2020屆四川省瀘州市高考數(shù)學(xué)三診試卷(理科)(有答案

1、A 2AC四川省瀘州市高考數(shù)學(xué)三診試卷（理科）一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 一項。1設(shè)集合 M=x|x2x60，則 MN=（）（1，2） B（1，3） C（ 1，2）D（1，3）若命題 p：? x0R，x02lgx0，則 p 是（）? x0R，x02lgx0 B? x0R， x0 2 lgx 0? xR，x2 e對 x R恒成立（ e 是自然對數(shù)的底數(shù)）A 1，0 B（1，0），則 a 的取值范圍是（ ） C2，0 D ，0二、填空題：本題共 5 小題，每題 5分，共 25 分。11復(fù)數(shù) z=（i 為虛數(shù)單位）的虛部是

2、12在二次項式（ x ）6 的展開式中，常數(shù)項的值是 （用具體數(shù)字作答）13下表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深關(guān)系18： 00 21：00 24： 005.0 3.0 5.0t） +h（其中 A0，0，h0）O 為坐標(biāo)原點） ，則的最小值時刻0： 003：006：009：0012：0015：00水深（ m）5.07.05.03.05.07.0若該港口的水深 y（ m）和時刻 t（ 0 t 24）的關(guān)系可用函數(shù) y=Asin 來近似描述，則該港口在 11：00 的水深為 m 14若直線 ax+ya+1=0（aR）與圓 x2+y2=4 交于 A 、B 兩點（其中 為15函數(shù) f（ x）圖

3、象上不同兩點 A （ x1， y 1）， B（ x2， y2）處的切線的斜率分別是 kA，kB， | AB | 為 A、B 兩點間距離，定義 （A，B）=為曲線 f（x）在點 A 與點 B 之間的 “曲率 ”，給出以下問題： 存在這樣的函數(shù)，該函數(shù)圖象上任意兩點之間的“曲率 ”為常數(shù)； 函數(shù) f（x）=x3x2+1圖象上兩點 A 與 B 的橫坐標(biāo)分別為 1，2，則點 A 與點 B之間的“曲率”（A，B）； 函數(shù) f（x）=ax2+b（a0，bR）圖象上任意兩點 A、B 之間的 “曲率”（A，B）2a； 設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線 f （ x ） =ex上不同兩點，且 x1x2

4、=1，若 t?（ A， B） 1恒成立， 則實數(shù) t 的取值范圍是（ ，1）其中正確命題的序號為 （填上所有正確命題的序號） 三、簡答題：本大題共 6小題，共 75 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 16設(shè)等比數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，已知 a3= ，S3= （）求數(shù)列 an 的通項公式；，Tn為數(shù)列bn的前 n項和，求使 Tn= +105成立的 n的值（）設(shè) bn=log 217我國政府對 PM2.5 采用如下標(biāo)準(zhǔn)：PM 2.5 日均值 m（ g/m 3 ）空氣質(zhì)量等級m 75超標(biāo)某市環(huán)保局從 180 天的市區(qū) PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽取 10 天的數(shù)據(jù)作為樣本，檢測

5、值如莖葉圖所示（十 位為莖，個位為葉） （ 1）求這 10 天數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）從這 10 天的數(shù)據(jù)中任取 3 天的數(shù)據(jù)，記 表示空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)，求 的分布列；（3）以這 10天的 PM2.5日均值來估計這 180 天的空氣質(zhì)量情況， 其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達到一級？18 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知 a= ccosB+bsinC（1）求 C 的值；（2）若 D 是 AB 上的點，已知 cos BCD= ，a=2，b=3，求 sinBDC 的值19如圖，在空間多面體 ABCDE 中，四邊形 ABCD 為直角梯形， AB DC，AD CD ， ADE

