1990考研數(shù)一真題解析

1、1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5個(gè)小題，每小題3分,滿分15分.)(x = -t+2過點(diǎn)M ( 1廠2且與直線y =3t -4垂直的平面方程是z=t -1 G-3 y-z+4=0.e2a設(shè)a為非零常數(shù)，則lim(3)x =x a1 lxl1,42221- e-4積分0 dxe dy的值等于-_已知向量組 1 =(1,2,3,4),2 =(2,3, 4,5)3 =(345,6),= (4,5,6,7)，則該向量的秩是2 二、選擇題(本題共5個(gè)小題，每小題3分,滿分15分.)c xe(1)設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù) 且F(x)= ( f(t)dt,則Fx)等于(A)(A

2、) -ef (e)- f (x)(B) -ef (ef(x)(C)ef(e)- f (x)(D) ef (e) f(x)已知函數(shù)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f (x) =f(x)2,則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí),f (x)的n階導(dǎo)數(shù)f (n)(x)是(A)(A) n! f(x)n1 (B) nf(x)n d(C)f(x)2n(D) n!f(x)2n sin n設(shè)為常數(shù),則級數(shù)n仝 n(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性與:的取值有關(guān)已知f (x)在x = 0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且f (0) = 0,lim匕L二2，則在點(diǎn)x = 0T 1 -COSx處f(x) (D)(A)不可導(dǎo)(B)可導(dǎo)

3、，且f (0) =0(C)取得極大值(D)取得極小值已知】、-2是非齊次線性方程組 Ax=b的兩個(gè)不同的解，冷 :2是對應(yīng)齊次線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系，ki,k2為任意常數(shù)，則方程組Ax二b的通解(一般解)必是(B)- P2為 + P2(A) K4 k2( ：“ ： 2) 一 (B) kv- kzC：” 7-2) -2 2(C)“1 k2(r j) _l(D)k1：1 k2(】2)三、(本題滿分15分,每小題5分.)1 ln(1 - x) (1)求一 dx.0 (2 -x)21ln(1+ x) - ? ：dx 幾 。(1+ x)(2 - x)卄tj,l n (1+ x)11解:蝌話/d

4、x= oln (1+x)d亍 =ln 2- 1 j|+ 丄宅x=1ln23 桫一-x 1+ x3z 設(shè)z二f(2x-y,ysin x),其中f (u,v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求- cxdy 抖zf? f解：斤=2+ ycosx .抖xu?v./、抖h2f?f丄、2 + (2si nx- ycosx)+ ysinxcosx + cos x .抖ju抖/v?v_2xe抖2 z _2求微分方程y：4yr4y =的通解(一般解).抖ry=-2解：特征方程為r2+ 4r+ 4= 0的跟為n, = - 2 .對應(yīng)齊次方程的通解為Y = (G +C2x)e-2x，其G,C2中為任意常數(shù).設(shè)原方程的特解為y

5、(x) = Ax2e2x,代入原方程得A= 1 .22因此，原方程的通解為y(x)= Y + y* = (C1+ C2X)e 2x+ 2x四、(本題滿分6分.)qQ求幕級數(shù)x (2n 1)xn的收斂域,并求其和函數(shù).n =0an+ 1an2n+ 32n+ 1=1,所以 R= 1 = 1.P解：因?yàn)镻= limn顯然幕級數(shù)？(2n+ 1)xn在x= ?1時(shí)發(fā)散，故此幕級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,)又 S(x)=邋(2n+1)xn=2 nxn + 邋xn = 2x| x迄 宀2x11+ x=一 +=一,- 1 x 0.對于 f(c) ：f(a)情形，類似地c - a滬可證得此結(jié)果.七、(本題滿分6分)設(shè)

6、四階矩陣1-100 2134、01-100213B =001-1,C =0021且矩陣A滿足關(guān)系式A(E - C0JB )T(C T，其中逍為四階單位矩陣，C表示C的逆矩陣,CT表示C的轉(zhuǎn)置矩陣.將上述關(guān)系式化簡并求矩陣 A.1 AQC(E解：因 A(C4B)TCT-1因此 A|(C-B)T =八、(本題滿分8分)234二A(C - B)t，故-211-22=0, A- ?E=由 A- ?E =-2 桫224-入-4-4 瓏14-一 瓏-與P1正交的另一特征向量冷；2 2將上述相互正交的特彳 瓏1 故在正交變換瓏2對于入=9, A- ?E=九、(本題滿分8分瓏In1123_21 - 123 一

7、2-219), A的特征值為入=?2= 0, =9.二-2002驏亠0，從而可取特征向量P =昜11及0桫士單位化,得二驏驏1=2 下,桫32323驏量2P3 =3；,% =* 1n- 2支3壬 I2 E1 :3 +質(zhì)點(diǎn)P沿著以AB為直徑的半圓周，從點(diǎn)A(1,2)運(yùn)動到點(diǎn)B(3, 4)的過程中受變力F作用(見圖).F的大小等于點(diǎn)P與原點(diǎn)O之間的距離，其方向垂直于線段OP且與y軸正向的夾角小于尹變力F對質(zhì)點(diǎn)P所作的功.y*B(3,4)=-y i+Gj.圓弧AB的參數(shù)方程是拿=2+ cos9y = 3+ 72 sin 9nW= 蝌Ab解：由題意，變力變力F3 +2 sin 0)sin 9+2 (2

8、 + . 2 cos 9)cos 9d 9= 2( n-1).十、填填空題(本題滿分6分,每小題2分.)1(1)已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f (x) =-e*|,A X ,則X的概率分布函數(shù)F(X)(2)設(shè)隨機(jī)事件 ex,x 0,2-1e- x,x? 0,_、B及其和事件aUb的概率分別是0.4、0.3和0.6,若B表示B的對立事件，那么積事件AB的概率P(AB)=_0.3(3)已知離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松(Poisson)分布，即k 2PX 二 kl 二,k =0,1,2川I,則隨機(jī)變量Z=3X2的數(shù)學(xué)期望E(Z)=_4.1、(本題滿分6分.)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D : 0 ： x ： 1,| y |： x內(nèi)服從均勻分布，求關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量 Z =2X 1的方差D(Z).0 V x V 1解：(X, Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是f(x，y)=0其他因此