一元微積分?jǐn)?shù)學(xué)函數(shù)題庫有答案

1、一元微積分學(xué)數(shù)學(xué)（1） 函數(shù)一、 填空題：1 函數(shù) y=arcsin 定義域是:2.設(shè)y=(x)的定義域是0，1，則復(fù)合函數(shù)(sinx)的定義域是:. 3函數(shù)的值域是 0y + . 4函數(shù)的反函數(shù)是:. 5函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)是單調(diào)增加的.在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少. 6設(shè)，（xo）,則=. 7設(shè),則=, = x . 8函數(shù)的反函數(shù)y= .二選擇題：1 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) 與它的反函數(shù)說代表的曲線具有的性質(zhì)是（d）(a) 關(guān)于y軸對(duì)稱; (b) 關(guān)于x軸對(duì)稱; (c)重合； (d) 關(guān)于直線y=x對(duì)稱. 2.下列幾對(duì)函數(shù)中，與相同的是（c）. （a）與 （b）與 （c）與 （d）與 3已知的定義域?yàn)閯t

2、的定義域是（c） （a）-a,3a (b) a,3a (c) a (d) -a 4如果，那么的表達(dá)式是（b）(a) x-1 (b)1-x (c) (d) 都不是三設(shè)函數(shù)是線性函數(shù)，已知求此函數(shù). 解：設(shè)f(x)=ax+b, 則有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四證明函數(shù)在它的整個(gè)定義域內(nèi)是有界. 證明：f(x)的定義域?yàn)閞. 因?yàn)?所以： 函數(shù)在它的整個(gè)定義域內(nèi)是有界五試討論函數(shù)的奇偶性. 解： 所以 偶函數(shù).一元微積分學(xué)題庫（2） 數(shù)列的極限一判斷題：1如果數(shù)列以a為極限，那么在數(shù)列增加或去掉有限項(xiàng)之后，說形成的新數(shù) 列仍以阿a為極限 ( t )2如果，則有或 ( f )

3、3如果，且存在自然數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)恒有，則必有a0）成立. 所以當(dāng)x時(shí)，這函數(shù)不是無窮大一元微積分學(xué)題庫（4） 極限的求法一 判斷題： 下列運(yùn)算是否正確： (f) (f) （f）二計(jì)算下列極限：解：=解：=2 解：設(shè)，則 因?yàn)?0， 所以 即：解：=解：因?yàn)?所以arctgx為有界函數(shù). 而 =0， 由有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小知. =0解：=解： = = =三已知 解：=0，=3+a,存在，即：=所以. .一元微積分學(xué)題庫（5） 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 無窮小的比較一、 判斷題：1 因?yàn)闀r(shí)，tgxx,sinxx,所以 （f）2 (t)3 (f)二、計(jì)算下列極限1.解：=2.解：=13.

4、解：=24.解：=1.5.解：=6.解：=.二、 證明：當(dāng)x0時(shí)，下列各對(duì)無窮小量是等價(jià)的1.證明：設(shè)a=arctgx,則 x=tga, 當(dāng)時(shí)，. =12.1-cosx 證明：=1.四、證明：用兩邊夾法則：（解法一） 設(shè)f(n)= 0 則 設(shè)g(n)=0, h(n)= , 則g(n)=0 f(n) 0 因?yàn)?（n為自然數(shù)）， 所以有f(n) = 設(shè)g(n)=0, h(n)= , 則g(n)=0 f(n) h(n). 顯然，； 由極限存在準(zhǔn)則i知：.證畢. 另解： 設(shè)f(n)= ( 0f(n)1 )， 則f(n+1)= ，有f(n+1)0 即： 所以為單調(diào)有界數(shù)列，由極限存在準(zhǔn)則ii知有極限.