6、 是正三角 形， CD=DE=2AB ，CE= CD =1（a b0）過點 P（1，（I）求證：平面 CDE 平面 ADE ； （）求二面角 CBE A 的余弦值（ ）求橢圓 C 的方程；（）設(shè)橢圓 C的右頂點為 A，直線 l交 C于兩點 M、N（異于點 A），若 D在 MN 上，且 ADMN， |AD|2=|MD| ND | ，證明直線 l 過定點21已知函數(shù) f（ x ） =lnx a（ x 1）（其中 a0，e 是自然對數(shù)的底數(shù)） （）若關(guān)于 x 的方程 f（x）= x2 x+a 有唯一實根，求（ 1+lna） a2的值；（ ）若過原點作曲線 y=f （ x）的切線 l 與直線 y=ex

7、+1 垂直，證明：a；）設(shè) g（x）=f（x+1）+ex，當(dāng) x0 時，g（x） 1恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍四川省瀘州市高考數(shù)學(xué)三診試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 一項。1設(shè)集合 M=x|x2x60，則 MN=（）A（1，2） B（1，3） C（ 1，2） D（1，3）【考點】 交集及其運算【分析】 分別求出 M 與 N 中不等式的解集確定出 M 與 N，找出兩集合的交集即可【解答】 解：由 M 中不等式變形得： （ x 3）（ x +2） 0，解得： 2x1，即 N= （1，+），則

8、M N= （1，3），故選： B 2若命題 p：? x0R，x02lgx0，則 p 是（）A? x0R，x02lgx0 B? x0R， x0 2 lgx 0C ? xR，x2 lgx 0，則 p 是? x0R，x02 lgx0故選： A 3已知 cos2= ，則 sin4 cos4的值為（）ABC D【考點】 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；二倍角的余弦【分析】 已知等式左邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，原式利用平方差公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān) 系化簡，將得出關(guān)系式代入計算即可求出值【解答】 解： cos2=cos2 sin2= ，4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 sin4cos4=（si

9、n2cos2）（sin2+cos2）=sin2cos2=（ cos2 sin2） = ， 故選： C4圓x2+y2 4x=0 的圓心到雙曲線y2=1 的漸近線的距離為（A1【考點】【分析】 【解答】可得圓心到雙曲線y2=1 的漸近線的距離為：B2 CD 2雙曲線的簡單性質(zhì) 求得圓的圓心和半徑，雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式，計算即可得到所求值 解：圓 x2+y2 4x=0 的圓心為（ 2， 0），半徑為 2，y= x，雙曲線 y2=1 的漸近線方程為d=1故選： A 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x，yR，則輸出 t 的最大值為（A 1 B3 C2 D0 【考點】 程序框圖【分

10、析】 分析框圖可知，本題是求可行域內(nèi)，目標(biāo)函數(shù) t= 最大值，畫出可行域，求得取得最大值的點的坐標(biāo)，得出最大值即可【解答】 解：由程序框圖知：本題是求可行域畫出可行域如圖：OA 時斜率最大，A（ 1， 3），此時，由于 t= 為經(jīng)過可行域的一點與原點的直線的斜率，可得當(dāng)直線經(jīng)過，解得，某三視圖如圖，則該幾何體的體積為（故選： B 6從一個棱長為 1 的正方體中切去一部分，得到一個幾何體，B由三視圖求面積 由題意所給的幾何體的三視圖可得該幾何體的形狀如下圖所示：該幾何體是一棱長為 切去如圖所示的一角【解答】 解：由題意所給的幾何體的三視圖可得該幾何體的形狀如下圖所示： 該幾何體是一棱長為 1 的

