【試卷解析】湖南師大附中高一（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

1、湖南師大附中2014-2015學(xué)年高一（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共7小題，每小題5分，滿分35分）1已知集合a=x|x22x=0，b=0，1，2，則ab=（）a0b0，1c0，2d0，1，2考點：交集及其運算專題：集合分析：解出集合a，再由交的定義求出兩集合的交集解答：解：a=x|x22x=0=0，2，b=0，1，2，ab=0，2故選c點評：本題考查交的運算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵2設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）a若m，n，則mnb若m，m，則c若mn，m，則nd若m，則m考點：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與

2、平面之間的位置關(guān)系專題：空間位置關(guān)系與距離分析：用直線與平面平行的性質(zhì)定理判斷a的正誤；用直線與平面平行的性質(zhì)定理判斷b的正誤；用線面垂直的判定定理判斷c的正誤；通過面面垂直的判定定理進行判斷d的正誤解答：解：a、m，n，則mn，m與n可能相交也可能異面，所以a不正確；b、m，m，則，還有與可能相交，所以b不正確；c、mn，m，則n，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故c正確d、m，則m，也可能m，也可能m=a，所以d不正確；故選c點評：本題主要考查線線，線面，面面平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查空間想象能力能力3圓（x+2）2+y2=4與圓（x2）2+（y1）2=9的位置關(guān)系為（）a內(nèi)切b相交c外

3、切d相離考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定專題：直線與圓分析：求出兩圓的圓心和半徑，計算兩圓的圓心距，將圓心距和兩圓的半徑之和或半徑之差作對比，判斷兩圓的位置關(guān)系解答：解：圓（x+2）2+y2=4的圓心c1（2，0），半徑r=2圓（x2）2+（y1）2=9的圓心c2（2，1），半徑r=3，兩圓的圓心距d=，r+r=5，rr=1，r+rdrr，所以兩圓相交，故選b點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系及其判定的方法，關(guān)鍵是求圓心距和兩圓的半徑4設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）aabcbcabcabcdt=15考點：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；不等關(guān)系與不等式專題：計算題分析：直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a、b

4、的大小，通過冪函數(shù)的單調(diào)性判斷b、c的大小即可解答：解：因為y=是減函數(shù)，所以，冪函數(shù)y=是增函數(shù)，所以，abc故選：c點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查的比較一般利用函數(shù)的單調(diào)性5已知某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為24，則正視圖中a的值為（）a8b6c4d2考點：由三視圖求面積、體積專題：計算題分析：幾何體是一個四棱錐，底面是一個邊長分別是a和3的矩形，一條側(cè)棱與底面垂直，且這條側(cè)棱的長是4，根據(jù)該幾何體的體積是24，列出關(guān)于a的方程，解方程即可解答：解：由三視圖知幾何體是一個四棱錐，底面是一個邊長分別是a和3的矩形，一條側(cè)棱與底面垂直，且這條側(cè)棱的長是4

5、，根據(jù)該幾何體的體積是24，得到24=a34，a=6，故選b點評：本題考查由三視圖求幾何體的體積，實際上不是求幾何體的體積，而是根據(jù)體積的值和體積的計算公式，寫出關(guān)于變量的方程，利用方程思想解決問題6函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)為（）a0b1c2d3考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于在定義域上兩個增函數(shù)的和仍為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，而f（0）0，f（）0由零點存在性定理可判斷此函數(shù)僅有一個零點解答：解：函數(shù)f（x）的定義域為上是減函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是（）a（，4b（，2c上的解析式可以變?yōu)閒（x）=x2bx，再由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合

6、函數(shù)f（x）=|x|（xb）在上是減函數(shù)即可得到關(guān)于參數(shù)b的不等式，解不等式得到參數(shù)的取值范圍即可選出正確選項解答：解：函數(shù)f（x）=|x|（xb）在上是減函數(shù)，函數(shù)f（x）=x2bx在上是減函數(shù)，解得b4故選d點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，且能根據(jù)題設(shè)條件及二次函數(shù)的性質(zhì)進行等價轉(zhuǎn)化得到參數(shù)所滿足的不等式二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）8函數(shù)f（x）=（x+a）（x4）為偶函數(shù)，則實數(shù)a=4考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)偶函數(shù)f（x）的定義域為r，則xr，都有f（x）=f（x），建立等式，解之即可解答：解：因為函數(shù)f（

7、x）=（x+a）（x4）是偶函數(shù)，所以xr，都有f（x）=f（x）所以xr，都有（x+a）（x4）=（x+a）（x4）即x2+（4a）x4a=x2+（a4）x4a所以a=4故答案為：4點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題9已知4a=2，lgx=a，則x=考點：對數(shù)的運算性質(zhì)專題：計算題分析：化指數(shù)式為對數(shù)式求得a，代入lgx=a后由對數(shù)的運算性質(zhì)求得x的值解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=故答案為：點評：本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題10已知一個正方體的所有頂點在一個球面上若球的體積為，則正方體的棱長為考點：

8、球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積專題：空間位置關(guān)系與距離；立體幾何分析：設(shè)出正方體棱長，利用正方體的體對角線就是外接球的直徑，通過球的體積求出正方體的棱長解答：解：因為正方體的體對角線就是外接球的直徑，設(shè)正方體的棱長為a，所以正方體的體對角線長為：a，正方體的外接球的半徑為：，球的體積為：，解得a=故答案為：點評：本題考查正方體與外接球的關(guān)系，注意到正方體的體對角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計算能力11已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（0，1）（1，4）考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：先化簡函數(shù)的解析式，在同一

