知識講解_拋物線的簡單性質(zhì)_提高

1、拋物線的簡單性質(zhì)編稿：張林娟責編：孫永釗【學習目標】1知識與技能：掌握拋物線的范圍、對稱性、定點、焦點、準線、離心率、頂點、通徑，理解2p和e的幾何意義，初步學習利用方程研究曲線性質(zhì)的方法2過程與方法：通過曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法，讓學生體會數(shù)形結合的思想、方程思想及轉化的思想在研究和解決問題中的應用3情感態(tài)度與價值觀：通過自主探究、交流合作使學生親身體驗研究的艱辛，感受知識的發(fā)生發(fā)展過程，力求使學生獲得符合時代要求的“雙基”【要點梳理】要點一：拋物線標準方程y2=2px(p0)的幾何性質(zhì)拋物線和它軸的交點叫做拋物線的頂點拋物線的頂點坐標是坐標原點（0，0）因為通過拋物線y2=2px（p

2、0）的焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為,p，,-p，所以拋物線的通徑長為2p這就是拋物線標準方程中2p的一種幾何意義另一方面，由通徑的21對稱性x觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y2=2px（p0）關于軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸拋物線只有一條對稱軸2范圍x拋物線y2=2px（p0）在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點m的坐標（x，y）的橫坐標滿足不等式0；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸拋物線是無界曲線3頂點4離心率e拋物線上的點m到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率用e表示，=15通徑通過拋物線的焦點且垂直

3、于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑p2p定義我們還可以看出，p刻畫了拋物線開口的大小，p值越大，開口越寬；p值越小，開口越窄拋物線y2=2px(p0)，pf=x+=+x；226焦半徑拋物線上任意一點m與拋物線焦點f的連線段，叫做拋物線的焦半徑焦半徑公式：pp00=-x；22拋物線y2=-2px(p0)，pf=x-0pp0=+y；22拋物線x2=2py(p0)，pf=y+0pp0=-y22拋物線x2=-2py(p0)，pf=y-0pp047焦點弦定義：過焦點的直線割拋物線所成的相交弦設過拋物線y2=2px(p0)焦點的直線交拋物線于a、b兩點，設a(x,y)b(x,y)，1122

4、焦點弦公式：焦點弦ab=p+(x+x)；同理：12若拋物線為y2=-2px(p0)，則ab=p-(x+x)；12若拋物線為x2=2py(p0)，則ab=p+(y+y)；12若拋物線為x2=-2py(p0)，則ab=p-(y+y)12有關性質(zhì)：xx=p和yy=-p2.1212y=k(x-)y-p2=0和k2x2-(k2p+2p)x+=0yy=-p2和xx=4p2y2-y2=2px2pkk2p21212p4若已知過焦點的直線傾斜角q，則ab=2psin2q；當q=900時，|ab|的最小值等于2p，這時的弦叫拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的相交弦）.以ab為直徑的圓必與準線l相切焦點f對a、b

5、在準線上射影的張角為90+=112afbfp要點詮釋：（1）拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它可以無限延伸，但沒有漸進線；（2）拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心；（3）拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線；（4）拋物線的離心率是確定的，為1.要點二：拋物線標準方程幾何性質(zhì)的對比圖形標準方程頂點y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）o（0，0）范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr對稱軸x軸y軸f,0f-,0f0,f0,-焦點p2p2p2p2離心率e=1準線方程x=-p2x=p2y=-p2y=p222焦半徑pp|mf|=-x|mf|=x+|mf

6、|=y+000p2|mf|=p2-y0要點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；（2）標準方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p0恰恰說明定義中的焦點f不在準線l上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程要點三：直線和拋物線的位置關系1點和拋物線的位置關系將點p(x0，y0)代入拋物線y2=2px(p0)：若y2-2px0，則點在拋物線外；00若y2-2px=0，點在拋物線上；00若y2-2px0，則直線和拋物線相交（有兩個交點）；若d=0，則直線和拋物線相切（

