完美版圓錐曲線知識點總結(jié)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點 F1F2的距離的和等于常數(shù) 2a （大于IFEI）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓 的焦點，兩焦點的距離 2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點，則有|MR | - |MF2 |=2a。x y2y2 x2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2 =1（ a b 0）（焦點在x軸上）或乙 2=1（ a b . 0）（焦點在y軸abab上）。注：以上方程中a,b的大小a b .0,其中b2 a2 -c2 ；X2 y2y2 x222 在二 2 =1和召 2 “兩個方程中都有a b 0的條件，要分清焦點的位置，只要看x2和y2的分abab2 2母的大小。

2、例如橢圓 =1 （ m 0， n0，m = n）當(dāng)m n時表示焦點在 x軸上的橢圓；當(dāng) m ： n時 m n表示焦點在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)一x2 v2 范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程2 * 2 =1知|x|遼a，|y|二b，說明橢圓位于直線 x二a， y = b所圍成的矩形里；a b 對稱性：在曲線方程里，若以 -y代替y方程不變，所以若點 （x, y）在曲線上時，點（x,- y）也在曲線上， 所以曲線關(guān)于x軸對稱，同理，以 -x代替x方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對稱。若同時以 -x代替x，-y代替y 方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原

3、點是對稱中心，橢圓的對稱中心 叫橢圓的中心； 頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x=0，得y=b，貝U B/O, -b），B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個交點。同理令 y = 0得x = a，即A（a,0）， A（a,0）是橢圓與x軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段 AA、B,B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b , a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為a;在RtAOB2F2中，| OB2 h b , |OF2 |=c,

4、| B2F2 |= a ,且 IOF2 |2 =1B2F212 -1 OB212，即 c2 = a2 b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e 叫橢圓的離心率。：a c 00 ： e ： 1，且e越接近1, c就a越接近a，從而b就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0 , c就越接近于0 ,從而b越接近于a，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a =b時，c=0，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 y2二a2。2. 雙曲線(1) 雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線(II PR | -1 PF2 |卜2a)。注意：式中是差的絕對值，在0 ： 2a FjF2 |條

5、件下；|PR | -| PF2 |=2a時為雙曲線的一支；IPF2 HI PF1 2a時為雙曲線的另一支(含 F|的一支)；當(dāng)2&=|時2|時，|PF!|-|PF2|=2a表示兩條射 線；當(dāng)2a | F1F21時，| PFi |-| PF21|= 2a不表示任何圖形；兩定點 Fi, F2叫做雙曲線的焦點，|FiF2|叫做 焦距。(2) 雙曲線的性質(zhì)2 2 范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程 務(wù)-召-1，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線X = a的外側(cè)。即a bx2 - a2, x -a即雙曲線在兩條直線 x - -a的外側(cè)。2 2 對稱性：雙曲線 J 七 =1關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的，這時，坐標(biāo)

6、軸是雙曲線的對稱軸，原點a b22是雙曲線x2 - y2 = 1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。a b2 2 頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線篤-與=1的方程里，對稱軸是 x, y軸，所a bx2 y2以令y =0得x =：七，因此雙曲線和x軸有兩個交點 A (-a,0)A2(a,0)，他們是雙曲線 2 = 1的頂點。a b令x =0，沒有實根，因此雙曲線和 y軸沒有交點。，雙曲線的頂點分別是實軸的兩個1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點）端點。2）實軸：線段 A A叫做雙曲線的實軸，它的長等于 2a, a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸

7、：線段B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從2 2圖上看，雙曲線 篤-當(dāng)-1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。a b 等軸雙曲線：1） 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a=b ；2） 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為：y=x ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。2 23）注意到等軸雙曲線的特征 a=b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x - y （ =0），