9、個坐標系下畫出函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx2的圖象，結(jié)合圖象，可得實數(shù)k的取值范圍解答：解：y=函數(shù)y=kx2的圖象恒過點（0，2）在同一個坐標系下畫出函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx2的圖象結(jié)合圖象可實數(shù)k的取值范圍是（0，1）（1，4）故答案為：（0，1）（1，4）點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，同時考查了作圖能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題三、解答題（共4小題，滿分45分）12已知直線l：xy+m=0繞其與x軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)90后過點（2，3）（1）求m的值；（2）求經(jīng)過點a（1，1）和b（2，2），且圓心在直線l上的圓的方程考點：圓的標準方程；待定系數(shù)法求直線方程專題：

10、直線與圓分析：（1）通過設(shè)直線l與x軸交點p（m，0），利用旋轉(zhuǎn)前后兩直線垂直即斜率乘積為1可得m=1；（2）通過中點坐標公式可得線段ab的中點c（，），利用斜率乘積為1可得直線ab的中垂線的斜率為，進而可得直線ab的中垂線的方程為：x3y3=0，利用所求圓的圓心為直線ab的中垂線與直線l的交點，所求圓的半徑為|eb|，計算即得結(jié)論解答：解：（1）直線l：xy+m=0，kl=1，直線l與x軸交點為p（m，0），又直線l旋轉(zhuǎn)后過點q（2，3），kpq=1，即=1，解得m=1；（2）m=1，直線l方程為：xy+1=0，所求圓經(jīng)過點a（1，1）、b（2，2）且圓心在直線l上，所求圓的圓心為直線ab的

11、中垂線與直線l的交點，記線段ab的中點為c（x，y），則，c點坐標為：c（，），kab=3，直線ab的中垂線的斜率為，又直線ab的中垂線過c（，），直線ab的中垂線的方程為：y+=（x），整理得：x3y3=0，聯(lián)立，解得，即圓心為e（3，2），半徑為|eb|=2+3=5，所求圓的方程為：（x+3）2+（x+2）2=25點評：本題是一道直線與圓的綜合題，涉及斜率、中垂線、圓的方程等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題13如圖，在rtaob中，oab=30，斜邊ab=4，rtaoc可以通過rtaob以直線ao為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角baoc的直二面角，d是ab的中點（1）求證：平面cod平面ao

12、b；（2）求異面直線ao與cd所成角的正切值考點：異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定專題：證明題；空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：（1）證明平面cod中的直線co平面aob即可；（2）作出異面直線ao與cd所成的角，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出異面直線ao與cd所成角的正切值解答：解：（1）如圖所示，rtaoc是通過rtaob以直線ao為軸旋轉(zhuǎn)得到，coao，boao；又二面角baoc是直二面角，boc是二面角baoc的平面角，即boc=90，cobo；又aobo=o，co平面aob；又co面cod，平面cod平面aob；（2）作deob于點e，連接ce，deao，cde是異面直線

13、ao與cd所成的角；在 rtcoe中，co=bo=ab=2，oe=bo=1，ce=；又de=ao=，tancde=，即異面直線ao與cd所成角的正切值是點評：本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了直角三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合性題目14已知圓心為c的圓：x2+y2+2x4y+m=0與直線2x+y3=0相交于a、b兩點（1）若abc為正三角形，求m的值；（2）是否存在常數(shù)m，使以ab為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由考點：直線和圓的方程的應(yīng)用專題：直線與圓分析：（1）求得圓的圓心和半徑，由正三角形的性質(zhì)，可得c到ab的距離d=r，計算可得m的值；

14、（2）假設(shè)存在常數(shù)m，使以ab為直徑的圓經(jīng)過坐標原點即有oaob，取ab的中點m，連接om，cm，即有om=ab=，由直線垂直的條件，由直線的交點可得m的坐標，運用兩點的距離公式，解方程可得m，進而判斷存在解答：解：（1）圓：x2+y2+2x4y+m=0的圓心c（1，2），半徑為r=，由abc為正三角形，可得c到ab的距離d=r，即為=，解得m=；（2）假設(shè)存在常數(shù)m，使以ab為直徑的圓經(jīng)過坐標原點即有oaob，取ab的中點m，連接om，cm，即有om=ab=，由cmab，可得cm的方程為y2=（x+1），聯(lián)立直線2x+y3=0，可得m（，），即有=，解得m=則存在常數(shù)m=，使以ab為直徑的圓

15、經(jīng)過坐標原點點評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長公式和正三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，屬于中檔題15已知f（x）=ax2+bx+2，xr（1）若b=1，且3y|y=f（x），xr，求a的取值范圍（2）若a=1，且方程f（x）+|x21|=2在（0，2）上有兩個解x1，x2，求b的取值范圍，并證明2考點：二次函數(shù)的性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用分析：（1）由3y|y=f（x），xr，討論a的取值，利用二次函數(shù)的最值，求出a的取值范圍；（2）把方程f（x）+|x21|=2在（0，2）上有兩個解化為函數(shù)g（x）=x2+bx+|x21|在（0，2）上有2個零點的問題，去掉絕對值，討論函數(shù)的單調(diào)函數(shù)，求出g（x）在（0，2）上存在兩個零點時b的取值范圍，得出所求證明解答：解：（1）b=1時，f（x）=ax2+x+2，又3y|y=f（x），xr，a0時，3，解得a，不合題意，舍去；a=0時，也不合題意，應(yīng)舍去；a0時，3，解得a，a的取值范圍是a|a；（2）a=1時，方程f（x）+|x21|=2在（0，2）上有兩個解x1，x2，即x2+bx+|x21|=0在（0，2）上有兩個解x1，x2；由題意知b0，不妨設(shè)0x1x22，令g（x）=x2+bx+|x21|=；因為