冶金過程數(shù)值模擬

1、內(nèi)蒙古科技大學(xué)冶金工程研究所冶金過程數(shù)值模擬工學(xué)碩士2006zhzw2007-3-4冶金過程數(shù)值模擬1 緒論1.1科學(xué)研究的第三種方法論1.1.1實驗研究1.1.2理論研究1.1.3科學(xué)計算1.2數(shù)值模擬的思路與方法1.2.1數(shù)學(xué)模型的建立1.2.2數(shù)值方法1.2.3結(jié)果分析1.3課程內(nèi)容1.4課程要求2 代數(shù)方程模型例1 風(fēng)力作用下自由落體小球偏移量計算例2轉(zhuǎn)爐內(nèi)液滴噴濺與傳熱計算例3煙囪排煙問題3 微分方程模型3.1微分方程模型的完備性3.2傳輸問題的通用輸運方程模型3.2.1輸運方程3.2.2定界條件4 層流與湍流流動的數(shù)學(xué)模型4.1層流流動數(shù)學(xué)模型4.2湍流流動數(shù)學(xué)模型4.2.1混合長

2、度模型4.2.2雙方程模型4.2.3雷諾應(yīng)力模型4.2.4直接數(shù)值模擬5 數(shù)值計算方法5.1區(qū)域離散化5.2微分方程的代數(shù)化5.3常微分方程的初值問題5.4穩(wěn)態(tài)擴散問題5.5非穩(wěn)態(tài)擴散問題5.6對流擴散問題5.7層流流動問題5.8湍流流動問題6 輻射傳熱模型6.1輻射傳熱也是傳輸問題6.2區(qū)域法6.3montecarlo法6.4熱流法6.5隨機熱流法6.6輻射傳熱的輸運方程模型6.7離散坐標法6.8其它方法7 湍流燃燒模型7.1簡單化學(xué)反應(yīng)機理與復(fù)雜化學(xué)反應(yīng)機理7.2快速化學(xué)反應(yīng)模型7.3設(shè)定的pdf模型7.4二階矩模型7.5pdf輸運方程模型7.6直接數(shù)值模擬8 電磁場的數(shù)學(xué)模型8.1電磁現(xiàn)

3、象8.2電磁場的基本規(guī)律8.3電磁場的數(shù)學(xué)模型8.4多層介質(zhì)中的電場問題8.5連鑄電磁攪拌問題9 復(fù)雜過程數(shù)學(xué)模型9.1復(fù)雜過程的定量認識9.2轉(zhuǎn)爐二次燃燒問題分析10 數(shù)值模擬理論的現(xiàn)代進展與展望1緒論這門課叫“冶金過程數(shù)值模擬”，是我們學(xué)校的特色課程。首先，我們學(xué)校起步早。是在上個世紀八十年代，我們學(xué)校的賀友多教授帶領(lǐng)課題組就開始做這一方面的工作，與清華大學(xué)一起起步。經(jīng)過近二十多年的發(fā)展，我們形成了我們自己的特色，而且走在了冶金院校的前列，培養(yǎng)的研究生也受到行內(nèi)人士好評。其次，人員結(jié)構(gòu)合理。從最早賀老師組織的課題組開始，包括有各種專業(yè)的人材，有冶金、物理、數(shù)學(xué)、熱能等，這樣就會產(chǎn)生思想的沖

4、擊，便于對問題進行深入的討論與認識。對科學(xué)問題或是自然問題本質(zhì)的認識中，知識只是第二位的，方法論是第一位的。對科學(xué)或工程問題提出自己的想法，有時做不到，有時做得到，如果做到了那就是科學(xué)上的進步，或是技術(shù)上的改進。1.1科學(xué)研究的第三種方法論科學(xué)研究的方法論最基礎(chǔ)的有兩種：實驗研究與理論研究，今天有產(chǎn)生了第三種方法論，就是我們這里要講的數(shù)值模擬，或者稱之為科學(xué)計算。1.1.1 實驗研究通過儀器或設(shè)備，依靠人的感觀進行觀察與測量，以發(fā)現(xiàn)過程中存在的現(xiàn)象，經(jīng)歸納總結(jié)得到過程進行中存在的規(guī)律，這就是實驗研究。（實驗的概念、測量方法與優(yōu)缺點權(quán)威說法）實驗是一種科學(xué)研究的重要的方法，對人類認識自然與科學(xué)的

5、發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用，隨著現(xiàn)代實驗方法與測試手段的進步，實驗研究依然在發(fā)揮著重大作用，只是測試方法與工具在不斷發(fā)生著變化，研究的領(lǐng)域也在不斷發(fā)生著變化，如長度的測量，以前只能用各種度量尺來測量，使用不方便，使用環(huán)境也收到極大的限制，現(xiàn)在可以采用紅外等進行遠距離測量，也可在惡劣環(huán)境下進行測量，如高爐爐墻測厚。實驗研究的最大特點是直觀、可信（？），其最大缺點是測量的因果關(guān)系不明了，且得到測量的場一般是不可能的，經(jīng)常是進行關(guān)鍵點的測量，而關(guān)鍵點的確定也是一個制約性環(huán)節(jié)，需要根據(jù)經(jīng)驗與不斷地嘗試來得到。但實驗研究是否是我們研究問題的唯一的方法？答案當然是否定的。如勾股定理誕生以前，對于直角三角形的斜邊

6、長度，要靠測量來獲得，但有了勾股定理并且能進行開方計算的時候，這個斜邊長度就完全沒有必要測量了，采用勾股定理計算比測量更準確；又如追擊問題，實驗室實驗、真實實驗測量、方程計算，現(xiàn)在說來，當然采用方程計算更好、更準確。這兩個例子說明如果過程清晰，認識到位，做法嚴謹，算法準確，那么計算結(jié)果就是可靠的，沒有必要進行實驗，況且實驗有時候也是會存在問題的，比如測量儀器的精度、模型的相似性問題等等，如“磁單極”問題，就是設(shè)備把人騙了。1.1.2 理論研究理論研究是建立在定理、定義、規(guī)律基礎(chǔ)上的，當然，這些定理、規(guī)律是通過此前的實驗研究總結(jié)歸納并不斷經(jīng)實驗驗證的。在進行理論研究時要在定理、規(guī)律基礎(chǔ)上增加許多