11、正方體切去如圖所示的一角， 剩余幾何體的體積等于正方體的體積減去截取的直三棱錐的體積，=A【考點】【分析】CD積、體積1 的正方體V=1 7某學(xué)校一天共排 7 節(jié)課（其中上午 4節(jié)、下午 3節(jié)），某教師某天高三年級 1 班和 2班各有一節(jié)課，但 他要求不能連排 2 節(jié)課（其中上午第 4 節(jié)和下午第 1 節(jié)不算連排） ，那么該教師這一天的課的所有可能的排 法種數(shù)共有（ ）B15 C32 D 30 計數(shù)原理的應(yīng)用 直接分類討論得以解決 解：該教師一個班上第 12 節(jié)課，則另一個班有3 節(jié)課，則另一個班有4 節(jié)課，則另一個班有5 節(jié)課，則另一個班有A 16【考點】【分析】【解答】 一個班上第一個班上

12、第 一個班上第 一個班上第 共有 10+8+6+6+2=32 種方法 故選： C節(jié)課，則另一個班有4 種情況，3 種情況，3 種情況，7 種情況，考慮順序， 考慮順序， 考慮順序， 考慮順序，5 種情況，考慮順序，有 10 種方法； 有 有 有 有8 種方法；6 種方法；6 種方法；2 種方法；8已知拋物線 C：y2=8x 的焦點為 則|QF|=（）B拋物線的簡單性質(zhì)如圖所示， 由拋物線 C：y2=8x ，可得焦點為 F，準(zhǔn)線 l 方程，準(zhǔn)線 l 與A3考點】分析】F，準(zhǔn)線為 l，P是 l上一點， Q是直線 PF與C的一個交點，若 =4 ，CD過點 Q作 QN l，垂足為 N則|QN|=|QF

13、|由 QN MF ，可得【解答】 解：如圖所示，由拋物線 C：y2=8x，可得焦點為 F（2，0），準(zhǔn)線 l 方程為： x=2， 準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點 M，| FM| =4經(jīng)過點 Q作 QN l ，垂足為 N 則|QN| =|QF|QN MF，=| QN| =3=| QF| 故選： A x 軸相交于點 M ，|FM|=4 經(jīng) ，即可得出9在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E是棱 CC1的中點， F是側(cè)面 BCC1B 1內(nèi)的動點，且 A1F平面 D1AE， 則 A 1F與平面 BCC1B1所成角的正切值 t 構(gòu)成的集合是（ ）At| Bt|t2 Ct|2 Dt| 2【考點】 直線與平

14、面所成的角【分析】 設(shè)平面 AD 1E與直線 BC交于點 G，連接 AG 、EG，則 G為BC的中點分別取 B 1B、 B1C1的中 點 M 、N，連接 AM 、MN 、AN ，可證出平面 A1MN 平面 D1AE，從而得到 A1F是平面 A1MN 內(nèi)的直線 由 此將點 F 在線段 MN 上運動并加以觀察，即可得到 A1F 與平面 BCC 1B 1 所成角取最大值、最小值的位置， 由此不難得到 A1F 與平面 BCC 1B1 所成角的正切取值范圍【解答】 解：設(shè)平面 AD 1E 與直線 BC 交于點 G，連接 AG 、 EG ，則 G 為 BC 的中點分別取 B1B、B1C1 的中點 M、N，

15、連接 AM、MN、AN，則A1MD1E，A1M?平面 D1AE ，D1E? 平面 D1AE， A 1M 平面 D1AE 同理可得 MN平面 D1AE ，A1M、MN 是平面 A1MN 內(nèi)的相交直線平面 A 1MN 平面 D1AE ，由此結(jié)合 A 1F平面 D1AE ，可得直線 A1F? 平面 A 1MN ，即點 F 是線段 MN 上上的動點設(shè)直線 A1F 與平面 BCC1B1 所成角為 運動點 F 并加以觀察，可得當(dāng) F 與 M（或 N ）重合時， A1F與平面 BCC 1B1所成角等于 A1MB 1，此時所成角 達到最小值，滿足tan=2；當(dāng) F 與 MN 中點重合時， A1F 與平面 BC

