浙教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

1、精品文檔用心整理因式分解全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解因式分解的意義，了解分解因式與整式乘法的關(guān)系；2掌握提公因式法分解因式，理解添括號(hào)法則；3.會(huì)用公式法分解因式；4.綜合運(yùn)用因式分解知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.要點(diǎn)二、提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式m，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式實(shí)際上是逆

2、用乘法分配律.要點(diǎn)三、添括號(hào)的法則括號(hào)前面是“”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；括號(hào)前面是“”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào).要點(diǎn)四、公式法1.平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：a2-b2=(a+b)(a-b)2.完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方即a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（要點(diǎn)詮釋：1）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩

3、個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.要點(diǎn)五、十字相乘法和分組分解法十字相乘法利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.pq=c對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+bx+c，若存在p+q=b，則x2+bx+c=(x+p)(x+q)分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解分

4、組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.要點(diǎn)六、因式分解的一般步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項(xiàng)法等.因式分解步驟（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解（4）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止【典型例題】類型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)2a2bc2+8ac2-4abc；(2)m(m+n)3+m(m+n)2-m(m+n)(m-n)【答案與解析】解：(1)2a2bc2+8ac2-4acb=2ac(abc+4c-2b)(2)m

5、(m+n)3+m(m+n)2-m(m+n)(m-n)=m(m+n)(m+n)2+(m+n)-(m-n)=m(m+n)(m2+2mn+n2+2n)資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用()-5證明：257-5125212精品文檔用心整理【總結(jié)升華】在提取公因式時(shí)要注意提取后各項(xiàng)字母，指數(shù)的變化，另外分解要徹底，特別是因式中含有多項(xiàng)式的一定要檢驗(yàn)是否能再分，分解因式后可逆過(guò)來(lái)用整式乘法驗(yàn)證其正確與否、利用分解因式證明：257-512能被120整除【思路點(diǎn)撥】2552，進(jìn)而把257整理成底數(shù)為5的冪的形式，然后提取公因式并整理為含有120的因數(shù)即可【答案與解析】7514-512512(52-1)512245

6、11524511120257-512能被120整除【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是用因式分解法把所給式子整理為含有120的因數(shù)相乘的形式類型二、公式法分解因式3、放學(xué)時(shí)，王老師布置了一道分解因式題：(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2)，小明思考了半天，沒(méi)有答案，就打電話給小華，小華在電話里講了一句，小明就恍然大悟了，你知道小華說(shuō)了句什么話嗎？小明是怎樣分解因式的(【思路點(diǎn)撥】把(x+y)、x-y)分別看做一個(gè)整體，再運(yùn)用完全平方公式解答【答案與解析】(解：把(x+y)、x-y)看作完全平方式里的a,b；原式(x+y)2+2(x-y)2-22(x+y)(x-y)(x+y)-2(x-y)2(

7、3y-x)2資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理(【總結(jié)升華】本題主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把(x+y)、x-y)看作完全平方式里的a,b是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程解：設(shè)x2-4x=y原式(y+2)(y+6)+4（第一步）y2+8y+16（第二步）(y+4)2（第三步）(x2-4x+4)2（第四步）回答下列問(wèn)題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的（）a、提取公因式b平方差公式c、兩數(shù)和的完全平方公式d兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底_（填“徹底”或“不徹底”）若

8、不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果_.（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(x2-2x)(x2-2x+2)+1進(jìn)行因式分解【答案與解析】解：（1）運(yùn)用了c，兩數(shù)和的完全平方公式；（2）x2-4x+4還可以分解，分解不徹底；結(jié)果為(x-2)4.（3）設(shè)x2-2x=y(x2-2x)(x2-2x+2)+1y(y+2)+1，y2+2y+1，(y+1)22，(x2-2x+1)2，(x-1)4資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用4、計(jì)算：(1精品文檔用心整理11111)(1)(1)(1)(1)223242200422005212006【思路點(diǎn)撥】先把括號(hào)里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法約分即可剩下220

9、05【答案與解析】.解：(111111)(1)(1)(1)(1)223242200422005222-132-142-120052-1.22324220052120061003220052005【總結(jié)升華】本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了代數(shù)式求值的方法，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算和分解舉一反三：【變式】設(shè)a=32-12，a=52-32，a=(2n+1)2-(2n-1)2（n為大于0的自然12n數(shù)）（1）探究a是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表述你所獲得的結(jié)論；（2）若一個(gè)數(shù)n的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”試找出a，a，a，12n這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，

10、并指出當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，a為完全平n方數(shù)（不必說(shuō)明理由）【答案】解：（1）a=(2n+1)2-(2n-1)2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，n又n為非零的自然數(shù)，a是8的倍數(shù)n這個(gè)結(jié)論用文字語(yǔ)言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)（2）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)為16，64，144，256n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，a為完全平方數(shù)n類型三、十字相乘法和分組分解法分解因式)-(x5、分解因式：（1）(x2-222-2)-2)-x（2）(x2+4x22-4x-20（3）4a2-4ab+b2-6a+3b-4【答案與解析】資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用解：（1）原式=(x

11、2-2-2)(x2精品文檔用心整理-2+1)=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)-(x（2）原式(x2+4x22+4x)-20=(x2+4x-5)(x2+4x+4)=(x+5)(x-1)(x+2)2（3）原式(2a-b)2-3(2a-b)-4=(2a-b-4)(2a-b+1)【總結(jié)升華】做題之前要仔細(xì)觀察，注意從整體的角度看待問(wèn)題.舉一反三：【變式】下列何者是22x7-83x6+21x5的因式？（）a2x3bx2(11x-7)cx5(11x-3)dx6(2x+7)【答案】c；解：22x7-83x6+21x5=x5(22x2-83x+21)=x5(11x-3)(2x-7)，則x2(11x-

12、7)是多項(xiàng)式的一個(gè)因式6、已知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為300厘米，兩鄰邊分別為x厘米、y厘米，且x3+x2y-4xy2-4y30，求長(zhǎng)方形的面積【思路點(diǎn)撥】把x3+x2y-4xy2-4y30化簡(jiǎn)成(x+y)(x+2y)(x-2y)，可得x=2y，x=2y由題意可得x+y=150，解方程組x+y=150即可.【答案與解析】解：x3+x2y-4xy2-4y30x2(x+y)-4y2(x+y)0(x+y)(x+2y)(x-2y)0x=2y，x=-y，x=-2y（不合題意，舍去）又由題意可得x+y=150解方程組x=2yx+y=150資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理解之得，x100，y50長(zhǎng)方形的面積100505000平方厘米【總結(jié)升華】本題是因式分解在學(xué)科內(nèi)的綜合運(yùn)用，主要考查了分組分解法，提取公因式法和運(yùn)用平方差