目標規(guī)劃教學教案講義

1、第三章 目標規(guī)劃第一節(jié) 目標規(guī)劃的數(shù)學模型目標規(guī)劃法是求一組變量的值，在一組資源約束和目標約束條件下，實現(xiàn)管理目標與實際目標之間的偏差最小的一種方法。應用目標規(guī)劃法解決多種目標決策問題時，首先要建立目標規(guī)劃模型。目標規(guī)劃模型由變量、約束和目標函數(shù)組成。為具體說明目標規(guī)劃與線性規(guī)劃在處理問題方法上的區(qū)別，先通過例子介紹目標規(guī)劃的有關概念及數(shù)學模型。一、舉例例 1 某廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，已知計劃期有關數(shù)據(jù)如下，求獲利最大的生產(chǎn)方案。 生產(chǎn)有關數(shù)據(jù)表 擁有量 原材料 （公斤） 2 1 11 設備臺時（小時） 利潤 （元/件） 1 8 2 10 10用線性規(guī)劃方法求解：設、兩種產(chǎn)品產(chǎn)量分別為x1，x2

2、可得 z=62元，x=（4，3）t但實際決策時，有可能考慮市場等其它方面因素，例如按重要性排序的下列目標：據(jù)市場信息，產(chǎn)品銷售量下降，要求產(chǎn)品產(chǎn)量低于產(chǎn)品產(chǎn)量；盡可能充分利用現(xiàn)有設備，但不希望加班；達到并超過計劃利潤指標56元。這樣考慮生產(chǎn)計劃問題即為多目標規(guī)劃問題。下面結(jié)合上述例題介紹有關建立目標規(guī)劃數(shù)學模型的基本概念。二、目標規(guī)劃基本概念1. 設x1，x2為決策變量，并引入正、負偏差變量d+、d正偏差變量d+表示決策值超過目標值的部分；負偏差變量d表示決策值未達到目標值的部分，d+，d0。決策值不可能既超過又未達到目標值，因此恒有d+d0。2.絕對約束和目標約束絕對約束指必須嚴格滿足的“，

3、” 約束，稱為硬約束，例如線性規(guī)劃中的約束，不滿足它們的約束稱為非可行解；目標約束是目標規(guī)劃所特有的，它把約束的右端常數(shù)項看作追求的目標值，允許出現(xiàn)正、負偏差，用“d+、d”表示，稱為軟約束。約束的一般形式為：式中第個目標約束的目標值；目標約束中決策變量的參數(shù)；以目標值為標準而設置的偏差變量。線性規(guī)劃問題的目標函數(shù)，在給定目標值和加入正、負偏差變量后可變?yōu)槟繕思s束；同樣，線性規(guī)劃問題的絕對約束，加入正、負偏差變量后也可變?yōu)槟繕思s束。例如，例1中線性規(guī)劃問題的目標函數(shù)：z = 8 x1 + 10x2 ，可變換為目標規(guī)劃問題中的目標約束：8 x1 + 10x2 =56 + d+d ；而同樣，線性規(guī)

4、劃問題的絕對約束：2x1 + x2 11，可變換為目標規(guī)劃問題中的目標約束：2x1 + x2 = 11d 。建立約束需注意的問題時：（1）對于絕對約束，則為資源限制值，上式中不加。（2）非負約束是指偏差變量非負，至于決策變量是否要求非負，依具體問題要求決定。（3）在目標規(guī)劃約束中，凡已列入目標約束的資源約束，不應再列入資源約束。（4）如果有明顯的目標要求，可在中只選一個。3.優(yōu)先級與權(quán)系數(shù)要解決的規(guī)劃問題往往有多個目標，而決策者對于要達到的目標是有主次之分的。要求首先達到的目標賦予優(yōu)先級p1，稍次者賦予p2 ，。這里規(guī)定：不同級目標重要性差異懸殊，pk pk+1，即先保證上一級目標實現(xiàn)的基礎上

5、再考慮下一級目標，低級目標的多大收獲也不能彌補高級目標的微小損失。若要區(qū)別具有相同優(yōu)先級的目標的差別，可賦予不同的權(quán)系數(shù)wj 。4.目標函數(shù)目標規(guī)劃問題的目標函數(shù)是由各目標約束不同的正、負偏差變量d+、d，優(yōu)先級pk與權(quán)系數(shù)wj所構(gòu)成的。與線性規(guī)劃不同的是目標函數(shù)中不含決策變量xj 。當各目標值確定之后，決策者希望的是盡可能縮小對目標值的偏離。因此，目標規(guī)劃問題的目標函數(shù)只能是：min z = f (d+，d)。其基本形式有下列三種：要求恰好達到目標值，即正、負偏差變量都應盡可能的小，這時目標函數(shù)的形式： min z = f (d+ + d)要求不超過目標值，即正偏差變量應盡可能的小，這時目標

6、函數(shù)的形式： min z = f (d+ )要求超過目標值，即負偏差變量應盡可能的小，這時目標函數(shù)的形式： min z = f ( d)由此可見，目標規(guī)劃比線性規(guī)劃體現(xiàn)了新的靈活思想，約束和目標都不看作是絕對的。決策者根據(jù)要求賦予各目標不同的優(yōu)先級、權(quán)系數(shù)，構(gòu)造目標函數(shù)。下面舉例說明。例2 某構(gòu)件公司商品混凝土車間生產(chǎn)能力為20t/h，每天工作8h，現(xiàn)有2個施工現(xiàn)場分別需要商品混凝土a為150t，商品混凝土b為100t，兩種混凝土的構(gòu)成、單位利潤及企業(yè)所擁有的原材料見下表所示，現(xiàn)管理部門提出：原材料消耗、擁有量r單位利潤表ab擁有資源量水泥/t0.350.2550t砂/t0.550.65130