16、C 1B 1 所成角達到最大值，滿足 tan=2A 1F與平面 BCC1B 1所成角的正切取值范圍為 2，2 故選： D10已知函數(shù) f（x） =恒成立（ e 是自然對數(shù)的底數(shù)） A 1，0 B（1，0） 【考點】 分段函數(shù)的應(yīng)用a R），若 f（ g（x），g（x）=4x+a?2x+1+a2+a1則 a 的取值范圍是（ ）C2，0 D ，0分析】 求得 f（x）的值域，討論當(dāng) x0時，當(dāng) x0 時，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性可得范圍，令t=g（x），則 f （t） e，即有 t0，則e，解得 t 1，即 4x+a?2x+1+a2+a1 1，由指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的最值的求法，解不等式即可得到所

17、求范圍【解答】 解：當(dāng) x0 時， f（x）=0，f（x）的導(dǎo)數(shù)為 f（ x）=0 時，f（x）=的導(dǎo)數(shù)為 ，當(dāng) xe時，f（x）遞減；當(dāng) 0x e，即有 t0，則 e，即 et+1+t 0，由 y=et+1+t 在 t0 遞增， 且 t=1 時， y=0，可得 t 1可得 g（ x） 1 恒成立，即有 4x+a?2x+1+a2+a1 1，即有 4x+a?2x+1+a2+a0 時， y= （ 2xa）2+2a2+a0，可得 2x=a 時，取得最大值 2a2+a，可得 2a2+a 0 不成立；當(dāng) a0 時， y=（ 2x a）2+2a2+a0， a0，y0，0，【考點】 在實際問題中建立三角函數(shù)

18、模型【分析】 利用已知數(shù)據(jù)，確定合適的周期、振幅等，即可得出函數(shù)解析式，從而能求出該港口在 水深【解答】 解：由題意得函數(shù) y=Asin （ t） +h（其中 A0，0，h0）的周期為 T=12，解得 A=2 ，h=5，= ， y=2sin該港口在 11： 00 的水深為 y=2sin+5=4（ m）11h0）00 的故答案為： 414若直線 ax+ya+1=0（aR）與圓 x2+y2=4 交于 A、B 兩點（其中 O 為坐標(biāo)原點） ，則 的最小值 為4考點】 直線與圓相交的性質(zhì)【分析】 易得直線恒過定點 C（1，1），圓 x2+y2=4 圓心為 （0，0）半徑為 2，=4，可得當(dāng) ABOC

19、時，式子取最小值，數(shù)形結(jié)合聯(lián)立方程組解點的坐標(biāo)可得【解答】 解：直線 ax+y a+1=0 可化為 y+1=a（ x1），恒過定點 C（1，1），圓 x2+y2=4 圓心為（ 0，0）半徑為 2， = ? = ?（ ）= ?=4 2 2cos ， ，當(dāng) AB OC 時， ， 最小， cos ， 取最大值，此時=44cos ， 取最小值，此時 OC 的斜率為 1，由垂直關(guān)系可得 a=1，解得 a= 1， 2 2 cos ，故此時直線方程為 y+1=x 1，即 y=x 2，聯(lián)立 ， 取最小值 此時=44cos故答案為： 4可解得，cos ， 取最大值， 取最小值 4 ，0，15函數(shù) f（x）圖象上

20、不同兩點 A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是 kA，kB， | AB | 為 A、B 兩點間距離，定義 （A，B）=為曲線 f（x）在點 A 與點 B 之間的 “曲率 ”，給出以下問題： 存在這樣的函數(shù)，該函數(shù)圖象上任意兩點之間的 “曲率 ”為常數(shù)； 函數(shù) f（x）=x3x2+1圖象上兩點 A 與 B 的橫坐標(biāo)分別為 1，2，則點 A 與點 B之間的“曲率”（A，B） ； 函數(shù) f（x）=ax2+b（a0，bR）圖象上任意兩點 A、B 之間的 “曲率”（A，B）2a； 設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線 f（x）=ex上不同兩點，且 x1x2=1，若 t?（ A，