5、， 則有 ， a=2a-，解得：a=1 或a=0（舍去，因?yàn)闉檫f增數(shù)列且.） 所以 一元微積分學(xué)題庫（6） 函數(shù)的連續(xù)性一 判斷題1 （ t ）2.設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，則（ t ）3如果函數(shù)在上有定義，在上連續(xù)，且0，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得= 0 （ t ）4若 連續(xù)，則必連續(xù). （ t ）5若函數(shù)在上連續(xù)且恒為正，則在上必連續(xù). （ t ）6若,且，則在的某一鄰域內(nèi)恒有. （ f ）7是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn).（ f ）二 填空題：1()2. ( 0 )3. ( )4. 是的第（二）類間斷點(diǎn).三 求 解：=四 求函數(shù)在內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型. 解：在內(nèi)的間斷點(diǎn)有：， 因?yàn)?不存在， 所以，是的第一類（

6、可去）間斷點(diǎn); ，是的第二類間斷點(diǎn). 五 設(shè)，（1）求；（2）當(dāng)連續(xù)時(shí)，求的值. 解：(1) (2) 連續(xù) .一元微積分學(xué)題庫（7） 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一計(jì)算下列極限： 1 解：原式= = 2 解：原式= 3 解：原式= 4 解：原式= 5 解：原式= 6 解：令，得，當(dāng) 原式=二證明方程至少有一個(gè)不超過的正根（其中）. 證明：設(shè)，則在上連續(xù). 又，. 若，則結(jié)論成立. 若，則由零點(diǎn)定理.三設(shè)在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得 . 證明：設(shè)，則在上連續(xù). 又, 若，則結(jié)論成立. 若，則由零點(diǎn)定理.四設(shè)在上連續(xù)，且，又存在使 .證明在上有最大值. 證明：取 , 當(dāng)時(shí), . 即 當(dāng)時(shí)，. , 當(dāng)時(shí)

7、, . 即 當(dāng)時(shí)，. 若,為最大值. 若,在上連續(xù),必有最大值. , . 在上取得最大值. 一元微積分學(xué)題庫（8） 導(dǎo)數(shù)的概念一 選擇題：1 設(shè)f (x)存在，a為常數(shù)，則等于（c）. (a) f (x) ; (b) 0 ; (c) ; (d) .2. 在拋物線上，與拋物線上橫坐標(biāo)和的兩點(diǎn)連線平行的切線方程 是（b）. (a) 12x-4y+3=0; (b)12x+4y+3=0; (c) 4x+12x+3=0; (d)12x+4y+1=0.3. 將一個(gè)物體鉛直上拋，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t秒后，物體上升的高度為，則物體 在3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（b）. (a) ; (b) 40-3g ; (c) 0 ; (d

8、) .4. 若函數(shù)在x=0處 (b). (a) 連續(xù)且可導(dǎo)； （b）連續(xù)，不可導(dǎo)； （c）不連續(xù)； （d）都不是.二設(shè)函數(shù)在處x=1可導(dǎo)，求a和b.解：在x=1處可導(dǎo)在x=1處連續(xù)，可得 即 (1) 又在x=1處可導(dǎo), 可得 即 (2) 由(1),(2)得 , .三設(shè)，求.解: , 由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得 .四已知，求.（提示：分段點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)的定義求）解: 當(dāng)x=0時(shí), 令, ; .所以 五設(shè)f(x)在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù).證明f(x)為偶函數(shù)的充要條件是：為奇函數(shù)（充分性的證明用到不定積分的概念，只證必要性）.證明: 對(duì)于 則有 依題意 令有 ; ; 為偶函數(shù)一元微積分學(xué)題庫（9） 求

9、導(dǎo)法與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一 填空題：1 曲線與x軸交點(diǎn)的切線方程是.2 曲線在橫坐標(biāo)x=0點(diǎn)處的切線方程是,法線方程是.3 設(shè)，則.4 設(shè)，則.5 設(shè)，則.二 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1. .解: .2. .解: .3. .解: .4. .解: .5. .解: .三.求導(dǎo)數(shù):1. ,求.解: .2. ,求.解: .3. ,求.解: .四.已知,求. 解: 令 ,則 .一元微積分學(xué)題庫(10) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(二) 高階導(dǎo)數(shù)一. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1. .解：. 2.解： .3.解： .4.解： .5.解： .二. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):1. .解： , .2. .解： , .3. .解： , .三. 求函數(shù)

