2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章算法初步統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例第四講變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案含解析新人教版

1、第四講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例知識(shí)梳理雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一回歸分析(1)相關(guān)關(guān)系：當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種_非確定性關(guān)系_(2)散點(diǎn)圖：表示具有_相關(guān)_關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖，它可直觀地判斷兩變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示若這些散點(diǎn)有y隨x增大而增大的趨勢(shì)，則稱兩個(gè)變量_正相關(guān)_；若這些散點(diǎn)有y隨x增大而減小的趨勢(shì)，則稱兩個(gè)變量_負(fù)相關(guān)_(3)回歸方程：x，其中，_，它主要用來估計(jì)和預(yù)測(cè)取值，從而獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解(4)相關(guān)系數(shù)：r它主要用于相關(guān)量的顯著性檢驗(yàn)，以衡量它們之間的

2、線性相關(guān)程度當(dāng)r0時(shí)表示兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r0時(shí)表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)|r|越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性_越強(qiáng)_；當(dāng)|r|接近0時(shí)，表明兩個(gè)變量間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，相關(guān)性_越弱_知識(shí)點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)22列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)分類變量，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(22列聯(lián)表)如下：y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcd(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為X2)(其中nabcd為樣本容量)來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出22列聯(lián)表；計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，查表確定臨界值k0：如果

3、kk0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過P(K2k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過P(K2k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)”1回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性分布時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值2獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，并用來指導(dǎo)科研和實(shí)際生活題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的

4、教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系()(2)兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0()(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測(cè)價(jià)值()(4)某同學(xué)研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x()之間的關(guān)系，得回歸方程2.352x147.767，則氣溫為2 時(shí)，一定可賣出143杯熱飲()(5)事件x，y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大()(6)由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀()題組二走進(jìn)教材2(P97T2)為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校男生150名中有80名近視，在14

5、0名女生中有70名近視在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有說服力(C)A回歸分析B均值與方差C獨(dú)立性檢驗(yàn)D概率解析“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷3(P81例1)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程0.67x54.9零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_68_解析由30，得0.673054.975設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a，則62a758189755，a68題組三走向高考4(2

6、017山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為x，已知xi225，yi1 600，4該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為(C)A160B163C166D170解析由題意知4x又22.5，160，因此16022.54，70，因此4x70，當(dāng)x24時(shí)，42470166，故選C5(2019高考全國卷)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1

7、)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：K2P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為0.8，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為0.6，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6(2)由題可得K24.762由于4.7623.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的判斷自主練透例1 (1)(2021四川資陽模擬)在一次對(duì)人體脂肪含量和

8、年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡關(guān)系的散點(diǎn)圖根據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是(B)A人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%B人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%C人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%D人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%(2)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(A)Ar2r40r3r1Br4r20r1r3Cr4r20r3r1Dr2r40r1r3解析(1)觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%，故選B(2)由相關(guān)

9、系數(shù)的定義及散點(diǎn)圖所表達(dá)的含義，可知r2r40r3r1故選A名師點(diǎn)撥判斷兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)(2)相關(guān)系數(shù)：r0時(shí)，正相關(guān)；r0時(shí)，負(fù)相關(guān)(3)線性回歸直線方程中：0時(shí)，正相關(guān)；0時(shí)負(fù)相關(guān)考點(diǎn)二線性回歸分析師生共研例2 (1)(2021湖湘名校教育聯(lián)合體聯(lián)考)2020年3月15日，某市物價(jià)部門對(duì)5家商場(chǎng)的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x(元)和銷售量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價(jià)格x99.51010.511銷售量y1110865按公式計(jì)算，y與x的回歸直線方程是：3.

10、2x，相關(guān)系數(shù)|r|0.986，則下列說法不正確的是(D)A變量x，y線性負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)B40C當(dāng)x8.5時(shí)，y的估計(jì)值為12.8D相應(yīng)于點(diǎn)(10.5,6)的殘差約為0.4(2)(2020全國)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得i60，i1 200，(xi)280，(yi)29 000，(xi)(yi)800求

11、該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；求樣本(xi，yi)(i1,2，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由附：相關(guān)系數(shù)r，1.414解析(1)對(duì)A，由表可知y隨x增大而減少，可認(rèn)為變量x，y線性負(fù)相關(guān)，且相關(guān)性強(qiáng)，故A正確對(duì)B，價(jià)格平均(99.51010.511)10，銷售量(1110865)8故回歸直線恒過定點(diǎn)(10,8)，故83.21040，故B正確對(duì)C，當(dāng)x8.5時(shí)，3.28.

12、54012.8，故C正確對(duì)D，相應(yīng)于點(diǎn)(10,8)的殘差約為6(3.210.540)0.4，故D不正確故選D(2)樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為i1 20060，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為2006012 000樣本(xi，yi)的相關(guān)系數(shù)為r0.94由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣，先將植物覆蓋面積按優(yōu)中差分成三層，在各層內(nèi)按比例抽取樣本，在每層內(nèi)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取樣本即可名師點(diǎn)撥線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求線性回歸方程：利用公式，求出回歸系數(shù)，待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)中心求系數(shù)(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)：把回歸直線方程看

