優(yōu)化作業(yè) 練習(xí)題目[優(yōu)選材料]

1、第1章思考題1. 何為約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題？什么是無(wú)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題？試各舉一例說(shuō)明。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題多屬哪一類？2. 一般優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型包括哪些部分？寫出一般形式的數(shù)學(xué)模型。3. 試簡(jiǎn)述優(yōu)化算法的迭代過(guò)程。習(xí)題1. 畫出滿足下列約束的可行域。g1(X )= 3x1+2x1-480g2(X )= x118+x20g3(X )=x10g4(X )=x202. 試將優(yōu)化問(wèn)題minF (X)=x12+x22-4x2+4XDR2D：g1(X )= 1-x1+x220g2(X )= x1-30g3(X )= -x20的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束邊界曲線勾畫出來(lái)，并回答下列問(wèn)題：(a) X=1，1T 是不是可行

2、點(diǎn)？(b) 是不是可行點(diǎn)？(c) 可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍。3. 已知某約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為minF (X)=(x1-3)2+(x2-4)2XDR2D：g1(X )= x1-5+x20g2(X )= 2.5 -x1+x20g3(X )= -x10g4(X )= -x20(1) 該問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題還是非線性規(guī)劃問(wèn)題？(2) 按一定比例畫出目標(biāo)函數(shù)F(X )的值分別等于1、2、3時(shí)的三條等值線，并在圖上劃出可行域。(3) 在圖上確定無(wú)約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解。(4) 若在該問(wèn)題中又加入等式約束h(x)= x1-x2=0，其約束最優(yōu)解X*、F(x*)又為多少？ 第2章思考題

3、1. 試說(shuō)明函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系？研究函數(shù)的梯度對(duì)求函數(shù)的極值有什么意義？為什么說(shuō)梯度方向是函數(shù)值上升最快的方向只是函數(shù)的一種局部性質(zhì)？2. 怎樣判斷多元函數(shù)有無(wú)極值？習(xí)題1. 試將函數(shù)F (X ) = x12-x1x2+x22寫成矩陣向量式，并判斷其二次型的系數(shù)矩陣是否為正定。2. 試用矩陣形式表示函數(shù)F (X ) = x12 +x22-x1x2-4x2+60，并寫出其海森矩陣。3. 求函數(shù)在點(diǎn)X(0) =-2，4T處的梯度。4. 計(jì)算二元函數(shù)F (X ) = x13 - x1x22+5x1 -6在點(diǎn)X(0) =1，1T處沿方向L=-1，2T的方向?qū)?shù)FL (X (0) )和沿梯度

4、方向F(X (0) )的方向?qū)?shù)FF (X (0) )。5. 已知目標(biāo)函數(shù) F(X)=(x12)2+x22 X=x1，x2TR2在不等式約束 g1(X)=x12+x210 g2(X)= x20 g3(X)= x10條件下求得最優(yōu)點(diǎn)為X*=1，0T，用庫(kù)恩-塔克條件檢驗(yàn)該點(diǎn)是否為條件極值 。 第3章思考題1. 為什么說(shuō)一維優(yōu)化方法是優(yōu)化方法中最簡(jiǎn)單、最基本的方法？2. 何為初始單峰區(qū)間，它在一維優(yōu)化方法中有何意義？3. 利用0.618法和二次插值法求解一維優(yōu)化問(wèn)題的基本思想各是什么？4. 0.618法和二次插值法各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？5. 對(duì)二次函數(shù)用二次插值法求優(yōu)時(shí)，為什么從理論上說(shuō)只需進(jìn)行一次迭代

5、就可求得最優(yōu)點(diǎn)？習(xí)題1. 試用進(jìn)退法確定函數(shù)F (x )=3x3-8x+92的初始單峰區(qū)間，給定初始點(diǎn)x0=0，初始步長(zhǎng)h=0.1。2. 試用黃金分割法求函數(shù)F (x )=(x-3)2的最優(yōu)解(最小值)。已知初始單峰區(qū)間為1，7，迭代精度為e=0.4。3. 試用二次插值法求函數(shù)F (x ) =8x3-2x2-7x+3的最優(yōu)解。給定初始區(qū)間0，2，迭代精度為e =0.01。4. 分別利用黃金分割法和二次插值法的程序求函數(shù)F (x ) =x4-4x3-6x2-16x+4的最小值，給定單峰區(qū)間為-1，6，精度要求e =0.05。5. 已知某汽車行駛速度x (km/min)與百公里油耗Q ( l )的