10、的n階導(dǎo)數(shù).解： ， 一般地，可得 .四. 設(shè),其中在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)連續(xù),求.解： . 在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)連續(xù) . .一元微積分學(xué)題庫(11) 隱函數(shù)求導(dǎo)法一. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).1. .解： , 即 其中y是由方程所確定的隱函數(shù).2. .解： , 即 . 其中y是由方程所確定的隱函數(shù).3. .解： , 即 . 其中y是由方程所確定的隱函數(shù).二. 用對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1. .解： 先兩邊取對(duì)數(shù)(假定 . ) 得 . 則 . . 當(dāng)時(shí),用同樣的方法可得與上面相同的結(jié)果.2. . 解： 先兩邊取對(duì)數(shù)(假定) 得 . 對(duì)上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 . 即 . 當(dāng)時(shí),用同樣的方法可得

11、與上面相同的結(jié)果. 三. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).1. .解： , .2. 已知 這里存在且不為零.解： 存在且不為零 , .四. 設(shè),證明y=y(x)在t=0時(shí)存在,并求其值.證明： 原方程可化為 . 當(dāng)時(shí), 一元微積分學(xué)題庫(12) 微分一. 選擇題:1. 已知,則dy等于(c).(a) 2tgxdx ; (b) ; (c) ; (d) .2 一元函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的（a）；一元函數(shù)可導(dǎo)是可微的（c）.（a）必要條件； （b）充分條件；（c）充要條件； （d）既非充分條件又非必要條件.2. 函數(shù)不可微點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（b）.（a） 3; (b) 2; (c) 1; (d) 0.二填空題：1 已知函數(shù)在

12、點(diǎn)x處的自變量的增量，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部是，那末自變量的始值為.2 ，則.3. ; ; ; .三 利用微分求近似值：.解： . 這里較小應(yīng)用(p150)(2)式,得 .四 已知測量球的直徑d時(shí)有1%的相對(duì)誤差，問用公式計(jì)算球的體積時(shí)，相對(duì)誤差有多少？解： 我們把測量d時(shí)所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作自變量d的增量，那么，利用公式來計(jì)算v時(shí)所產(chǎn)生的誤差就是函數(shù)v的對(duì)應(yīng)增量.當(dāng)很小時(shí)，可以利用微分近似地代替增量，即 . 其相對(duì)誤差 .五 求由方程所確定的隱函數(shù)s在t=0處的微分.解： 對(duì)方程兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，得 . 當(dāng) t=0時(shí), 得 . 又對(duì)原方程, 當(dāng) t=0時(shí), 得 即 s=1. 一元微積分學(xué)題庫（1

13、3）中值定理一選擇題： 1下列函數(shù)中，滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（b）.(a)(b)(c)(d) 2.對(duì)于函數(shù)，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的點(diǎn)是(a).(a); (b); (c); (d)1.二. 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明恒等式：.（注意：對(duì) 處的討論）證：令當(dāng)時(shí)，（c為常數(shù)）.特別地，取,則求得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，三. 設(shè)，證明：.證：設(shè)，在上利用拉格朗日中值定理，有：.四. 證明：不論b取何值，方程在區(qū)間上至多有一個(gè)實(shí)根.證：反證法.設(shè)，且在區(qū)間上有兩個(gè)以上實(shí)根，其中兩個(gè)分別記為，不妨設(shè)，則，由羅爾定理，在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使.而在內(nèi)恒小于0，矛盾.命題成立.五. 構(gòu)造輔助函數(shù)，證明不等式.證：設(shè)，則在區(qū)間上，

14、根據(jù)拉格朗日中值定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即又即六. 設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，證明（1） 在(a,b)內(nèi)；（2） 在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證：（1）反證法.設(shè)（a,b）內(nèi)存在一點(diǎn)使，則在上有g(shù)(a)=g(x1)=0,由羅爾定理知在(a,x1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)1使(1)=0.同理在(x1,b)內(nèi)也至少存在一點(diǎn)2使(2)=0.(1)=(2)=0由羅爾定理，在(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使,這與矛盾，故在內(nèi).（3） 令由題設(shè)條件可知，f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0,由羅爾定理可知，存在使得即由于，故.一元微積分學(xué)題庫（14）羅必塔法則 一. 求下列極限：