7、假設(shè)，這是必須的，且理論研究最主要的貢獻就在這兒，現(xiàn)在的理論研究一般把假設(shè)與哲學(xué)、與美學(xué)聯(lián)系起來。楊振寧先生80壽辰來臨前，90多歲高齡的數(shù)學(xué)大師陳省身先生專門作了一場題為數(shù)學(xué)與美的演講相賀，去年數(shù)學(xué)大師陳省身先生90華誕前夕，楊振寧先生做物理與美的報告相賀， 兩位大師這樣的獨特賀壽方式，在學(xué)屆傳為佳話。中國古代著名哲學(xué)家莊子說：“判天地之美，析萬物之理” 。什么是美呢？一切絕妙的美都顯示出奇異的均衡關(guān)系（培根）；“美是各部分之間以及各部分與整體之間固有的和諧。”（海森堡）。美的表現(xiàn)就是簡單、對稱、完備、統(tǒng)一、和諧和奇異，這是科學(xué)和藝術(shù)共同追求的東西。如能量守恒是最基本的規(guī)律之一，而在以前有人

8、就要破壞這種守恒，多次有人提出“永動機”的概念，但最后沒有人能夠推翻“守恒性”，為什么會這樣？后來人們發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的基本性與哲學(xué)、與美學(xué)相對應(yīng)，守恒性與哲學(xué)、美學(xué)中的對稱性是相對應(yīng)的，從對稱性出發(fā)，采用數(shù)學(xué)、物理的方法，就可以產(chǎn)生守恒規(guī)律，如時間平移的不變性就對應(yīng)著能量守恒，所謂的時間平移的不變性就是在不同的時間重復(fù)同一個實驗會得到同樣的結(jié)論；又如空間平移的不變性就對應(yīng)著動量守恒，所謂空間平移的不變性就是在不同的地點（不考慮地球半徑的差異，不考慮地磁作用）重復(fù)同一個實驗會得到同樣的結(jié)論；又如空間旋轉(zhuǎn)的不變性對應(yīng)著 ；又如 。美的東西都是簡單的，如狄拉克，在1928年寫了一篇文章，提出了一個很簡

9、單的一個方程式，p+mc= e，這是一個非常簡單的一個方程式，可是這個方程式有不得了的貢獻，它奠定了今天原子、分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，它解釋了為什么電子有自旋，自旋的意思就是每一個電子都是在那兒象陀螺一樣在那兒轉(zhuǎn)，電子有自旋這個事情不是狄拉克發(fā)現(xiàn)的，在那以前幾年，已經(jīng)有人提出來，電子一定有一個自旋，可是不知道為什么要有自旋，剛才我所念出來的這個簡單的方程式，你去了解了它的真正的意義以后，你自然而然就知道，電子一定要有一個自旋。而且這個電子的自旋跟自旋在一起的是一個磁矩，就是象一個小磁鐵，這個磁鐵，電子這個有自旋有磁鐵這件事情也不是狄拉克發(fā)現(xiàn)的，是當時已經(jīng)知道了，可是沒有人知道為什么要有磁矩，而用剛才所

10、念出來這個方程式就很自然的知道有磁矩，而且這個磁矩可以定量的用這個方程式算出來。而且這個磁矩跟電子軌道行動的關(guān)系，也是一個本來猜想到了，可是不懂為什么緣故是那樣，也是被他的這個方程式所解釋了。你想這樣簡單的一個方程式，把當時困擾大家的三個重要的問題都解決了，所以這個當然是震驚了當時物理學(xué)界。這是一個神來之筆，可是這個神來之筆并不這么簡單，就被所有的人都認為是絕對對的，因為它出了一個新的問題，這個新的問題叫做負能問題，negtive energy，大家知道通?！澳堋倍际钦?，他這個方程式，你去算了一下以后，會得出來一個非常稀奇的現(xiàn)象，說電子可有負能，這個負能當時是不可思議的一件事情，所以很多人懂

11、了他的這個工作的第一步以后，覺得這個東西是妙不可言，可是又覺得這個里頭有非常奇怪的、不能夠了解的、絕對不會對的事情，那么所以以后幾年，就有種種人批評狄拉克，說他這個工作，看起來對是碰巧，其實是不對的，受到玻爾、海森堡、泡利等當時的大物理學(xué)家的質(zhì)疑，但他始終堅持自己的理論，而最后得到全勝。可是狄拉克堅持，到了1931年，他更進一步，他說“不但這個負能是應(yīng)該有的，而且有了這個負能以后，就會發(fā)現(xiàn)一個新的，重要的一個現(xiàn)象”，當時還沒有看見，就是說任何一個電子，都會跟它俱來的有一個叫做反粒子，anti-particle，每一個粒子都有一個反粒子，這個反粒子跟這個粒子完全一樣，可是它的電荷是相反的，這個當

12、時又是大家所不能接受的。人家說你從來沒有看見過任何一個反粒子，你怎么隨便就講有個反粒子呢？可是過了一年以后，加州理工大學(xué)有一個年輕的，他其實是博士生，叫做卡爾安德森，他在第二年，用云霧室照出來了一個軌道，這個軌道是一個正電子，就是正是狄拉克所講的電子的反電子，因為它反粒子，因為它是帶著正電，這一來的話，大家知道狄拉克的這個方程式不但是對，而且完全是對的，他預(yù)言出來了一個從前大家不曉得的一個新的現(xiàn)象。（1981年安德森撰文回憶往事時特別提到了早在1930年中國科學(xué)家趙忠堯的實驗，說是該實驗引導(dǎo)他終于發(fā)現(xiàn)了正電子。）摘自鳳凰衛(wèi)視世紀大講堂美與物理（上）楊振寧自然界中存在四種力：萬有引力（重力）、電

13、磁力、弱力、強力，有三位科學(xué)家認為不同的力是同樣的作用，只是其中的介子不同，如萬有引力交換的引力子，弱力交換的是w介子，非常重，交換不同，力就小，且只能作用在原子核內(nèi)，提出弱中性流，獲得了諾貝爾獎，這一理論研究完全是從美學(xué)中推廣出來的，80年代進行了激烈的探討，最后該理論為實驗所證實。1.1.3 科學(xué)計算科學(xué)計算是科學(xué)研究的第三種方法論，進行數(shù)值計算有幾個限制性環(huán)節(jié)。（1） 工具：計算機計算機體現(xiàn)的是合作，人類從不文明到文明的進化過程中，上帝賜予人類的工具很多，但最重要的是計算機，上帝賜予人類“牛頓”，提出了萬有引力、運動規(guī)律及其因果關(guān)系等，解決了力學(xué)問題，上帝賜予人類“麥克斯韋”，解決了電磁