7、t單位利潤/元10080（1）充分利用生產(chǎn)能力；（2）加班不超過2h；（3）產(chǎn)量盡量滿足兩工地需求；（4）力爭實現(xiàn)利潤2萬元/天試建立目標規(guī)劃模型擬定一個滿意的生產(chǎn)計劃。解：1.確定變量設分別為兩種混凝土的產(chǎn)量。2.約束條件（1）目標約束：級：要求生產(chǎn)能力充分利用，即要求剩余工時越小越好。 其中要求級：要求可以加班，但每日不超過2h，即日產(chǎn)量不超過200t。 其中要求級：兩個工地需求盡量滿足，但不能超過需求。 其中要求 其中要求因需求量不能超過其需求，故=0級：目標利潤超過2萬元。 其中要求（2）資源約束水泥需求不超過現(xiàn)有資源： 砂需求不超過現(xiàn)有資源：（3）非負約束3.目標函數(shù)依目標約束中的要

8、求，第三層目標中有兩個子目標，其權(quán)數(shù)可依其利潤多少的比例確定，即100:80，故w1=5，w2=4。故目標函數(shù)為整理得該問題的目標規(guī)劃模型為：目標：約束條件：例 3 例1的決策者在原材料供應受嚴格限制的基礎上考慮：產(chǎn)品產(chǎn)量低于產(chǎn)品產(chǎn)量；其次，盡可能充分利用現(xiàn)有設備，但不希望加班；再次，達到并超過計劃利潤指標56元，求決策方案。解 按決策者的要求，分別賦予三個目標不同的優(yōu)先級p1，p2，p3。然后建立目標規(guī)劃模型如下：min z = p1d1+ + p2(d2+d2) + p3d32x1 + x2 11 x1x2 + d1 d1+ = 0 x1 +2x2 + d2 d2+ = 108x1 +10

9、x2 + d3d3+ = 56x1，x2，di，di+ 0， i = 1，2，3目標規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式： 建立目標規(guī)劃數(shù)學模型時，需要確定目標值，優(yōu)先級，權(quán)系數(shù)等，它們都具有一定的主觀性，模糊性，通常采用專家評定法給予量化。第二節(jié) 目標規(guī)劃的圖解法對于只有兩個決策變量的目標規(guī)劃數(shù)學模型，可采用圖解法分析求解，這對于了解目標規(guī)劃一般問題的解題思路也很有幫助。下面用例2加以說明。類似于線性規(guī)劃，先在平面直角坐標系第一象限繪出各約束條件。絕對約束的作圖與線性規(guī)劃相同，對于目標約束，先繪出di+，di= 0對應的直線，然后在直線旁相應側(cè)標注di+，di，如圖3-1所示。根據(jù)目標函數(shù)中的優(yōu)先級對下圖

10、進行分析，即可找到滿意解（由于目標規(guī)劃問題常出現(xiàn)非可行解，因此稱目標規(guī)劃問題的最優(yōu)解為滿意解）。 x2 b11d1 d1+d2d2+a0 5.57 d3+ 10 x1fed3 dcg 圖3-1例2的目標規(guī)劃的圖解由圖可見，首先考慮絕對約束：2x1 + x2 11，解的可行域為三角形 0ab，然后按優(yōu)先級p1，目標函數(shù)中要求min d1+，解域縮減至0bc內(nèi)；再按優(yōu)先級p2，目標函數(shù)中要求min (d2+d2)，解域縮減至線段ed上；最后按優(yōu)先級p3，目標函數(shù)中要求min d3，因此最終滿意解域為線段gd?？汕蟮孟鄳鴺耍篻（2，4），d（10/3，10/3）。gd的凸線性組合都是該目標規(guī) 劃的

11、解。目標規(guī)劃問題求解時，把絕對約束作為最高優(yōu)先級（但不必賦p1）例中能依次滿足d1+=0，d2+d2=0 d3=0，因此z*=0。但大多數(shù)情況下并非如此，還可能出現(xiàn)矛盾，這可以通過下面的例子加以說明。例 3 某電子設備廠裝配a、b兩種型號同類產(chǎn)品，每裝配一臺需占用裝配線1小時。每周裝配線開動40小時，預計每周銷售：a產(chǎn)品24臺，每臺可獲利80元；b產(chǎn)品30臺，每臺可獲利40元。該廠確定的目標為：第一目標：充分利用裝配線每周開動40小時；第二目標：允許裝配線加班，但加班時間每周不超過10小時；第三目標：裝配數(shù)量盡量滿足市場需求。要求建立上述問題的數(shù)學模型并求解。解 設x1，x2分別為產(chǎn)品a、b的計劃產(chǎn)量。對于第三目標，由于每臺a產(chǎn)品利潤是b產(chǎn)品的2倍，因此取其權(quán)系數(shù)分別為2，1。建立目標規(guī)劃模型：min z = p1d1+ p2d2+ + p3(2d3+d4)x1 + x2 + d1 d1+ = 40x1+ x2 + d2 d2+ = 50x1 + d3 d3+ = 24x2 + d4 d4+ = 30x1，x2，di，di+ 0， i = 1，2，3，4ed2+d1+dbgfhx2d3d3+d4+d4-d1-d2-0 24 a c x1 圖3-2 例3的目標規(guī)劃的圖解由圖3-2可見，在考慮了第一目