弱肉強(qiáng)食模型

1、3.10 弱肉強(qiáng)食模型1) 問題的提出在自然界中， 像生活在草原上的狼和羊， 種群之間捕食與被捕食的關(guān)系普遍 存在。兩個(gè)弱肉強(qiáng)食的種群，其發(fā)展和演進(jìn)又會(huì)遵循一些什么樣的規(guī)律呢？2) 模型假設(shè)以Xi(t)、X2(t)表示處于弱肉強(qiáng)食關(guān)系中甲、乙二種群在時(shí)刻t的數(shù)量，1、 甲種群只以乙種群為食物資源，ai，bi為兩個(gè)折算因子，分別表示一個(gè)單位數(shù) 量的甲物種維持其正常生存需占用的資源量、一個(gè)單位數(shù)量的乙物種為甲種 群提供的資源量；甲種群數(shù)量的增長率 xi(t)與該種群數(shù)量xi(t)成正比，同 時(shí)也與有閑資源si(t)成正比。ri表示甲種群的固有增長率；2、 乙種群可以獨(dú)立存在，而可被其直接利用的自然

2、資源有限， 設(shè)總量為“1 ” a2表示一個(gè)單位數(shù)量的乙物種維持其正常生存需占用的資源量，N 2 1/a2 表示乙種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量。乙種群數(shù)量的增長率X2(t)可以分解為兩部分考慮：其一，不考慮甲種群的影響，乙種群 自由發(fā)展，其增長率與該種群數(shù)量 X2(t)成正比，同時(shí)也與有閑資源S2(t)成 正比，r2表示甲種群的固有增長率；其二，由于被甲種群捕食造成乙種群增 長的負(fù)面影響， 稱這一部分為被捕殺率， 它與甲乙兩個(gè)種群的數(shù)量均正相關(guān)， 這里簡(jiǎn)單地設(shè)為服從正比例關(guān)系，比例系數(shù)取為 r2 b2。3) 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：X2r2 X2 S2r2b2

3、 XiX2Siai Xibi X2S2i a2 X 2Xi經(jīng)化簡(jiǎn)，得：Xiri Xi (ai Xibi X2)X2r2 X2 (ib2 Xia2 X2)4)模型求解與前面兩節(jié)一樣，令模型方程的右端項(xiàng)：r1 x1 ( a1 x1 b1 x2)0r2 x2 (1 b2 x1 a2 x2)0解之，得該模型的三個(gè)平衡點(diǎn):Pi(0,0)、P2(0,N21/a2）、P3a 1 a?b1 b2 a1 a2 b1b2類似于在種群競(jìng)爭(zhēng)模型中的討論，我們可以得到平衡點(diǎn)R（i 1,2）均不穩(wěn)定;X1X2r1a1b1b1a a?b1b21a 1 a?b1b2r 2a 1 b?、，b1a a?b1b2X1a a?b1b

4、2Ab2a1a 1 a?b1b21a 1 a?b1b2r 2 a a?、，a1a a?b1b2X1a a?b1b2cb1a1P 3J下面我們討論平衡點(diǎn)務(wù)去b1b2a a?b1b2的穩(wěn)定性，為此，將微分方程X1r1 X1(a1X1b1 X2)X2r2X2 (1b2 X1a2 X2)的右端項(xiàng)以其在P3的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動(dòng)力系統(tǒng):此時(shí)系數(shù)矩陣I a 1 brb2a a 2b1 b2a a 2b1b2r 2 a 1 b?r2 a1 a 2a 2b1 b2a 2b1b2A從而求得, 故平衡點(diǎn) P3 是穩(wěn)定的。此時(shí)，甲、乙兩種群將共同存在下去，種群量一般將逐 漸趨于平衡狀態(tài)。Tr(A)r2aa2aa2 b b?q |A|r1 r2a 1 da1 a 2d b 25）模型點(diǎn)評(píng)本節(jié)與前面兩節(jié)介紹了三個(gè)生態(tài)學(xué)模型， 盡管所處理的對(duì)象均為多 （二）種 群系統(tǒng)，但其基本假設(shè)，比如對(duì)其中的每一個(gè)種群數(shù)量