61相似多邊形及位似--知識(shí)講解

1、相似多邊形及位似-知識(shí)講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、掌握相似多邊形的性質(zhì)及應(yīng)用； 2、了解圖形的位似，知道位似變換是特殊的相似變換，能利用位似的方法，將一個(gè)圖 形放大或縮??； 3、了解黃金分割值及相關(guān)運(yùn)算 . 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、相似多邊形 相似多邊形的性質(zhì)： (1) 相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等. (2) 相似多邊形的周長比等于相似比. (3) 相似多邊形的面積比等于相似比的平方. 要點(diǎn)詮釋： 用相似多邊形定義判定特殊多邊形的相似情況： (1) 對(duì)應(yīng)角都相等的兩個(gè)多邊形不一定相似，如：矩形； (2 )對(duì)應(yīng)邊的比都相等的兩個(gè)多邊形不一定相似，如：菱形； (3)邊數(shù)相同的正多邊形都相似，如

2、：正方形，正五邊形. 要點(diǎn)二、位似 1. 位似圖形定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同 一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心. 2. 位似圖形的性質(zhì)： (1) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上； (2) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比； (3) 位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行. 要點(diǎn)詮釋： (1) 位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未 必能構(gòu)成位似圖形. k 或-k. (2) 位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn) 為位似中心，相似比為 k，那么位

3、似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于 但大小和形狀沒有 是相似的. 3. 平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同： 圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后，雖然對(duì)應(yīng)位置改變了， 改變，即兩個(gè)圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的， 在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心; 作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線； 在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例； 順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn). 4. 作位似圖形的步驟 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 要點(diǎn)詮釋： 位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中 心不同的畫法. c c ” * 要點(diǎn)三、黃金分割 定義：如圖，將一條線段 段的

4、長度與全長之比，即 AB分割成大小兩條線段 PB AP （此時(shí)線段 AP AB AP、PB,若小段與大段的長度之比等于大 AP叫作線段PB AB的比例中項(xiàng)），貝y P點(diǎn) 就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割. 要點(diǎn)詮釋： 1.黃金分割值: 設(shè) AB=1, PB AP 1 X AP=x 貝U BP=1 X AP AB X 1 0.618 （舍負(fù)） 2.黃金三角形： 這種三角形為黃金三角形. 黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割. 頂角為 36的等腰三角形，它的底角為72,恰好是頂角的 2倍，人們稱 【典型例題】 類型一、相似多邊形 .如圖，矩形草坪長20m寬16m,沿草坪

5、四周有2m寬的環(huán)形小路，小路內(nèi)外邊緣所形 成的兩個(gè)矩形相似嗎？為什么? 【答案與解析】 因?yàn)榫匦蔚乃膫€(gè)角都是直角, AB EF AD 16 16 2 2 20 16 20 20 20 2 2 5 AB A D B C 所以關(guān)鍵是看矩形 ABCDf矩形EFGH的對(duì)應(yīng)邊的比是否相等. 4 5， 5 EH 而4 5 矩形ABCD與矩形 EF 24 AD 【總結(jié)升華】兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形, 這兩個(gè)條件才能相似，缺一不可. 舉一反三 【變式】 痕為EF, D E EH EFGH的對(duì)應(yīng)邊的比不相等，因而它們不相似. 必須同時(shí)滿足“對(duì)應(yīng)邊的比都相等， 對(duì)應(yīng)角都相等” 1 F A. 2 : 1 (2015?梧

6、州一模)如圖，一張矩形紙片 所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則 C ABCD勺長AB=a寬BC=b.將紙片對(duì)折，折 a： b=() 【答案】 提示： B B. 近：1 C. 3: V3 D. 3: 2 B. 矩形紙片對(duì)折，折痕為EF, AF=LABa, 2 2 矩形AFED與矩形ABCD相似, 2迅 AB二 AD AD= Y 2=2, 半.故選B. b 2. （2014?甘肅模擬）如圖，在長 8cm，寬4cm的矩形中截去一個(gè)矩形，使留下的矩 形（陰影部分）與原矩形相似， 那么留下的矩形的面積為（ ). A. 2cm 2 B. 4cm 2 C. 8cm 2 D. 16cm 【答案】C. 【解