13、作一次函數(shù)，求函數(shù)值(3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)變式訓(xùn)練1(2021安徽六校教育研究會(huì)素質(zhì)測(cè)試)某商場(chǎng)近5個(gè)月的銷售額和利潤額如表所示：銷售額x/千萬元35679利潤額y/百萬元13345(1)畫出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖，說明兩個(gè)變量有怎樣的相關(guān)關(guān)系；(2)求出利潤額y關(guān)于銷售額x的回歸直線方程；(3)當(dāng)銷售額為4千萬元時(shí)，利用(2)的結(jié)論估計(jì)該商場(chǎng)的利潤額(百萬元)，b解析(1)散點(diǎn)圖如圖所示：兩個(gè)變量正相關(guān)，且具有線性相關(guān)關(guān)系(2)易求6，3.2，由公式有0.65，且3.20.6560.7，則線性回歸方程為0.65x0.7，(3)當(dāng)x4時(shí)，由(1)可求得1.9

14、，即利潤額約為1.9百萬元考點(diǎn)三,獨(dú)立性檢驗(yàn)師生共研例3 (1)(2020新高考，19)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：g/m3)，得下表：SO2PM2.50,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的22列聯(lián)表：SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115根據(jù)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與

15、SO2濃度有關(guān)附：K2，P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(2) (2021四川大學(xué)附中期中)2020年，全球爆發(fā)了新冠肺炎疫情，為了預(yù)防疫情蔓延，某校推遲2020年的春季線下開學(xué)，并采取了“停課不停學(xué)”的線上授課措施為了解學(xué)生對(duì)線上課程的滿意程度，隨機(jī)抽取了該校的100名學(xué)生(男生與女生的人數(shù)之比為32)對(duì)線上課程進(jìn)行評(píng)價(jià)打分，若評(píng)分不低于80分視為滿意，其得分情況的頻率分布直方圖如圖所示，若根據(jù)頻率分布直方圖得到的評(píng)分不低于70分的頻率為0.85估計(jì)100名學(xué)生對(duì)線上課程評(píng)分的平均值；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值為代表)結(jié)合頻率分布直方圖，請(qǐng)完成以

16、下22列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”；態(tài)度性別滿意不滿意合計(jì)男生女生10合計(jì)100K2，其中P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879nabcd解析(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數(shù)為32186864，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計(jì)值為0.64根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得22列聯(lián)表：SO2PM2.50,150(150,4750,756416(75,1151010根據(jù)的列聯(lián)表得K27.

17、484由于7.4846.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)(2)由已知得(0.015b0.03)100.85，解得b0.04，又(0.005a)1010.85，解得a0.01，評(píng)分的平均值為550.05650.1750.3850.4950.1580完成22列聯(lián)表如下表：態(tài)度性別滿意不滿意合計(jì)男生253560女生301040合計(jì)5545100K210.7746.635，有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”名師點(diǎn)撥解獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題的關(guān)注點(diǎn)(1)兩個(gè)明確：明確兩類主體明確研究的兩個(gè)問題(2)兩個(gè)關(guān)鍵：準(zhǔn)確列出22列聯(lián)表：準(zhǔn)確理解K2注意：查表

18、時(shí)不是查最大允許值，而是先根據(jù)題目要求的百分比找到第一行對(duì)應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對(duì)應(yīng)的k值與求得的K2相比較另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個(gè)變量沒有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1p變式訓(xùn)練2(2021廣西欽州、崇左質(zhì)檢)某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來的報(bào)廢的出租車，現(xiàn)有A，B兩款車型，根據(jù)以往這兩種出租車車型的數(shù)據(jù)，得到兩款出租車型使用壽命頻數(shù)表如下：使用壽命年數(shù)4年5年6年7年總計(jì)A型出租車(輛)10204525100B型出租車(輛1)填寫下表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關(guān)？使用壽命不高于5年使用壽命不低于6年總

19、計(jì)A型B型總計(jì)(2)司機(jī)師傅小李準(zhǔn)備在一輛開了3年的A型車和一輛開了3年的B型車中選擇，為了盡最大可能實(shí)現(xiàn)3年內(nèi)(含3年)不換車，試通過計(jì)算說明，他應(yīng)如何選擇參加公式：K2，其中nabcd參考數(shù)據(jù)：P(K2k0)0.050.0100.001k03.8416.63510.828解析(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下22的列聯(lián)考：使用壽命不高于5年使用壽命不低于6年總計(jì)A型3070100B型5050100總計(jì)80120200由列聯(lián)表可知：K28.336.635，所以有99%的把握認(rèn)為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關(guān)；(2)記事件A1，A2分別表示小李選擇A型出租車和B型出租車時(shí)，3年內(nèi)(含3年)換車

20、，由表知P(A1)0.75，P(A2)0.9，因?yàn)镻(A1)P(A2)，所以小李應(yīng)選擇A型出租車名師講壇素養(yǎng)提升非線性回歸問題例4(2020內(nèi)蒙古烏蘭察布等五市調(diào)研)一個(gè)調(diào)查學(xué)生記憶的研究團(tuán)隊(duì)從某中學(xué)隨機(jī)挑選100名學(xué)生進(jìn)行記憶測(cè)試，通過講解100個(gè)陌生單詞后，相隔十分鐘進(jìn)行聽寫測(cè)試，間隔時(shí)間t(分鐘)和答對(duì)人數(shù)y的統(tǒng)計(jì)表格如下：時(shí)間t(分鐘)102030405060708090100答對(duì)人數(shù)y987052363020151155lg y1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7時(shí)間t與答對(duì)人數(shù)y的散點(diǎn)圖如圖：附：38 500，i342，g yi13.5，iyi10 960，ilg