21、 B） 1恒成立， 則實數(shù) t 的取值范圍是（ ，1）其中正確命題的序號為 （填上所有正確命題的序號） 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】 考慮一次函數(shù)， 求出導(dǎo)數(shù)，可得 （A，B）=0，即可判斷 ；求出 A，B 的坐標(biāo)，求得 （A，B）， 即可判斷 ；求出 f（x）的導(dǎo)數(shù)，運用不等式的性質(zhì)，可得（A，B）2a，即可判斷 ；求出函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)，運用新定義求得 （A，B），由恒成立思想，即可得到 t 的范圍，即可判斷 【解答】 解：對于 ，當(dāng)函數(shù) f（x）=kx+b（k0）時， f（x）=k，=0，故 正確；=3x2 2x，（A，B）=可得 （A，B）= ，故

22、不正確；對于 ，由題意可得 A（1，1），B（2，5），f（x）的導(dǎo)數(shù)為 f（x）=對于 ，函數(shù) f（x） =ax2+b 的導(dǎo)數(shù)為 f（x）=2ax ，即有 （ A ， B ）= 2a，故 正確；對于 ，由 y=ex 得 y（x） =ex，由 A （x 1， y 1），B （ x2， y2）為曲線 y=ex 上兩點，且 x1x2=1，可得 （ A ， B ）由 t?（A，B） 1，可得故答案為： 三、簡答題：本大題共 6小題，共 75 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16設(shè)等比數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，已知 a3= ，S3= （）求數(shù)列 an 的通項公式；（）設(shè) bn=lo

23、g 2，Tn為數(shù)列bn的前 n項和，求使 Tn= +105成立的 n的值【考點】 數(shù)列的求和n，最【解答】 解：當(dāng) q1 時， ）當(dāng) q=1 時，解得 a1=6，則綜上可知： 或【分析】（）討論 q=1 和 q1 的情況，分別應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程即可得到公比 和首項，進而得到通項公式 （2）分類討論 q 的取值，利用對數(shù)的性質(zhì)求 bn，出再進行化簡，求得 后求得 n 的值（）當(dāng)時， bn=2 則 Tn=2n；2n= +105則 n=70當(dāng) = =2n ，整理得： n2+n210=0 ； 解得 n=10綜上可知 n=10 或 n=7017我國政府對 PM2.5 采用如下標(biāo)準(zhǔn)：

24、PM 2.5 日均值 m（ g/m 3 ）空氣質(zhì)量等級m 75超標(biāo) 某市環(huán)保局從 180 天的市區(qū) PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽取 10 天的數(shù)據(jù)作為樣本，檢測值如莖葉圖所示 位為莖，個位為葉） （ 1）求這 10 天數(shù)據(jù)的中位數(shù)；2）從這 10 天的數(shù)據(jù)中任取 3 天的數(shù)據(jù)，記 表示空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)，求 的分布列；3）以這 10天的 PM2.5日均值來估計這 180 天的空氣質(zhì)量情況， 其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達到一級？考點】 莖葉圖；離散型隨機變量及其分布列 分析】（ 1）利用莖葉圖和中位數(shù)的定義求解（ 2）由 N=10 ， M=4 ，n=3，求出分布列的可能值為 0，1，2，3，

25、利用 P（=K ）k=0，1，2，3）一年中每天空氣質(zhì)量達到一級的概率為，由 B，能求出一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)為3），能72天【解答】 解：（ 1）由莖葉圖知：10 天的中位數(shù)為 （38+44）2=41 （微克 /立方米）18 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為a，b， c，已知a= ccosB +bsinC 2）由 N=10 ， M=4 ，n=3，的可能值為 0，1，2，3利用 P（=K ）=（k=0 ， 1， 2，3）即得分布列0123P（ 3 ）一年中每天空氣質(zhì)量達到一級的概率為，由 B ，得到 E=180 =72 （天）， 一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)為 72 天1）求