14、學(xué)問題；上帝賜予人類“愛因斯坦”，提出了相對論，解決了復(fù)雜性問題；而上世紀人類又遇到了更為復(fù)雜的問題，上帝感覺賜予人類任何人都解決不了了，給個工具吧，你們團結(jié)協(xié)作，就會解決這個復(fù)雜的問題，于是計算機產(chǎn)生了。（2） 計算數(shù)學(xué)和計算方法的突破理論數(shù)學(xué)研究的是解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，現(xiàn)在大多數(shù)數(shù)學(xué)家都轉(zhuǎn)向了計算數(shù)學(xué)，計算方法也越來越好，越來越準確。上世紀80年代初，人們采用中心差分來計算導(dǎo)熱問題，結(jié)果很好，但用到流動中時，就不行了，當時對方法研究的很少，不知道為什么不行，現(xiàn)在都清晰了，方法本身的特性在起作用?？茖W(xué)計算是一種行之有效的科學(xué)研究方法，在某些領(lǐng)域是唯一的方法，如天氣預(yù)報，凡是預(yù)言性質(zhì)的

15、研究實驗方法是不行的，理論研究會得到一些方程，由于方程的復(fù)雜性，沒有解析解可以用，這是一個混沌系統(tǒng)，具有短時效應(yīng)，時間長了不適用，采用科學(xué)計算的方法是非常合適的。又如，天體物理中的三體問題，涉及到恒星的起源、演化、死亡及以后，理論研究可以計算二體問題，三體問題沒有辦法進行，如月球的運行軌道計算，就可以采用科學(xué)計算方法來進行。這方面科學(xué)計算的貢獻是巨大的，如海王星就是算出來的，沒有觀察和認識海王星以前，人們對天王星的運行軌道計算算的不準，當時懷疑有兩個可能：一是計算有問題，二是還存在另外一顆星，影響了天王星的軌道，后來就計算出在海王星的位置如果有顆星的話，天王星的軌道計算就準確了，定點觀察，終于

16、發(fā)現(xiàn)了海王星。又如原子彈的設(shè)計，理論上很容易把48.8kg的鈾放在一起就可以爆炸，但美國在二戰(zhàn)時僅存儲了大約50kg的鈾，卻爆炸了兩顆原子彈，實際上原子彈也是算出來的，馮.諾依曼說過原子彈的設(shè)計中的計算比人類有史以來所有的代數(shù)計算的總和還要多。上圖為2003年行星科學(xué)5月期雜志上發(fā)表的海王星照片。由美國國家航空和航天局哈勃望遠鏡拍攝到的照片顯示，海王星南半球的亮度逐年增加，說明在海王星上發(fā)生了季節(jié)變化。1846年9月23日，德國天文學(xué)家伽勒發(fā)現(xiàn)了海王星,海王星是太陽系八大行星之一，按離太陽由近及遠的次序排列為第八顆。他的亮度只有7.85等，必須使用望遠鏡才能看到。海王星為太陽系八大行星中的第八

17、個，亦是最後一個，是一個巨行星。海王星是第一個通過天體力學(xué)計算后被發(fā)現(xiàn)的行星。因為天王星的軌道與計算的不同，1845年英國人約翰可夫亞當斯和法國人埃班勒維葉推算了在天王星外的一個未知行星可能的位置。1845年9月23日柏林天文臺臺長約翰格弗里恩伽勒真的在這個位置發(fā)現(xiàn)了一顆新的行星：海王星。目前海王星是太陽系內(nèi)離太陽最遠的行星。海王星的名字是羅馬神話中的海神涅普頓（neptune）數(shù)值模擬，是指將工業(yè)過程的現(xiàn)象用計算機模擬出來，再現(xiàn)出來。它是一種定量的研究方法，而不是定性的。它能比較準確的把握和認識事物的本質(zhì)。比如，從窗戶外吹來的風(fēng)，對室內(nèi)溫度的影響，能準確的知道室內(nèi)溫度的分布，比如在拐角處的溫

18、度，不用溫度計測量，就能知道。在進行數(shù)值模擬之前，必須建立數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型，還必須能夠進行計算。在美國，理論數(shù)學(xué)向應(yīng)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變，推動數(shù)值計算的發(fā)展。在以前，靠人工，有許多方程不能解，而能解的也只有那么幾個，比如伯努力方程、笛卡爾方程等，這時，計算機的出現(xiàn)，使得方程的求解變成了可能。這好比是過長江，以前只能靠人游泳，而游過去的也只有幾個人，而船的出現(xiàn)，使的普通人也能過長江。計算機是一種數(shù)學(xué)計算的工具。數(shù)學(xué)的長項在于邏輯的推導(dǎo)，只有經(jīng)過嚴密邏輯推理的東西，才能經(jīng)受得驗證。如海王星的發(fā)現(xiàn)，就是經(jīng)過數(shù)學(xué)計算發(fā)現(xiàn)的，沒有觀察和認識海王星以前，人們對天王星的運行軌道計算算的不準，當時懷疑有兩個可能：

19、一是計算有問題，二是還存在另外一顆星，影響了天王星的軌道，后來就計算出在海王星的位置如果有顆星的話，天王星的軌道計算就準確了，天文學(xué)家經(jīng)過觀察，終于發(fā)現(xiàn)了海王星。中央電視臺有一個人物訪談節(jié)目，叫數(shù)學(xué)的美與數(shù)學(xué)家的自信，講的挺好的，嚴密邏輯推理就是數(shù)學(xué)家的自信。歸結(jié)如下 數(shù)學(xué)模型 幾個重點 數(shù)值模擬 計算今天，科學(xué)計算更加重要，人們應(yīng)用的已經(jīng)得心應(yīng)手，使用范圍也越來越大。能力思想+方法+知識知識結(jié)構(gòu)一般包括數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機、外語等方面。電磁攪拌為什么重要？有些人會說很多理由，但都沒有涉及到本質(zhì)問題，我們說連鑄結(jié)晶器需要攪拌，機械攪拌不行，只有采用無接觸力，而無接觸力有四種：引力（重力）方向是

20、確定的，不可用；弱力與強力力程太短，只能作用于原子核內(nèi)部，不可用；只剩下電磁力，而鋼、鋁、銅等對電磁有響應(yīng)，可以用，這就是采用電磁來攪拌的原因。1.2數(shù)值模擬的思路與方法1.2.1 數(shù)學(xué)模型的建立有三種方法：1） 基本規(guī)律的具體化將自然界中最基本的規(guī)律縮小或具體化到你的問題中去，如鋼錠導(dǎo)熱，最基本的規(guī)律就是能量守恒，具體化后就得到了能量方程，加上傅立葉定律及相應(yīng)的初邊值條件，就形成了這里的數(shù)學(xué)模型。2） 建立自己的數(shù)學(xué)模型二次燃燒，3） 物理模型的計算機直接模擬中間包夾雜物的生長過程，分形1.2.2 數(shù)值計算：方法、編程、調(diào)試前面講的數(shù)學(xué)模型，重點要求如下：1） 自然現(xiàn)象和工程現(xiàn)象如何描述成數(shù)

