空間向量與立體幾何知識點歸納總結

1、空間向量與立體幾何知識點歸納總結一知識要點。1. 空間向量的 概念 ：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（ 2）向量具有 平移不變性2. 空間向量的 運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPa(R)運算律： 加法交換律：abba加法結合律：(ab )ca(bc )數乘分配律：(ab)ab運算法則 ：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（ 1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線

2、向量或平行向量，a 平行于 b ，記作 a / b 。、 （ ），/存在實數 ，使 。（ 2）共線向量定理 ：空間任意兩個向量aabb0abb（ 3）三點共線 ： A 、 B、 C 三點共線 ABAC OCxOA yOB(其中 xy1)a（ 4）與 a 共線的單位向量為a4. 共面向量（ 1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。說明：空間任意的 兩向量都是共面 的。（ 2）共面向量定理：如果兩個向量a,b 不共線，p 與向量a,b 共面的條件是存在實數x, y 使 pxayb 。（ 3）四點共面：若A 、 B 、 C、 P 四點共面 APxAByAC OPxOAyOBzOC (

3、其中 xyz1)5. 空間向量基本定理 ：如果三個向量 a,b ,c 不共面，那么對空間任一向量 p ，存在一個唯一的有序實數組 x, y, z ，使 p xa yb zc 。若三向量 a,b,c 不共面，我們把 a,b ,c 叫做空間的一個 基底， a,b,c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。推論：設O, A, B,C 是不共面的四點，則對空間任一點P ，都存在唯一的三個有序實數x, y, z ，使 OPxOAyOBzOC 。6. 空間向量的直角坐標系：（ 1）空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系 O xyz 中，對空間任一點A ，存在唯一的有序實數組(x,

4、 y, z) ，使OAxi yi zk ，有序實數組 (x, y, z)叫作向量 A 在空間直角坐標系O xyz 中的坐標，記作A( x, y, z) ， x 叫橫坐標， y 叫縱坐標，z 叫豎坐標。注： 點A （ x,y,z ）關于x 軸的 的對稱點為(x,-y,-z), 關于 xoy 平面的對稱點為(x,y,-z).即點關于什么軸/平面對稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。在y 軸上的點設為(0,y,0),在平面yOz 中的點設為(0,y,z)（ 2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1 ，這個基底叫單位正交基底 ，用 i, j,k表示?？臻g中任一向量axiy jzk =（ x

5、,y,z ）（ 3）空間向量的直角坐標運算律：123) ，b123)，則a b(a112233，若 a (a,a,a(b,b,bb ,ab ,ab )a b (a b ,ab ,ab ) ，a ( a , a , a )(R) ，112233123a ba ba ba b ，112233a/bab , ab , ab (R) ，112233a ba ba b2a b0 。11233若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則AB( xx , yy ,zz )。212121一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。

6、定 比 分 點 公 式 ： 若 A( x , y , z )， B( x, y, z ) ，APPB，則點 P 坐標為111222x1xyyzz)。推導 ：設 P（ x,y,z ）則(xx1,y11(x2x, y2y, z2z),(21212y ,zz ),111x xyyzz1顯然，當 P 為 AB 中點時，21212)P(,ABC中，（1222，三角形重心P坐 標 為11）222333)Ax, y , z , B(x, y, z ), C(x, y ,zxxxyyyzzz)P,( 123123123322 ABC 的五心 ：ABAC內心 P：內切圓的圓心，角平分線的交點。AP() （單位向

7、量）ABAC外心 P：外接圓的圓心，中垂線的交點。PAPBPC垂心 P：高的交點：PAPBPA PCPBPC （移項，內積為0，則垂直）1重心 P：中線的交點，三等分點（中位線比）AP( ABAC)3中心：正三角形的所有心的合一。（ 4）模長公式 ：若 a (a , a ,a ) ， b(b1 ,b 2 ,b3 ) ，123222222則 | a | a aaaa，|b |b bbbb123123（ 5）夾角公式：cos a ba ba ba ba b。112233| |a ba 2a 2a 2b 2b 2b 2123123ABC 中 ABAC0 A 為銳角 ABAC0A 為鈍角，鈍角（ 6）

8、兩點間的距離公式：若A xy z，B(x2 , y 2 , z2 ) ，(,)1112則或222|AB|AB( xx )( yy )( zz ) ，212121222d ,(x2 x1 )(y 2y1 )(z2z1)A B7. 空間向量的數量積。（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點O ，作OAa, OBb ， 則A O B 叫 做 向 量 a 與 b的 夾 角 ， 記 作a,b； 且 規(guī) 定0a,b，顯然有a, bb , a；若,a b，則稱 a 與 b 互相垂直，記作： ab 。（ 22）向量的模：設OA a ，則有向線段OA 的長度叫做向量a 的長度或模，記作：| a | 。（ 3）向量的數量積：已知向量a,b ，則 | a | | b | cosa,b叫做 a,b 的數量積，記作 a b ，即 a b|a| |b| cos a,b。（ 4）空間向量數量積的性質： a e |a | cos a,e。 a ba b 0。 2| a | a a 。（