211 1 01 0021 0 xx ii 1ayb x0b 00。所求回歸直線方程

15、為yx 。類(lèi)型三：利用回歸直線對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)【高清課堂：變量的相關(guān)關(guān)系400458 例 2】例 4給出了隨機(jī)抽取的10位男性的收縮血壓 .年齡 x(歲）收縮壓 y(毫米汞柱）年齡 x(歲）收縮壓 y(毫米汞柱）37110501463511749148411255415043130601544213865160（ 1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；（ 2）求出收縮壓與年齡之間的回歸直線；（ 3）利用所求回歸直線分別預(yù)測(cè)20 歲、 45 歲的人的收縮壓是多少？（ 4）就（ 3）所得預(yù)測(cè)結(jié)果，比較其預(yù)測(cè)的精確性?！窘馕觥浚?1）散點(diǎn)圖為：年齡與收縮壓2 001?150?100?5 000102 03 0405 06

16、07 0年 齡（2）收縮壓與年齡之間的回歸直線列表：xyxy序號(hào)x21371101369407023511712254095341125168151254431301849559054213817645796650146250073007491482401725285415029168100960154360092401065160422510400求和47613782353066968n?bxi y in x y669681 04 7.61 37.8i1n21.5 76 32235301 04 7.64 7.6n xx ii1?6 2.7 66ay b x所以 y 對(duì) x 的回歸直線方程為：

17、y62.7 661.5 7 6 3 x（ 3）根據(jù)所求的回歸直線方程可以預(yù)測(cè)20 歲的收縮壓為?62.7 661.5 7 632 09 4.29 3y45 歲的收縮壓為：?6 61.5 7634 5 13 3.7 毫米汞柱y 6 2.7（ 4）預(yù)測(cè) 20 歲的結(jié)果時(shí)，20 是外推的，所以不是很精確；而45 是內(nèi)插值，所以精確性比20 的預(yù)測(cè)結(jié)果要好?！究偨Y(jié)升華】只有當(dāng)兩個(gè)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，才能用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)否則，如果兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，即使由樣本數(shù)據(jù)求出回歸直線方程，用其估計(jì)和預(yù)測(cè)結(jié)果也是不可信的舉一反三：【變式 1】（ 2015 春 成都龍泉驛區(qū)期中

18、）已知x， y 的一組數(shù)據(jù)如下表x23456y34689則由表中的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（）A y=2x+2B y=2x13x1 282C yD yx255【答案】 D【解析】由題意，13456)4， y189)6，x( 2(34655代入線性回歸方程，可得D 滿(mǎn)足故選： D【變式 2】下表是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格 y，（單位：萬(wàn)元）和房屋的面積 x（單位： m。）的數(shù)據(jù)：x11511080135105y44.841.638.449.242（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）求回歸方程；150 m2 時(shí)的銷(xiāo)售價(jià)格（3）根據(jù)（ 2）的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為【解析】據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)得到回歸直線方程后，即得到兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的一個(gè)規(guī)律，因此可將給定的 x 值代入回歸直線方程預(yù)測(cè)y 值（1）散點(diǎn)圖如下圖所示（2）由散點(diǎn)圖可以