21、學(xué)問題2 ) 數(shù)學(xué)問題如何求解數(shù)學(xué)方程模型有 代數(shù)方程模型 常微分方程模型 偏微分方程模型 常微分方程組模型。數(shù)學(xué)是一種非常重要的工具，它也是一種科學(xué)的研究方法。什么叫做微分？，由于自變量的變化引起應(yīng)變量的變化，叫做微分，含有自變量的方程，就叫做常微分方程，它們構(gòu)成了因果關(guān)系。代數(shù)方程僅僅是一種等量關(guān)系，而沒有因果關(guān)系。在于常微分方程，只有一個因素影響，而沒有其它的因素影響。有多個因素影響，就構(gòu)成了偏微分方程，它的自變量可以相互交換。1.2.3 計算結(jié)果分析，非常重要作業(yè)：做一個獨立的大作業(yè)，選一個問題認真做下去1.3 課程內(nèi)容教材：目前沒有教材，學(xué)習(xí)起來也不方便，要求閱讀大量的資料，文獻。

22、1）選擇研究對象；正確選定研究的對象，將來研究結(jié)果能否有用，如果將來的研究結(jié)果沒有實際的用處，那么研究對象變可能選錯了。 2）選擇研究方法； 數(shù)值模擬是一種非常經(jīng)濟的方法，它可以大量的節(jié)省實驗經(jīng)費。比如研究追擊問題，有多種研究方法。做實驗也可以得到結(jié)果，但最簡單的方法就是數(shù)學(xué)計算，知道了出發(fā)的速度、時間，就知道出發(fā)后什么時間能追上。數(shù)值模擬往往是最聰明的方法，也是最經(jīng)濟的方法，想起來也非常簡單。做研究，是探索和認識一些自然界不清楚的問題，尋求現(xiàn)象與對應(yīng)的規(guī)律。看到一個現(xiàn)象，看它有沒有規(guī)律，目前自然界中有的現(xiàn)象，人類還沒有掌握其規(guī)律。這門課重點學(xué)習(xí)以下幾類現(xiàn)象：a) 傳輸現(xiàn)象 是一種流體流動的現(xiàn)

23、象。講navierstokes方程，如果僅講從牛頓定律推導(dǎo)出navierstokes方程，那就是在學(xué)習(xí)傳輸。navierstokes方程，引進了變形和應(yīng)力之間的關(guān)系，就是牛頓液體，不能用于非牛頓液體。講navierstokes方程，將會挑其中的一部分重點講述如何建立數(shù)學(xué)模型的，這一部分屬于動力學(xué)范疇，它完全是由推動力引起運動的變化。b) 電磁現(xiàn)象 講述電磁現(xiàn)象與其對應(yīng)的規(guī)律。自然界中有四種力，它們是強力、弱力、電磁力和引力。這四種力構(gòu)成場，稱為無接觸力。比如，流體在電磁場中的流動，是電磁力和引力共同作用的結(jié)果。工程上就是這兩種力，電磁力和引力。微觀世界中，在原子核內(nèi)，存在強力、弱力。在自然界中

24、，由于物體運動快，接近光速，而不能再應(yīng)用牛頓力學(xué)，引出了光子力學(xué)；同樣在微觀原子核內(nèi)引入了量子力學(xué)。相對而言，電磁場是最完美的，它的基礎(chǔ)是麥克斯威理論，只要真正掌握了克斯威理論，就掌握了電磁場。人們認為在冶金材料中，電磁力應(yīng)用很大。電磁力的大小和方面可以控制，大小可以改變它的強弱，方向可以通過改變電荷或螺旋管的位置，它是唯一可以改變大小和方向的無接觸力。要求看一下普通物理學(xué)中的電磁場或工程學(xué)中的電磁場理論。c) 隨機現(xiàn)象 它是自然界中很大的一類現(xiàn)象，前兩類屬于決對論的，有什么原因，引起了什么樣的結(jié)果發(fā)生。而隨機現(xiàn)象，卻不是這樣的，比如，向上拋的硬幣，落地是正面還是反面，它沒有確切的結(jié)果，還有高

25、斯分布等。對于這一類現(xiàn)象，一定要清楚這種分布的現(xiàn)象和分布的規(guī)律。比如，室內(nèi)溫度20度，我們就要知道室內(nèi)氣體分子運動速度的規(guī)律。隨機現(xiàn)象和決對論現(xiàn)象是自然界中最重要的現(xiàn)象，誰也代替不了誰，也不存在誰重要誰不重要的問題。比如在中間包內(nèi)的夾雜，它的生長是隨機的，但是它隨鋼液的流動的速度卻是必然的，它是隨機現(xiàn)象和決定論共同作用的結(jié)果。d) 燃燒現(xiàn)象以上三種現(xiàn)象包括自然界中大部分現(xiàn)象，在講授中，會講一些典型的例子，如二次燃燒，傳熱模型。留一些作業(yè)，要求同學(xué)們建數(shù)學(xué)模型，找出自然界和工程中的現(xiàn)象、找出它們規(guī)律，最后計算出來。1.4課程要求 真正學(xué)會一種科學(xué)研究方法。當遇到實際問題的時候，首先要想到數(shù)值模擬

26、，能算最好，不能算再考慮用別的方法。主動要用這種方法對付自然界中的現(xiàn)象。學(xué)完這門課，至少有這樣一種方法論。 補一些數(shù)學(xué)物理和計算機方面的知識。我們培養(yǎng)的研究生知識結(jié)構(gòu)有兩大塊，叫做3+1的知識結(jié)構(gòu)。3塊基礎(chǔ)知識加1塊專業(yè)知識，將來能夠用數(shù)學(xué)物理方程來描述一個問題，并能用計算機算出。還有一塊基礎(chǔ)知識是外語。外語很重要，它是一門工具，有人做過統(tǒng)計，全世界有用的信息用英語發(fā)表的占到了76%，掌握好外語，可以了解同行中頂尖人物在做什么，他們有什么最新的想法。同時，做一流的研究水平也必須要求閱讀大量的典型資料，典型人的論文（本領(lǐng)域內(nèi)的專業(yè)）。同時，掌握了外語，就可以了解到同行做什么，怎么做，同時還可以了