8、當(dāng)0時交點在x軸, 當(dāng)- 0時焦點在y軸上。X2 y2y2 x2 注意1與1的區(qū)別：三個量a,b, c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點所在的坐標(biāo)1699 16軸也變了。3. 拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點 F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線I上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線 I叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程y2 =2px p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是F（衛(wèi)，0 ），它的準(zhǔn)線方程是 x = ；2 2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還

9、有其 他幾種形式：y2 =-2px, x2 =2py , x2 =-2py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如標(biāo)準(zhǔn)方程y2 =2px(P=O)yy2 = -2 px (P = O)x2 二(P： y= 2pyO)x2 = -2 py(PO)圖形l1l焦點坐標(biāo)(R,O)2p（于0）p（0號）p（0二）準(zhǔn)線方程2x2TV范圍x KOx WOy 3Oy蘭0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(O,O)(O,O)(O,O)(0,0)離心率e =1e = 1e = 1e = 1說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線

10、，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)p的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離。4. 高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識點梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x,y）=O 的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關(guān)系：若曲線 C的方程是f（x,y）=0 ，則點Po（x o,y 0）在曲線C上二f（x o,y o）=0 ;點Po（x o,y o）不在曲線 C 上二 f（x o,y o）豐 O。

11、兩條曲線的交點：若曲線Ci,C2的方程分別為fi（x,y）=o,f2（x,y）=O,則點Po（xo,yo）是C,C2的交點二 fl（xo,yo）方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有交f2（x,y） =O點。二、圓：1、 定義：點集 M| OM| =r,其中定點 0為圓心，定長r為半徑.2、 方程： 標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在 c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a) .到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a|F 1F2I)的點的軌跡 .與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(0e0時，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，

12、圓心為(一衛(wèi)_ )半徑2 2i |D2 2是.D 2 E2 -4F。配方，將方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+)2+(y+)2= D E - 4F22242 _2D E 當(dāng)D+E-4F=0時，方程表示一個點(-，-)；2 2 當(dāng)D2+W-4F V 0時，方程不表示任何圖形.(3) 點與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標(biāo)為(x o,y 0)，則| MC| V r：=點M在圓C內(nèi)，|MC| =r=點 M在圓 C上,| MC| r 點 M在圓 C 內(nèi)，其中 | MC| = ., (x。- a)2 (y。- b)2 。(4) 直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、

13、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交二有兩個公共點；直 線與圓相切二 有一個公共點；直線與圓相離 二 沒有公共點。直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法(ii)利用圓心C(ab)到直線Ax+By+C=0的距離K Aa+Bb + C JA2 + B2與半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義:平面內(nèi)的動點 P(x,y)到一個定點F(c,O)的距離與到不通過這個定點的一條定直線I的距離之比是一個常數(shù)e(e 0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線I稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率。當(dāng)0v ev 1時，軌跡為橢圓；當(dāng) e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng) e 1時，軌跡為雙曲線。四

14、、橢圓、雙曲線、拋物線:橢圓雙曲線拋物線定義與定點和直線的距離相等的點的軌跡1 .到兩定點Fl,F2的距離之差的絕對值為定值2a(02a1)軌跡條件點集:點集：(M | | MF+ | MF |=2a, | F 1F2 | V 2a.點集：M| | MF | - | MF | .= 2a, | F2F2 | 2a.點集M | MF| =點M到直線I的距離.圖形2 2x _ y_. 2 . 2a bx2a2方 程標(biāo)準(zhǔn)方程2 2L + 厶=1 ( a Ab 0) ab2 2冷 _厶=1 (a0,b0)aby2 = 2px參數(shù)方程x = acosBy =bsi n0 (參數(shù)日為離心角) = asec

15、Q y = bta nT(參數(shù)&為離心角)d X _ 2 Pf (t為參數(shù)) y = 2pt范圍a毀空，一b今切|x| a , yRxX0中心原點0( 0, 0)原點0(0, 0)頂點(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸； 實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦占八 、八、Fi(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)F與0)準(zhǔn)線2亠a x= c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外2亠a x= c準(zhǔn)線垂直于實軸，且在兩頂點的內(nèi)側(cè).x=-E2準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)，且到頂點的距離相等焦距