15、1. 解：原式= 2. 解：原式= = 3 解：原式=1 4 解：令，則 y=e0=15 解：原式=一元微積分學(xué)題庫（15）函數(shù)的單調(diào)性一 填空題：1函數(shù)y=(x-1)(x+1)3在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加.2函數(shù) （a0）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間內(nèi)單 調(diào)減少.3函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間（-1， 3）內(nèi)單調(diào)減少.4. 函數(shù)在區(qū)間（0.5，1）內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少.二. 證明下列不等式：1. 當(dāng)時(shí)，. 證：令，則. ， ，顯然，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加. 又 在區(qū)間內(nèi)恒大于零. 又 在區(qū)間內(nèi)大于零. 即當(dāng)時(shí)，即.2. 當(dāng)時(shí)，.證：令 顯然，當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)增加.又=0 在內(nèi)大

16、于零. 在內(nèi)單調(diào)增加.而=0 在內(nèi)恒大于零. 即當(dāng)時(shí)， 即3. 當(dāng)時(shí)，證：令，則.令，則.在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少.在此區(qū)間內(nèi)也單調(diào)減少.而在內(nèi)小于0.在內(nèi)單調(diào)減少.在區(qū)間的兩端取得極大極小值.即三. 證明方程sinx=x只有一個(gè)根.證：令，則. 在內(nèi)單調(diào)減少. f(x)=sinx-1=0至多有一個(gè)根.而f(0)=0, 有且只有一個(gè)根. 即方程sinx=x只有一個(gè)根.一元微積分學(xué)題庫（16）函數(shù)的極值一. 填空題：1. 函數(shù)在處取得極小值.2. 已知函數(shù)當(dāng)-1或5時(shí)，y=0為極小值；當(dāng)x=0.5時(shí)， y=為極大值.3已知在x=1處有極值-2，則a=0,b=-3,y=f(x)的極大值為2； 極小值為-

17、2.二. 求下列函數(shù)的極值： 1. 解： 令得三駐點(diǎn)：. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，. 處為非極值點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，取得極大值，其值為0. 當(dāng)時(shí)，取得極小值，其值為-13.5.2. 解：，令，得駐點(diǎn)（k為整數(shù)）. 當(dāng)時(shí)，x在該處取得極大值，其值為 當(dāng)時(shí)，x在該處取得極小值，其值為三. 試問a為何值時(shí)，函數(shù)在處取得極值？它是極 大值還是極小值？并求出此極值. 解：，令，則 即 時(shí)取得極值. 在處取得極大值，其值為.四. 設(shè)，為實(shí)數(shù)，且(1) 求函數(shù)的極值.(2) 求方程有三個(gè)實(shí)根的條件.解：(1) ，令得，而 處取得極小值，其值為 處取得極大值，其值為 (2)由上述的討論我們可以看出，僅有 三個(gè)單調(diào)區(qū)間，由介值定理

18、及區(qū)間 單調(diào)性知：方程要有三個(gè)實(shí)根，必須滿足在這三個(gè)單調(diào)區(qū)間上各 有一個(gè)實(shí)根，也就是說，極小值應(yīng)小于或等于0同時(shí)極大值應(yīng)大 于或等于0（等于0時(shí)含重根）.即 即當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根.五. 一個(gè)無蓋的圓柱形大桶，已規(guī)定體積為v,要使其表面積為最小，問圓 柱的底半徑及高應(yīng)是多少？解：設(shè)圓柱的底半徑為r,高為h，則 , 則 六. 設(shè)在上二階可微，且.證明存在 ，使得. 證：將在x取得極大值處展開一階泰勒公式（設(shè)此時(shí)） ， ， ，兩式相加得： 令，則 一元微積分學(xué)題庫 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐點(diǎn)一、求下列函數(shù)的最大值和最小值： 1. 函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，因此可令 解得 而 所以函數(shù)在區(qū)間