27、解到自己的專業(yè)的前沿方向。 結(jié)課：大作業(yè) 要求獨立完成，并獲得同學(xué)們認可；考試2.代數(shù)方程模型列方程解應(yīng)用問題，是一種非常常用的方法，是將一個實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解。在代數(shù)方程中，最常用的關(guān)系是等量關(guān)系，等號左邊和右邊是絕對相等。它是一種最簡單和最基本的數(shù)學(xué)模型，它包含了數(shù)學(xué)模型最基本的特征。例如：勾股定理。 知道兩邊a，b，求第三邊x，是一個最簡單不過的數(shù)學(xué)問題， a，b，x三邊有關(guān)系嗎？當然有，它就是他們之前的關(guān)系，這就是方程，就是數(shù)學(xué)模型。實際問題為已知a，b三邊的長，不知x邊長，但可以計算出x邊長來，而且我們計算機出來的結(jié)果一定要比經(jīng)過實驗測量的還要準確，并且不需要進行驗證，反映

28、了數(shù)學(xué)模型的準確性?；疽?guī)律清楚、基本的現(xiàn)象也是清楚的、基礎(chǔ)的是自然的，那么，對作出的結(jié)果不用做實驗進行驗證。代數(shù)方程模型是最原始，最基本的東西，后面講的最復(fù)雜現(xiàn)象的過程是一樣的。代數(shù)方程表現(xiàn)形式簡單，計算方式簡單，而其它的計算復(fù)雜的，只能用計算機進行求解。例好追擊問題、射擊問題（炮彈以什么樣的角度，什么樣的初速度發(fā)射才能打中飛機，自然規(guī)律很清楚，知道炮彈的出口速度，角度；飛機運動，就可以計算出如何才能打中飛機）、邏輯問題。例1：從高度為h的地方，落下一質(zhì)量為m的小球，受到正西風(fēng)的作用，力為f，小球與空氣的磨擦很小，可以忽略，問小球落地的偏離量。在以前不知自由落體運動和其它規(guī)律以前只能靠做實驗

29、來求，現(xiàn)在可以通過計算來求，它的基礎(chǔ)是自然的。在y方向上它是自由落體運動， 在x方向正西風(fēng)作用力下為勻加速直線運動 對以上問題進行計算就可得出結(jié)果?，F(xiàn)在再加一些條件進行計算：阻力與速度的一次方成正比，阻力系數(shù)為，再將問題實際化，西風(fēng)的力f為氣體和時間的函數(shù)。這樣就與實際問題接近，還是一個受到力的邏輯問題，基本規(guī)律還是基礎(chǔ)的，沒有變化，還要進行討論。如果數(shù)學(xué)問題不會算，可以找數(shù)學(xué)的人算，也可找學(xué)過數(shù)理方程的人計算。 這樣，方程就變得復(fù)雜了，兩個方程組就不能用紙和筆進行求解，只能用計算機進行求解。例2：氧槍噴濺出液體，液體在單位時間內(nèi)帶出的熱量？這是一個比較復(fù)雜的問題，它有泡沫區(qū)、高溫區(qū)、二次燃燒

30、區(qū)、煙氣的燃燒、還有二次氧孔的位置，二次氧孔放出的煙氣如何燃燒，如何充分利用。我們在考慮的時候，對在高溫區(qū)，認為主要有輻射傳熱，但是進行嚴格的計算后發(fā)現(xiàn)，廢鋼溶不了。但是，實際上廢鋼溶化了，我們懷疑是計算錯了，再一次進行了計算，并且采用很高的燃燒溫度，但是，發(fā)現(xiàn)還是不能溶化廢鋼。不行，那就是在考慮問題對問題進行人為假設(shè)的不當，再次考慮氣態(tài)的對流傳熱進行計算，還是不行。這樣，我們認識到我們沒有考慮清楚傳熱的基礎(chǔ)。考慮到以下的情況：液體產(chǎn)生是隨機的、大小是隨機的、產(chǎn)生的位置也是隨機的，產(chǎn)生的速度也是隨機的。設(shè)置幾個隨機函數(shù)，使隨機問題變成了決對問題。知道以上的幾點，使得問題就變成了氣體帶動下的拋體

31、運動。對樣本抽樣進行計算，最后計算結(jié)果是正確的。抓住主要問題進行計算。這個別問題就是用隨機論的基礎(chǔ)、決定論（氣流下的拋體運動）、傳熱和大量的統(tǒng)計問題。例3：煙囪的問題。經(jīng)典解釋 抽氣太大了，不合適，太小了，不有起到應(yīng)用的作用，也不合適。抽力如何來？底下有一燃燒口，燃燒不均勻，一般。這個壓力差為。這個問題有兩大塊，一塊是數(shù)學(xué)模型，一塊是數(shù)值計算。煙氣是由于密度差引起的壓力差，實際上是一個流體流動現(xiàn)象，是一個基本規(guī)律。自然界的本原是絕對正確的，一些人為的假定的所得到的結(jié)果要進行驗證。能量守恒定律是自然界美學(xué)中時間平移的不變形，質(zhì)量守恒定律是自然界美學(xué)中空間平移的不變形。牛頓動力定律，這時的要講內(nèi)部

32、的變形力，這個變形力帶來了基礎(chǔ)規(guī)律和基本假設(shè)?；炯僭O(shè)是：液體是不是牛頓液體，是不是變形的問題，是不是能夠應(yīng)用本構(gòu)方程。它是變形和變形力之間的關(guān)系，由，再進行簡化理想液體（），退化為非穩(wěn)態(tài)下的歐拉方程（它是一個過程方程），沿流線進行積分，成為了伯努力方程（終態(tài)方程）。如果計算的結(jié)果過了問題，在那人地方找問題？這是人為做的假設(shè)，流體是不是牛頓流體，如果是牛頓液體，那么，假設(shè)為理想液體（）帶來的誤差有多大？是否？如果不是，帶來的誤差有多大？在基本規(guī)律中不斷地加人為的東西，人為的東西引入是否合理？上式中： 表示位能； 表示定壓能； 表示動能； 表示完全動能； 表示其它能量損失。 自己建立自己的本構(gòu)方

33、程，如塑料的燃燒，它是介于彈性力學(xué)和流體力學(xué)之間；但它的基礎(chǔ)是力學(xué)。自然界的本原是簡單的，是可以認識的，但自然界表現(xiàn)形式卻是復(fù)雜的，它體現(xiàn)著自然界的美。 在上在的例子中，是一個非定態(tài)的、非常量的、可變密度的流體運動。作業(yè)：每一個人找一個自然界或工程領(lǐng)域內(nèi)的問題，找出現(xiàn)象，找出它的規(guī)律，并列出代數(shù)方程，最后進行求解，解的意義是什么？ 3微分方程模型怎樣從自然觀出發(fā)，進行科學(xué)研究，最后找到一種方法論，這門課非常的重要。我們以前學(xué)過代數(shù)方程模型，通過對自然現(xiàn)象進行分析，列出方程，可以直接求解。微分方程是很重要，它的核心是微分和方程。方程實質(zhì)上是一個等式，是一個不知道的量隨已知量變化的一個等式，在變化