7、有一個交點）；若d=0，則直線和拋物線相離（無交點）；2判斷直線和拋物線位置關系的操作程序：|pp|=1+k2|x-x|=(1+k2)(x+x)2-4xx要點詮釋：（1）在判斷直線和拋物線位置關系時，不要忽略直線和拋物線的對稱軸平行的情況；（2）若直線和拋物線相交于點p(x,y)，p(x,y)，則相交弦的弦長11122212121212或k21(y1+y2)-4y1y2(k0)|y-y|=1+k2|pp|=1+121212要點四：拋物線的光學性質(zhì)過拋物線上一點可以作一條切線，過切點所作垂直于切線的直線叫做拋物線在這點的法線拋物線的法線有一條重要性質(zhì)：經(jīng)過拋物線上一點作一直線平行于拋物線y切線平

8、行于軸的軸，那么經(jīng)過這一點的法線平分這條直線和這點與焦點連線的夾角o法線x如圖拋物線的這一性質(zhì)在技術上有著廣泛的應用例如，在光學上，如果把光源放在拋物鏡的焦點f處，射出的光線經(jīng)過拋物鏡的反射，變成了平行光線，汽車前燈、探照燈、手電筒就是利用這個光學性質(zhì)設計的反過來，也可以把射來的平行光線集中于焦點處，太陽灶就是利用這個原理設計的【典型例題】類型一：拋物線的幾何性質(zhì)【高清課堂：雙曲線的方程358821例1】例1（1）寫出拋物線y=14x2的焦點坐標、準線方程；（2）已知拋物線的焦點為f(0,-2),寫出其標準方程；（3）已知拋物線的焦點在x軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為3，求拋物線的標準方程

9、、焦點坐標和準線方程【解析】（1）拋物線y=14x2的標準方程為x2=4y，因為2p=4，所以焦點坐標為（0，1），準線方程為（3）由已知得p=3，所以所求拋物線標準方程為y2=6x，焦點坐標為(,0)，準線方程為x=-【總結升華】討論拋物線的方程和幾何性質(zhì)時要注意拋物線的焦點軸和幾何量p,2p的區(qū)別與聯(lián)【答案】因為p=3，所以焦點坐標是(,0)準線方程是x=-p=2y=-1（2）因為拋物線的焦點在y軸的負半軸上，且p=2，所以p=4，從而所求拋物線的標準方程為x2=-8y23322p2系舉一反三：【變式】已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程3322例2.求滿足下列條件的

10、拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：（1）過點（3，2）；（2）焦點在直線x2y4=0上【解析】（1）設所求的拋物線方程為y2=2px或x2=2py（p0），過點（3，2），4=2p（3）或9=2p29或p=34所求的拋物線方程為y2=4919x或x2=y，前者的準線方程是x=，后者的準線方程是y=3238（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線的焦點為（4，0）或（0，2）當焦點為（4，0）時，p2=4，p=8，此時拋物線方程y2=16x；焦點為（0，2）時，p2=2，p=4，此時拋物線方程為x2=8y所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=8y，對應的準線方程分別是x=4，

11、y=2【總結升華】過拋物線y22px的焦點f的弦ab長的最小值為2p設a(x1，y1)，b(x2，y2)是拋物線y22px上的兩點，則ab過f的充要條件是y1y2p2設a，b是拋物線y22px上的兩點，o為原點，則oaob的充要條件是直線ab恒過定點(2p，0).舉一反三：【變式】已知拋物線y24x的內(nèi)接三角形oab的一個頂點o在原點，三邊上的高都過焦點，求三角形oab的外接圓的方程【解析】oab的三個頂點都在拋物線上，且三條高都過焦點，abx軸，故a、b關于x軸對稱，44設a(y2y21,y)，則b(1,-y)，11y-1=k(x+2)，又f(1,0)，由oabf得，解得y220，1a(5,