26、C 的值；2）若 D 是 AB 上的點，已知 cos BCD= ，a=2，b=3，求 sinBDC 的值 考點】 正弦定理；余弦定理分析】（1）利用正弦定理將邊化角，令sinA=sin （ B +C ），展開化簡即可得出 tanC；（2）使用余弦定理求出 c，得出 cosB，sinB，則 sinBDC=sin （ BCD +B） 【解答】 解：（ 1） a= ccosB+bsinC， sinA= sinCcosB+sinBsinC ，即 sin（B+C）= sinCcosB +sinBsinC ， sinBcosC=sinBsinC ， tanC= （2）在 ABC 中由余弦定理得 c2=a2

27、+b22abcosC=4+9 12cosC=7， c= 由余弦定理得cosB= sinB= cos BCD= sinBCD= sinBDC=sin ( BCD + B) =sin BCDcosB +cosBCDsinB=19如圖，在空間多面體 ABCDE 中，四邊形 ABCD 為直角梯形， AB DC，ADCD，ADE 是正三角 形， CD=DE=2AB ，CE= CD （I）求證：平面 CDE 平面 ADE ； （）求二面角 CBEA 的余弦值【考點】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定【分析】（ I）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面CDE 平面 ADE ；（ ）建立空間坐標(biāo)系，利

28、用向量法求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可求二面角CBE A 的余弦值【解答】 證明：（I） CD=DE=2AB ，CE= CD設(shè) CD=DE=2AB=2 ，則 AB=1 ，則 CE=2 ， CD 2+DE 2=4 +4=8= （ 2 ） 2=CE2，CDE 是直角三角形，則 CD DE， AD CD，AD DE=D ， CD平面 ADE ；CD? 平面 CDE ，平面 CDE 平面 ADE ；（）建立以 D 為坐標(biāo)原點， DC，DE 分別為 x，y 軸，過 D 作垂直平面 CDE 的直線為 y 軸的空間直角坐 標(biāo)系如圖：則 D（0，0， 0），C（2，0，0），E（0，2，0），A （

29、0，1， ），B（1，1， ）， 則平面 CBE 的法向量為 =（ x， y， z），=（ 1，1， ）， =（2，2，0），即則 ，得則平面 CBE 的法向量為 =（ 1， 1，0）， 設(shè)平面 BEA 的法向量為 =（x，y， z），=（1，0， 0），得，令 z=1，則 y= ，x=0 ，即 =（0， ， 1），=即二面角 C BEA 的余弦值是 =則 cos =P（ 1， ），其離心率為 C 的方程；C的右頂點為 A，直線 l交 C于兩點 M、N（異于點 A），若 D在 MN 上，且 ADMN ND | ，證明直線 l 過定點（）求橢圓（）設(shè)橢圓 |AD | 2=|MD|【考點】 橢圓的

30、簡單性質(zhì)【分析】（）運用橢圓的離心率公式和點P滿足橢圓方程，以及 a，b，c 的關(guān)系，解方程可得 a，b，得到橢圓方程； ）運用三角形的相似的判定和性質(zhì)定理，可得 MAN=90 ，聯(lián)立方程組，設(shè) My1）N（x2，y2），A （ 2， 0），可得（ 3+4k2）x2+8km+4m212=0，由兩直線垂直的條件：斜率之積為 得到， 7m2+16km+4k2=0，7m=2k， m=2k，代入求解即可得出定點=，進而x1，1，【解答】 解：（ ）由題意可得 e= 又 a2 b2=c2，+且解得 a=2， c=1， b= ，+ =1 ；（）證明：由 ADMN，|AD| 2=| MD | ND|， 可得 RtADM Rt DNA ，即有 DNA= MAD ，即 MAN=90 ，可得橢圓的方程為，M（x1， y1）N（x2，y2）， A（ 2，0），可得（ 3+4k2） x2+8km+4m2 12=0，即 4k2 m2 3，x1+x2=x1x2=， =（8km）24（3+4k2）（4m2 12） 0，由 AM