16、；2 22c(c*a b ): 2 22c (c=、a +b )離心率ce = (0 v e ci) ae = E(e 1)ae=1【備注1】雙曲線:等軸雙曲線：雙曲線 x2-y2 = a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=x，離心率 S .共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線2 2與話* 一互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線:2 2共漸近線的雙曲線系方程：冷一厶=(=0)的漸近線方程為a2 b22 2于計0如果雙曲線的漸近線為時,2y2它的雙曲線方程可設(shè)為罕爲(wèi)=0).a2b2【備注2】拋物線:(1)拋物線標(biāo)是(-,0)2口向上；=2px(p0

17、)的焦點坐標(biāo)是(才,0)，準(zhǔn)線方程x=- p ，開口向右；拋物線 y2 =-2px(p0)的焦點坐準(zhǔn)線方程x=#，開口向左；拋物線 x2 =2py(p0)的焦點坐標(biāo)是(0,號)，準(zhǔn)線方程y=-號 ，開拋物線x2 =-2py (p0)的焦點坐標(biāo)是(0,- p ),準(zhǔn)線方程y=，開口向下(2)拋物線y2 =2px(p0)上的點M(xO,yO)與焦點F的距離MF與焦點F的距離MF(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為到準(zhǔn)線的距離為 p.p2=x0;拋物線 y =-2px(p0)上的點 M(x0,y0)2y2 =2px(p0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為-p，頂點到準(zhǔn)線的距離衛(wèi)焦占) 八 、八、2(4)已知過

18、拋物線y2=2px(p0)焦點的直線交拋物線于 A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦,設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長 AB=x, +x2+p 或 AB =鋅 (a為直線AB的傾斜角)，丫2 =-p2 , X/2 =sin 二4叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換:(1)坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實施坐標(biāo)變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標(biāo)與曲線的方程(2)坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。(3)坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任

19、意一點M,它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y)，在新坐標(biāo)系x O y中的坐標(biāo)是(x , y ).設(shè)新坐標(biāo)系的原點 O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則x 二 X或y 二 y k y=yk方程焦占八、八、焦線對稱軸橢圓2 2(x-h) + (y-k) a2b2( c+h,k)2,a - x= +hcx=hy=k叫做平移(或移軸)公式(4)中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:2 2(x-h) +(y-k)=1.2 2ba(h, c+k)2丄a,y= +kcx=hy=k雙曲線(x-h)2(y-k)2 =12 .2 ab( c+h,k)2,a , x= +kcx=hy=k(y-k)2(

20、x-h)2 =1(h, c+h)2,a , y= +kcx=hy=k2 .2 ab拋物線2(y-k) =2p(x-h)p(上 +h,k)2x=-衛(wèi) +h2y=k2(y-k)=-2p(x-h)(-+h,k)2x=- +h2y=k2(x-h) =2p(y-k)p(h, - +k)2p y=+k2x=h(x-h) 2=-2p(y-k)p(h,-上 +k)2y+k2x=h六、橢圓的常用結(jié)論：1. 點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的外角.2. PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離

21、.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切5.若Po(Xo, y)在橢圓2 22 y? =i上，則過P)的橢圓的切線方程是0叨=i.a ba b6.若P)(Xo, y)在橢圓2 2務(wù) 芯=1外，則過P0作橢圓的兩條切線切點為Pi、巳，則切點弦PlP2的直線方程是a bxx . yoy22 I .ab27.2 =1 (a b 0)的左右焦點分別為 Fi, F2,點P為橢圓上任意一點 RPF?，則橢圓的焦點角形的面積為 S.fpf2 =b2tan.2 28.橢圓 冷爲(wèi)=1(ab0)的焦半徑公式| MR | = aexp|MF2 卜a ex)(FgO),F2(c,0)a bM (Xo