7、析】設(shè)留下的矩形的寬為 /留下的矩形與原矩形相似， 迖4 =, 4 S x=2 , 留下的矩形的面積為：2 4=8 （cm2） 故答案為：8故選C. 【總結(jié)升華】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，在解題時(shí)要能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出 方程是本題的關(guān)鍵. 類型二、位似 Rf 3.利用位似圖形的方法把五邊形 ABCDE放大1.5倍. A B 5e C D 【答案與解析】即是要畫一個(gè)五邊形 A B C D E,要與五邊形 ABCDE相似且相似比 為 1.5. B OE C D Ei Ai 1 D1 C1 畫法是： 1 .在平面上任取一點(diǎn) O. 2 .以0為端點(diǎn)作射線0A OB OC OD OE. 3.

8、在射線 OAOBOGODOE上分別取點(diǎn) A、B、C =OC :0G= OD :OD= OE :OE= 1.5. 4 .連結(jié) A B、B C、C D、D E、E A . 、 A B B C C D D E，A E DE = AE =1.5. 則五邊形 A B C D E為所求.另外一種情況，所畫五邊形跟原五邊形分別在位似 中心的兩側(cè). 【總結(jié)升華】 由本題可知，利用位似的方法，可以把一個(gè)多邊形放大或縮小. 這樣： AB = BC =CD = 、E,使 OA :0A= OB :OB 【答案與解析】 因?yàn)榫匦蜲A B C 們的位似比為1 : 2. (1)分別取線段OA 與矩形OABC是位似圖形，面積

9、比為 1: 4, 連接OB OB OC的中點(diǎn) A、B、C,連接 OA、 所以它 A B、B C、C O 矩形OA B C就是所求的圖形. A, B, C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A( 3, 0), B( 3, 2), C (0, 2). (2)分別在線段 OA OB OC的反向延長線上截取 O A、O B、O C,使 OA =1oa 2 11 OB =1OB O C =-OC 連接 A B、B C 22 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A( -3 , 0), ，則矩形O A B C為所求. B( -3 , -2 ), C( 0, -2 ). c B 3 A 定要把兩種情 【總結(jié)升華】 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫位

10、似圖形，若沒有明確指出只畫一個(gè), 況都畫在坐標(biāo)系內(nèi)，并寫出兩種坐標(biāo) . 舉一反三 【變式】在已知三角形內(nèi)求作內(nèi)接正方形. 【答案】 作法: 在 以 (1) (2) (3) (4) AB上任取一點(diǎn) G,作G D丄BC G D為邊，在 ABC內(nèi)作一正方形 D E F G ; 連接BF,延長交AC于 F; 作FG/ CB交AB于G,從F、G分別作BC的垂線FE, GD; 四邊形DEFG即為所求. 類型三、黃金分割 5.求做黃金矩形（寫出具體做題步驟）并證明 【答案與解析】 寬與長的比是 遲的矩形叫黃金矩形.（心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給 2 作一個(gè)正方形 ABCD 分別取 AD, BC的

11、中點(diǎn)M, N連接 以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交 過E作EF丄AD交AD的延長線于 MN BC的延長線于E; F. 我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感.） 黃金矩形的作法如下（如圖所示） 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 即矩形DCEF為黃金矩形. 證明：在正方形 ABCD中，取AB 2a, N為BC的中點(diǎn)， 1 NC -BC a 2 在 RtA DNC 中， ND JnC2 cd2 Ja2 (2a)2 J5a - 又 NE ND , NE NC (75 1)a CE CD (躬 1) a 2a 故矩形DCEF為黃金矩形. 會(huì)利用相似比，求未知線段的長度或比 【總結(jié)升華】要求熟練掌握多邊形相似的比例關(guān)系. 值. 舉一反三 人的下半身長與身高之比 165cm,下半身長與身高 ) 【變式】美是一種感覺，當(dāng)人的肚臍是人的身高的黃金分割點(diǎn)時(shí)， 約為0.618，人的身段成為黃金比例，給人一種美感某女士身高