34、中同什么因素影響，怎樣影響。代數(shù)方程中如果不含有微分，那方程純粹是一個等量關(guān)系。在微分方程中，二次方程對應(yīng)二個因變量，三次方程就對應(yīng)三個因變量。微分方程是人類發(fā)現(xiàn)的相互影響、相互聯(lián)系，應(yīng)用最廣的數(shù)學(xué)。對人類影響最大的數(shù)學(xué)有幾何，它是描述事物的形貌、外貌的科學(xué)；還有代數(shù)，知道未知量，能夠列出等式求解。近代數(shù)學(xué)影響最大的是微分方程和隨機與統(tǒng)計。只要沒有超時、超距的作用，描述因果關(guān)系最好的就是微分方程。，微分是變化的無限小，是變化的極限。目前有許多的科學(xué)家在研究隨機過程中的現(xiàn)象，比如硬幣向上拋落地是正面還是反而，在初始力的作用下，有可能是正面，表現(xiàn)出隨機論，但是大量的現(xiàn)象表現(xiàn)出決定論，它的因果關(guān)系人

35、們研究的不是很清楚。量子力學(xué)也是隨機的過程。現(xiàn)在人們認為隨機論和決定論是自然界的基礎(chǔ)。這節(jié)課將要講微分方程在那些情況下可算，那些只能借助于工具進行計算。3.1微分方程數(shù)學(xué)模型的完備什么是微分方程數(shù)學(xué)模型的完備形式？它包括兩個方面，泛定方程和定解條件，只要這兩 泛定方程微分方程數(shù)學(xué)模型的完備形式 初值條件 定解條件 邊值條件個方面確實了，確定的泛定方程就是完備。在定解條件中，比如鑄錠的加熱，要想知道某一時刻的溫度，必須要知道前一時刻的溫度。在定解條件中，還有一類，叫邊值條件，比如，一個鐵棒在一端加熱，另一端熱量將會傳來，這就是邊值條件。泛定方程，針對自然界現(xiàn)象來錄找規(guī)律；定解條件，針對問題提出條

36、件，不同問題找不同問題的定解條件。 在目前，微分方程應(yīng)用最成熟的領(lǐng)域是傳輸問題和電磁作用的問題。傳輸問題，也可以說是力學(xué)的延伸，電磁作用現(xiàn)象，也可以說是動量傳輸。3.2傳輸問題的通用輸運方程模型3.2.1最基本的一類自然與工程現(xiàn)象傳輸現(xiàn)象傳輸現(xiàn)象是指有意義的物理量從一個時空點傳到另一個時空點的連續(xù)過程。是自然界與工程技術(shù)中普遍存在的一類現(xiàn)象，如大氣的流動、河流中水的流動、煙囪排出的煙氣流動；物料的加熱和熔化、金屬的凝固與冷卻等等。傳輸現(xiàn)象包括動量傳輸、熱量傳輸、質(zhì)量傳輸。3.2.2最基本規(guī)律對傳輸現(xiàn)象的應(yīng)用如何對傳輸現(xiàn)象進行定量的描述？人們經(jīng)過長期的實踐、探索后發(fā)現(xiàn)不管這些現(xiàn)象多么復(fù)雜，它總是

37、滿足質(zhì)量、動量與能量的守恒規(guī)律。把這些規(guī)律針對不同的傳輸現(xiàn)象進行具體展開，就會得出滿足這些傳輸現(xiàn)象的基本方程。研究該類現(xiàn)象首先構(gòu)成一個場研究的區(qū)域由連續(xù)分布的連續(xù)介質(zhì)構(gòu)成。2.2.1 質(zhì)量守恒定律對流場的具體化2.2.2 動量守恒定律對流場的具體化2.2.2.1 動量守恒方程首先考慮流場中存在什么類型的動量？下面以x方向為例進行具體說明：由于外力作用而產(chǎn)生的動量，即沖量；流體本身流動由于速度而產(chǎn)生的動量，即：式中（1）項表示x方向速度在單位時間、單位長度引起x方向的動量變化； （2）項表示y方向速度在單位時間、單位長度引起x方向的動量變化； （3）項表示z方向速度在單位時間、單位長度引起x方向

38、的動量變化。流體內(nèi)部壓力作用產(chǎn)生的動量；由于粘性力而產(chǎn)生的粘性動量通量；如上圖所示，速度較快的流層中的分子做不規(guī)則熱運動，會由一些分子進入速度較慢的流層中去，與較慢層中的分子相碰撞而使慢層分子加速，同樣較慢層中的分子也會有一些分子進入較快層中，與較快層中的分子相碰撞而使快層分子減速，這種層與層之間分子的動量交換過程使得在反速度剃度的方向上產(chǎn)生動量傳輸，即流體所具有的沿x方向的動量會沿y方向做層層傳遞。從宏觀上看，它的結(jié)果是較快層流體受到較慢層流體的向后拖力，而較慢層流體受到了較快層流體的向前帶動力，這兩個力是一對作用力與反作用力，它就是流體的粘性力。引入粘性動量通量：式中，為運動粘性系數(shù)，又稱

39、動量擴散系數(shù)，為單位體積的流體的動量剃度。上式表明，粘性動量通量與在y方向上的動量剃度成正比，負號指動量通量的方向與動量濃度剃度的方向相反，即從動量高處傳向動量低處。值得強調(diào)的是：粘性動量傳輸?shù)姆较蚺c流體動量的方向一般是不相同的。如上面的討論中流體動量方向為x方向而動量傳輸方向則為y方向，記為的物理意義是：前一個角標是指動量傳輸?shù)姆较?，后一個角標是指動量方向。粘性動量傳輸?shù)姆较蚺c動量濃度剃度的方向相反，所以上式中的負號是必須的。因此x方向的粘性動量為：式中項表示由x方向流動行為的變化而導(dǎo)致的沿x方向的粘性動量的凈輸出量； 項表示由y方向流動行為的變化而導(dǎo)致的沿x方向的粘性動量的凈輸出量； 項表