22、,y。).9. 設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點，貝U MFL NF.10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A為橢圓長軸上的頂點，AP和AQ交于點M,AP和AQ交于點N,貝U MFL NF.2 211. AB是橢圓滬舒1的不平行于對稱軸的弦，M(xo , y0 )為 AB的中點，貝y kOM kAB =b2，即 K ABab2xoa yo2 2 2 212. 若R(xo,y。)在橢圓 務(wù)與內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是 答蟄=篤耳;a ba b a b【推論】：22 22 22

23、1、若P)(xo , y0 )在橢圓2=1內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是一22 2F。橢圓22 1a ba b a ba b(a b o)的兩個頂點為A(-a,0) , A, (a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于P、R時AP與A2P2交點的軌跡方程二 1.2 2 是1_是 2 _2a b2 2X y2、過橢圓 2 =1 (a 0, b 0)上任一點A(X,y)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點，則直a bb 25、若橢圓亍亍1 (a b0)的左、右焦點分別為x線BC有定向且kBc二(常數(shù)).a yo2 23、若P為橢圓2=1 (a b 0) 上異于長軸端點的任一點,F 1, F2是

24、焦點，.匕PFjF2 =，乙PF2 % = a ba c則tan cot .a c 222 2X y4、設(shè)橢圓一2十七=1 (a b0)的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在PFF2中，記a bF1PF2 = ： ,PF1F2 八，F(xiàn)1F2P 二，則有 sinc = e.sin P 十 sin aF1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)0vew 2T時，可在橢圓上求一點P,使得PR是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF的比例中項x2 v26、P為橢圓孑卩(a b0)上任一點為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則2a-|AF2|_|PA| |PFi怛2a |AFi|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點共線時，

25、等號成立2 27、橢圓 3 屮“與直線AX Bv C二。有公共點的充要條件是A2a2 B2b2 _ (Ax0 By0 C)2.2 2x v&已知橢圓 +=1 (a b 0), O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且 OP丄OQ. (1)a b2 2 2 2點iq廠古右(2) iop|2+ioq|2的最大值為a； (3) sopq的最小值是咒2 2x v9、過橢圓二 2 =1( a b 0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點，弦MN的垂直平分線交a bx軸于P,則 iPFl.e|MN |22 210、已知橢圓 篤，與=1( a b 0) ,A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與 x

26、軸相交于點a bP(x,O),2. 22. 2則一；：x0謳-aa2 2x v11、設(shè)P點是橢圓 -2二1 ( a b0) 上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記 EPF?二二a b，則(1)|PF1|PF2| = . S pfr 二b2tan.1 + cos 廿22212、設(shè)A、B是橢圓沽補(bǔ)1 ( a b0)的長軸兩端點，P是橢圓點一PAB，PBA =,2*十2ab Icosg |fy2-BPA=c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) |PA| 222 . tan: tan1 - e2 .(3)a -c cosS.pab 二評.b -a2 2x v13、已知橢圓 2 -1 ( a

27、b 0)的右準(zhǔn)線丨與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于a bA、B兩點，點C在右準(zhǔn)線丨上，且BC _ X軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點.14、 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16、 橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點)17、 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18、 橢圓焦三角形中，半

28、焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項七、雙曲線的常用結(jié)論：1、點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的內(nèi)角.2、 PT平分 PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩 個端點3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交4、 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)2 2”x yXoX y y5、 若P)(x0,y0)在雙曲線2 =1 ( a0,b 0)上，則過R的雙曲線的切線方程是221.a ba bx2 y26、 若P)(x0,y0)在雙曲線 2 - 2 =1( a0，b 0)夕卜，則過Po作雙