6、函數(shù)關(guān)系為，試用黃金分割法求當(dāng)速度x在0.21(km/min)時(shí)的最經(jīng)濟(jì)的車速x*，并計(jì)算此時(shí)汽車每行駛100km的油耗量是多少？ 第4章思考題1. 一般無(wú)約束優(yōu)化方法包括哪幾個(gè)步驟?各種不同的方法主要區(qū)別在何處?2. 何為直接法?何為間接法?它們各有什么優(yōu)缺點(diǎn)?什么情況下選用它們比較適宜，為什么?3. 為什么稱梯度法為最速下降法？既然梯度法的搜索方向是最速下敢方向，為什么又說(shuō)該法收斂速度慢？4. 何為牛頓方向？為什么用原始牛頓法求一個(gè)二次目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，從任一初始點(diǎn)出發(fā)，一定可以一次成功？5. 變尺度法的基本思想是什么？為什么變尺度法能得到廣泛應(yīng)用？6. 為什么說(shuō)坐標(biāo)輪換法的效能在很大程度

7、上取決于目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)？7. 坐標(biāo)輪換法是一種降維方法，除目標(biāo)函數(shù)的等值線出現(xiàn)“脊線”情況外，一般都能成功找到問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)。為什么當(dāng)初始鮑威爾出現(xiàn)“維數(shù)下降”的情況時(shí)，計(jì)算將歸于失??？這兩種算法中的降維有什么不同？8. 何為共軛方向？共軛方向有哪些重要性質(zhì)，這些性質(zhì)在鮑威爾方法中有何體現(xiàn)？共軛方向與正交方向關(guān)系如何？9. 請(qǐng)解釋只要沿共軛方向搜索，兩次就能找到二元二次正定函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。10. 簡(jiǎn)述變尺度法和鮑威爾法的迭代過(guò)程。畫出鮑威爾法的搜索路徑圖。11. 何為二次收斂性？習(xí)題1. 試用梯度法求解minF (x)=x12+2x22，設(shè)初始點(diǎn)為X(0) =4,4T，迭代三次，并驗(yàn)證相鄰兩次迭代

8、的搜索方向互相正交。2. 取初始點(diǎn)X (0) =1，2T，用阻尼牛頓法求的極小點(diǎn)。3. 用梯度法求minF (x )=2x12+2x22+2x32，初始點(diǎn)(x)(0) =1，1，1T。4. 用DFP變尺度法求目標(biāo)函數(shù)F (x )=4(x15)2+(x26)2的最優(yōu)解。已知初始點(diǎn)X (0) =8，9T，迭代精度e =0.01。5. 試用坐標(biāo)輪換法求目標(biāo)函數(shù)F (x)=2x12+3x228x1+10的無(wú)約束最優(yōu)解，初始點(diǎn)，迭代精度e =0.001。6. 試用鮑威爾法求目標(biāo)函數(shù)F (x)=10(x1+x25)2+( x1x2)2的最優(yōu)解，已知X (0) =0，0T，迭代精度e =0.01。 第6章

9、約束優(yōu)化思考題1. 在約束隨機(jī)方向搜索法中，為什么有可能找到比最速下降方向還要更好的搜索方向？隨機(jī)方向需滿足的條件是什么？2. 內(nèi)點(diǎn)法與外點(diǎn)法在構(gòu)造懲罰函數(shù)時(shí)有何區(qū)別？3. 外點(diǎn)法的初始點(diǎn)可任選擇，如最優(yōu)解在可行域內(nèi)，初始點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，迭代過(guò)程會(huì)不會(huì)跑出可行域？為什么？如初始點(diǎn)為外點(diǎn)，能否收斂到可行域內(nèi)？為什么？4. 外點(diǎn)法和混合懲罰函數(shù)法都可處理同時(shí)具有等式和不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，兩種方向在構(gòu)造懲罰函數(shù)時(shí)有何主要區(qū)別？5、按求解方式，約束優(yōu)化問(wèn)題的求解方法分為哪2類？這2類方法的適合條件和基本思路各是什么？6、復(fù)合形法的基本思想是什么？改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有哪4種？條件各是什么？7、可行方向法中的可行方向必須滿足哪2個(gè)條件？寫出此2個(gè)條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式8、可行方向的產(chǎn)生方法有哪2種？簡(jiǎn)要闡述此2方法的基本思想習(xí)題1. 設(shè)約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為minF (x)= x12+2x22XDR2D：g (X) =1x1x20試用內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法求約束極小點(diǎn)。2. 設(shè)約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為minF (x)=(x11)2+( x22)2