12、25)，b(5，25)，因外接圓過原點，且圓心在x軸上，故可設方程為：x2y2dx0，把a點坐標代入得d9，故所求圓的方程為x2y29x0.類型二：直線和拋物線的位置關系k例3已知拋物線的方程為y2=4x，直線l過定點p(-2,1)，斜率為k，為何值時，直線l與拋物線y2=4x：（1）只有一個公共點；（2）兩個公共點；（3）沒有公共點?【思路點撥】先定數(shù)，在定量：畫出草圖，確定與拋物線有一個、兩個、沒有公共點的直線條數(shù)；再設出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元，判斷一元一次方程或一元二次方程解的個數(shù)，從而確定k的值【解析】設直線l的方程為：y-1=k(x+2)，聯(lián)立，整理得ky24y+8k+

13、4=0y2=4x.當k=0時，方程有一個解，此時直線l方程為y=1，與拋物線有一個公共點；當k0時，方程為一元二次方程，判別式d=16(2k2+k1)，當d0，即1k12時，方程有2個不同的解，所以此時直線l與拋物線有2個公共點；當d=0，即k=1或k1時，方程有1個解，所以此時直線l與拋物線有1個公共點；2當d0，即k12時，方程有沒有解，所以此時直線l與拋物線有沒有公共點；綜上所述，當k=0或k=1或k12時，直線l與拋物線只有1個公共點；當1k12時，直線l與拋物線有2個公共點；當k如圖：12時，直線l與拋物線有沒有公共點【總結升華】直線與拋物線有一個公共點的情況有兩種情形：一種是直線平

14、行于拋物線的對稱軸；另一種是直線與拋物線相切【變式1】求過定點p（0，1）且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線的方程【答案】x=0或y=1或y=1x+1.2【變式2】當k為何值時，直線y=kx+1與拋物線y2=4x（1）相交；（2）相切；（3）相離？y=kx+1，【解析】由方程組消去y，并整理得k2x2+(2k-4)x+1=0y2=4x.（i）當k=0時，直線方程為y=1，與拋物線交于一點；0（ii）當k時，該方程是一元二次方程，d=(2k-4)2-4k2=16(1-k)：（1）當d0，即k1時，直線和拋物線相交（有2個交點）（2）當d=0，即k=1時，直線和拋物線相切（1）當d1時，直線

15、和拋物線相離綜上所述，當k1時直線和拋物線相離類型三：焦點弦和焦半徑例4斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于兩點a、b，求焦點弦長ab的長【解析】方法一：由拋物線的標準方程可知，拋物線焦點的坐標為f(1，0)，所以直線ab的方程為y-0=1(x-1)，即y=x-1，將方程代入拋物線方程y2=4x，化簡得x2-6x+1=0，解這個方程，得x=3+22，x=3-22，12將x=3+22，x=3-22代入方程中，12得y=2+22，y=2-22，即a（3+22，2+22），b（3-22，2-22），12|ab|=(42)2+(42)2=8.方法二：由拋物線的定義可知，|af|=a

16、d|=x1，|bf|bc|=x1，12于是|ab|=|af|bf|=xx212在方法一中得到方程x2-6x+1=0后，根據(jù)根與系數(shù)的關系可以直接得到xx6，12于是立即可以求出|ab|=62=8方法三：拋物線y2=4x中2p=4，直線的傾斜角為p4所以焦點弦長ab=2p=8.|pp|=1+k2|x-x|=(1+k2)(x+x)2-4xx；4sin2q12【總結升華】求拋物線弦長的一般方法：用直線方程和拋物線方程列方程組；消元化為一元二次方程后，應用韋達定理，求根與系數(shù)的關系式，而不要求出根，代入弦長公式12121212特別地，若弦過焦點，即為焦點弦則據(jù)定義轉化為|ab|x1x2+p或|ab|y1y2+p結合中的關系式可求解體現(xiàn)了轉化思想【變式1】已知ab為拋物線y2=2px(p0)的焦點弦，若|ab|=m，則ab中點的橫坐標為_|=【解析】aqbq，p為aqb斜邊中點，|pq|=|abm22=，得x0=設ab中點的橫坐標為x0，則|pq|=x0+pmm-px0+222p