29、曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦a bP1P2的直線方程是竽-轡二1.a2b2x2 y27、 雙曲線 2 - 2 =1( a 0,b 0)的左右焦點分別為 F1, F2，點P為雙曲線上任意一點 F1PF2 - ，則雙曲a b2 y線的焦點角形的面積為 SFPF2二b2C0t?.X2 y2&雙曲線 2 -食=1( a 0,b 0)的焦半徑公式：(Fd-c,。)， F2(c,0)當(dāng)皿(心)在右支上時，a bIMF1 戶ex a , | MF2 | = ex)_a ； 當(dāng) M (x, y)在左支上時,|MR 卜ex a, | MF?戶 ex)- a。9、 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交

30、P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于 焦點F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點，貝U MFL NF.10、 過雙曲線一個焦點 F的直線與雙曲線交于兩點 P、Q, A、A為雙曲線實軸上的頂點，AP和AQ交于點M, A2P 和AQ交于點N,貝U MF丄NF.211、AB是雙曲線務(wù)a2話7a 0,b 。)的不平行于對稱軸的弦,M(Xo,yo)為AB的中點，貝y KomK -旦K AB 一 2，a yo即 Kab 二 b2X0a y12、右 P)X0 y0)2 2xy在雙曲線2 一 2 =1( a 0,b 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是ab2xx _ yy X02 _ Ja

31、 bb2X0Xy0y2 22、過雙曲線篤一占=1a2 b2則直線BC有定向且kBC二映(常數(shù))a y2 23、若P為雙曲線篤-與a b=1 ( a 0,b 0)右(或左)支上除頂點外的任一點,Fi, F 2 是焦點，.PF1F2 二:aP=ta n cot (或22口 “aco ).c a 2224、設(shè)雙曲線y?b2-1 (a0,b 0)的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記 F1PF2=aZPF1F2 = :, /F1F2P 二，則有 Sinc =e.-(sin -sin -) a25、若雙曲線-a2y_b2=1 (a0,b 0)的左、右焦點分別為

32、 Fi、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1v e0,b 0)內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是22abab【推論】：22Xy1、雙曲線 2 =1 (a 0,b 0)的兩個頂點為 A(-a,0), A2(a,0)，與y軸平行的直線交雙曲線于P、P時ab22A1P1與AP2交點的軌跡方程是篤 -y- =1.a2b2(a0,b 0)上任一點 A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點,曲線上求一點 P,使得PFi是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.2 26、P為雙曲線 篤冷=1 (a 0,b 0) 上任一點,F 1,F 2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則a b| AF21 -2a 0,b

33、 0)與直線Ax By C = 0有公共點的充要條件是Aa? - B2b2 - C2.a b2 2X y&已知雙曲線 右七=1 (ba 0), O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且 OP丄0Q.a b444442b?2人2(1)函OQ廠了它；(2) |OP|2+|OQ|2的最小值為(3) Sopq的最小值是&.2 2Xy9、過雙曲線 2 =1 (a 0,b 0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN勺垂直平分線交abx 軸于 P,貝U 1 PF 1 二 e| MN |22 2X y10、已知雙曲線 2 =1( a0,b 0),A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸

34、相交于點P(X,O),a b2.2 2.2 則 I或X。一aa2 211、設(shè)P點是雙曲線 篤-每=1 (a 0,b 0)上異于實軸端點的任一點，F(xiàn)i、F2為其焦點記 RPF2 - v，則(1)a bIPF1IIPF2I二2b21 -cos V.(2)S.PF1F22二 b cot22X12、設(shè)A B是雙曲線ab2=1 (a 0,b 0)的長軸兩端點,P是雙曲線上的一點, BPA二,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1) |PA| =22ab |cos： |2 22.|a -c cos | tan ： tan ： =1 -e2 .(3)S PABc 2,22a b=2b acot .2 2X y13、已知雙曲線 2 =1 (a 0,b 0)的右準(zhǔn)線丨與x軸相交于點E，過雙曲線右焦點 F的直線與雙曲線相a b交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線丨上，且BC丄X軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15、 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16