40、示由z方向流動行為的變化而導(dǎo)致的沿x方向的粘性動量的凈輸出量。顯然，粘性動量已無法用矢量進行清晰的描述；從而引入張量的概念，上述x方向的粘性動量用張量可表示為：。動量積累項。綜述上面的討論，可得x方向的動量守恒方程為：2.2.2.2 n-s方程為了使方程具體化，斯托克斯做了如下三條假設(shè)把牛頓粘性定律推廣到一般情況，給出了一般情況下的粘性力（或粘性動量通量）與流體變形之間的關(guān)系。流體是連續(xù)的，它的應(yīng)力張量與變形率張量成線形關(guān)系，與流體的平移與旋轉(zhuǎn)無關(guān)；流體是各項同性的，應(yīng)力與變形率的關(guān)系與坐標系的位置無關(guān)；流體靜止時變形率為零，流體中的應(yīng)力就是流體的靜壓力。把凡符合上述三條假設(shè)的流體叫牛頓流體。

41、在上述三條假設(shè)下，經(jīng)過推導(dǎo)可得出應(yīng)力張量與變形率張量之間的關(guān)系式：上式稱為廣義牛頓粘性定律。這里的為變形張量，為狄拉克符號。將代入前面討論得到的x方向的動量守恒方程，可得一般情況下流體流動過程中的動量守恒方程：對于不可壓縮流體，并且密度與粘性為常量時，上式可簡化為：從而得到了常密度、常物性下不可壓縮流體運動的動量守恒方程，也即navier-stokes方程，簡化為n-s方程。2.2.3 能量守恒定律對流場的具體化式中（1）項表示積累項；（2）項表示對流項；（3）項表示擴散項；（4）表示源項。其中， 。3.2.3微分方程 微分方程是指表示、 等物理量在時空中的聯(lián)系與影響變化的關(guān)系式。 數(shù)學(xué)模型即

42、定解問題是指泛定方程和定解條件，如2.2中討論的質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程、能量守恒方程就屬于泛定方程，定解條件是指邊界條件和初始條件。 初始條件：t=0 邊界條件： 給定場量再邊界上的分布； 給定場量在邊界區(qū)的變化情況； 給定場量與變化率的關(guān)系。3.2.4數(shù)學(xué)模型的特例2.4.1 理想流體2.4.1.1 歐拉方程所謂理想流體是指這樣一類流體，它的內(nèi)摩擦力為零，或者說理想流體不存在內(nèi)摩擦力。對于實際問題，內(nèi)摩擦力又始終與流體的粘性聯(lián)系在一起，所以人們把無粘性流體叫理想流體。即。因此對于理想流體，就可把我們前面討論的n-s方程簡化為：這就是理想流體運動方程，該方程1755年由歐拉首先提出，故稱為

43、歐拉方程。2.4.1.2 伯努利方程將歐拉方程在穩(wěn)態(tài)下沿流線積分，就可得到伯努利方程，即：2.4.2 導(dǎo)熱問題當流速時，先前討論的能量方程就轉(zhuǎn)化為導(dǎo)熱方程，即：對于溫度計可看作是零維問題，此時；對于穩(wěn)態(tài)問題，時間積累項為零，則有。2.4.3 邊界層理論流體在繞過固體壁面流動時緊靠固體壁面形成速度剃度較大的流體薄層稱為邊界層。邊界層理論的重要意義在于將流場劃分為主流區(qū)和邊界層區(qū)分別進行討論。在主流區(qū)：由于大部分流動區(qū)域流體的速度剃度很小，可略去速度的變化，這部分流體之間將無粘性力存在，視為理想流體，用歐拉方程或伯努利方程就可求解。在邊界層區(qū)：由于速度剃度較大，不能略去粘性力的作用，但可以利用邊界

44、層很薄的特點，把控制方程在邊界層內(nèi)簡化后再去求解。3傳輸現(xiàn)象的數(shù)值計算 傳輸現(xiàn)象復(fù)雜、方程復(fù)雜，以致數(shù)理方程有解的問題很少；n-s方程沒有解析解，因此人們借助于計算機來求數(shù)值解，但數(shù)值解絕不如解析解精確，是解析解的近似。3.1區(qū)域離散化區(qū)域離散化是用一些網(wǎng)格把要求解的區(qū)域劃分開。即用一組有限個離散的點來代替原來的連續(xù)空間。網(wǎng)格劃分技術(shù)是一門大學(xué)科，最早的網(wǎng)格是在飛機機翼上采用的；在數(shù)值計算過程中會遇到許多復(fù)雜形狀下網(wǎng)格的劃分；劃分網(wǎng)格可以采用數(shù)學(xué)法、也可采用其他方法；網(wǎng)格劃分會人為地引入誤差。只有在對區(qū)域進行離散化之后，才有方程的離散化。3.2偏微分方程、微分方程的代數(shù)化3.2.1微分方程與代

45、數(shù)方程是兩個性質(zhì)不同的方程微分方程是指一些變量在空間、時間傳遞的因果關(guān)系；而代數(shù)方程是指量與量的等式。在微分方程中最難求解的是非線性、高階、偏微分方程組，將微分方程劃分為代數(shù)方程是一大進步，使許多無法用解析法求解的方程可以用數(shù)值法對其進行求解。微分方程化為代數(shù)方程的步驟是：先將偏微分方程化為常微分方程，再將常微分方程化為代數(shù)方程；或微分方程直接化為近似等價的代數(shù)方程。3.2.2微分方程代數(shù)化的方法微分方程代數(shù)化的方法有三種：即差分法、有限元法、有限體積法。差分法：主要用于計算傳熱和流體流動；非常常用的方法是用差商去代替微商，例如：有限元法：主要應(yīng)用于應(yīng)力和應(yīng)變的計算，最適合于三角形狀的計算。有

46、限體積法：有限分析法是正在發(fā)展的一種方法，是差分法的改進。3.3具體的幾個問題3.3.1常微分方程的初值問題3.3.1.1問題的描述以0維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例：其定解問題為任一時刻解的形式為：但是一般情況下，是一個比較復(fù)雜的函數(shù)，無法直接積分給出解析解，需要進行數(shù)值計算。在所研究的時間區(qū)域內(nèi)，取步長為，將連續(xù)的時間區(qū)域劃為一系列離散的時刻、，其中，所以當已求出時刻的解后，時刻的解就可以寫成： i=0,1,2,如與都已知，只要反復(fù)應(yīng)用上式，即可算得任意時刻的值。常微分方程的數(shù)值解就是圍繞對上式如何進行數(shù)值積分展開的。3.3.1.2常微分方程的數(shù)值積分法歐拉法歐拉法是實現(xiàn)上述數(shù)值積分最簡單的一種計算

47、方法，其公式為： i=0,1,2,即用代替，這種方法顯然是用矩形面積來代替曲邊梯形的面積，從而導(dǎo)致有較大的誤差，但計算起來非常簡便。改進的歐拉法改進的歐拉法其計算公式為： i=0,1,2,即用代替，這種方法是用斜邊梯形面積來代替曲邊梯形面積，這種計算無疑要比前面討論的歐拉法準確的多。但是它把簡單的顯式計算變?yōu)閺?fù)雜的隱式計算，必須通過迭代的方法才能求解，所用時間較長。預(yù)報校正法其思想是先由歐拉法算出初值作為預(yù)報：再由改進的歐拉法校正所得的計算值：通常將上式合并為：其中：預(yù)報校正法有時也叫二階龍格-庫塔法。四階龍格-庫塔法其基本思想式用在四個不同點上的數(shù)值與區(qū)間長度的乘積的某種線性組合來代替積分。

48、具體地說，龍格-庫塔法的計算公式如下：其中：四階龍格-庫塔法是計算量不很大的情況下精度很高的一種算法，在現(xiàn)今的實際計算中經(jīng)常用到。并有其標準的計算程序。對于二階常微分方程：如 令后，將其化為常微分方程組，然后采用龍格-庫塔法求解。3.3.2簡單的偏微分方程以二維穩(wěn)態(tài)擴散問題為例：3.3.2.1方程的離散首先對區(qū)域進行離散化，如下圖：應(yīng)用上圖所示的區(qū)域離散法將上述二維穩(wěn)態(tài)擴散方程轉(zhuǎn)化為：對于、再做進一步轉(zhuǎn)化，以為例進行說明：將所得結(jié)果代入到偏微分方程，整理可得代數(shù)方程：式中：從而可以得到等價于上述偏微分方程的方程組，即：3.3.2.2邊界條件一般采用元體平衡法來推導(dǎo)邊界情況，如下圖：在穩(wěn)定態(tài)時，

49、控制體的能量平衡，有：式中各項計算如下：將以上各式代入，并經(jīng)過整理得：式中：， ，除了上述元體平衡法外，還可以采用附加元項法來推導(dǎo)邊界情況。然后就可以對方程進行數(shù)值求解，追趕法是最佳求解法；也可采用松弛迭代法求解，松弛迭代法又包括超松弛迭代法和欠松弛迭代法。3.3.3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的空間離散法與穩(wěn)態(tài)問題相同；對于時間離散，其時間步長如何??？取決于工程要求和穩(wěn)定性要求?？臻g離散化制約時間離散化。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的代數(shù)方程與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的代數(shù)方程相比：增加了時間項。3.3.4對流擴散問題以一維穩(wěn)態(tài)對流擴散問題為例：式中：代表求解的任一量。對于存在對稱擴散，可采用中心差分法進行離散。中心差分法的特點

50、是一個量的變化受前、后值的影響一樣大，不存在上、下游問題，不存在不等權(quán)重影響。如下圖：w、e對p影響權(quán)重相同。對于不可用中心差分法進行離散，而采用上分差分法進行離散；即在上圖中用w點值代替p點值。處理流動問題最簡單的方法是上分差分法與中心差分法相結(jié)合；這種方法對急流問題效果比較好，對于緩慢流則產(chǎn)生較大偏差。解決對流擴散問題用得最多、普遍認為效果好的方法是：三線擬合形式。當速度較大時，采用上分法；當速度較小時，采用中心差分法；當速度反向時，采用下分法。處理流動問題另外的差分格式有：指數(shù)差分格式、有限分析法。3.3.5流場的計算3.3.5.1二維流動問題對流場做數(shù)值計算，人們作過大量的探討，發(fā)現(xiàn)困

51、難在于對壓力場的處理。因為壓力場沒有一個好的控制方程，收斂情況難以判斷，它是造成了速度場不收斂或收斂不好的一個重要原因。對二維流動問題，引入渦量這個物理量來消除壓力場，這就是用的最多的渦量-流函數(shù)法。對于二維平面流場，按渦量的定義：如取平面流場所處的平面為x-y平面，渦量就僅有一個z分量，其值為：對不可壓縮穩(wěn)定流動，n-s方程與連續(xù)性方程在直角坐標系下可寫為：對n-s方程與連續(xù)性方程進行變換、再利用流函數(shù)的定義、整理可得：這樣就構(gòu)成了二維流場的一組控制方程。該方程組的最大優(yōu)點是不含壓力場，容易進行數(shù)值計算。渦量-流函數(shù)法最大的缺點是：邊界問題難以確定、未推廣到三維。3.3.5.2原始變量法-用

52、原方程離散在流場計算中，存在著一個重要問題是：壓力場的計算。如下圖：則壓力差，表明作用于控制容積界面上w和e上的壓差等于相隔一格的二個節(jié)點w和e的壓力之差的一半，也就是壓力選取更粗的網(wǎng)格，這樣做除了降低精度外，還會出現(xiàn)更嚴重的情況，鋸齒形的壓力場在計算上等價于均勻壓力場。為了解決上述問題，方法之一是不同變量有不同的控制容積，并不是所有變量都位于網(wǎng)格的主節(jié)點上。即壓力、速度不用同一套網(wǎng)格。壓力修正法是：先假定一個壓力場，然后解出各點速度，再由連續(xù)性方程檢驗速度，從而對假定的壓力場進行修正；依此迭代，壓力場向正確的壓力場收斂，而所求得的速度場也向正確的速度場收斂。壓力場的假定僅會影響計算速度，不會

53、影響計算結(jié)果。4輻射傳熱4.1輻射傳熱也是傳輸物體以電磁波方式向外發(fā)射能量的過程稱為輻射，所發(fā)射的能量稱為輻射能。輻射傳熱是一種特殊的傳輸方式：沒有速度場；傳輸無須介質(zhì)，在真空中也可進行；其傳播速度為光速。熱輻射是自然界普遍存在的現(xiàn)象，有溫度就有輻射，輻射強度與溫度的四次方成正比，即：輻射能在吸收和散射介質(zhì)中沿一定方向傳播時，由于介質(zhì)的吸收和散射，該方向上輻射能將逐漸減弱。設(shè)有一束單色輻射強度為的輻射能束投入到吸收和散射介質(zhì)，在通過ds路程之后，投射輻射強度減少了,與、ds的關(guān)系如下：積分可得：這一計算公式是被實驗所證實了的。根據(jù)吸收與散射介質(zhì)輻射的基本原理，當介質(zhì)中有波長為，輻射強度為的單色熱射線沿s方向傳播，在此