19、上的最大值、最小值分別為104和-5.2. 函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，因此可令 解得 而 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為-47和-15.二、某車間靠墻壁蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20米長的墻壁，問應(yīng)圍成怎樣的長 方形才能使這間小屋的面積最大？ 解： 設(shè)寬為米，則長為米，因此，面積為 顯然，當(dāng)時(shí)，面積取最大值50.三、求數(shù)項(xiàng) 中的最大項(xiàng). 解： 令 則 解得唯一駐點(diǎn)， ，并且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單 調(diào)遞減，而 所以數(shù)項(xiàng) 中的最大項(xiàng)為.四、求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)：1. 解： 函數(shù)在定義域內(nèi)階導(dǎo)數(shù)存在，并且 因此，當(dāng)時(shí)，曲線為凸的，當(dāng)時(shí)，曲 線為凹的，點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).2. 解：

20、函數(shù)在定義域內(nèi)階導(dǎo)數(shù)存在，并且 因此，當(dāng)時(shí)，曲線為凸的，當(dāng)時(shí)，曲線 為凹的，當(dāng)時(shí)，曲線為凸的，點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).五、證明有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上. 證明： 函數(shù)在定義域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，并且 令，解得， 因此，當(dāng)時(shí)，曲線為凸的，當(dāng)時(shí)， 曲線為凹的，當(dāng)時(shí)，曲線為凸的，當(dāng) 時(shí)，曲線為凹的，所以曲線有三個(gè)拐點(diǎn) . 并且 所以三個(gè)拐點(diǎn)在同一條直線上.一元微積分學(xué)題庫 (18) 函數(shù)圖形的描繪 一、作下列函數(shù)的圖形（要求列表之后再畫圖）： 1. 解：函數(shù)在定義域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，并且 令，解得，01-0+0-0+0-0+圖形拐點(diǎn)極大拐點(diǎn)極小拐點(diǎn) 2. 解：函數(shù)在定義域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，并且 令，解得，1-0+0

21、+0-0+圖形極小拐點(diǎn)拐點(diǎn)，不是極值點(diǎn) 四、求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成的平面圖形的面積最小. 解： 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則切線的斜率為，所以切線方程為 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以，三角形的面積為 令 解得 即當(dāng)時(shí)，三角形的面積最小，從而該曲線與切線及直線所圍成的 平面圖形的面積最小，此時(shí)切線方程為： 一元微積分學(xué)題庫（19）不定積分 一.是非題： 1 ( f ) 2. ( f ) 3. 已知?jiǎng)t ( f ) 4. 是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù) ( t ). 二.填空： 1. . 2. . 3. . 4. 5. .6. 設(shè)，則. 7. 已知曲線通過點(diǎn)(e,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐

22、標(biāo)的倒數(shù)，則曲線方程為. 三.求下列不定積分 1. 解: 2. . 解：. 3. . 解： 4. 解： 5 解：四已知且f(0)=0求f(x).解： 又由于在x=0可導(dǎo),則f(x)在x=0連續(xù)， 所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得： 一元微積分學(xué)題庫（20）換元積分 一.填空: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.二.計(jì)算不定積分:1. . 解：.2. 解： 6 解：.7. 解:8. 解:.一元微積分學(xué)題庫（21） 分部積分法 一.填空題： 1設(shè)則 . 2 . 3若的原函數(shù)為，則 .二求下列不定積分： 1 解： = = .所以， 原式= . 2.解：=. 3. 解：= = =

23、 . 4 . 解：= = = = 5 . 解：= = = . 6 . 解：= = =.一元微積分學(xué)題庫(22) 幾種特殊類型函數(shù)的積分 一 求下列有理函數(shù)的不定積分： 1 . 解：= = . 2 . 解： , 比較系數(shù)得： = = = = .二.求下列三角有理式的不定積分： 1 . 解：令 則 = = . 2 . 解：= = . 3 . 解：= = = 所以，2= 即：=三.求下列無理函數(shù)的不定積分： 1 . 解：= 令 ， 則；. 于是 = 故= = = . 2 . 解：令 則： = =四.計(jì)算積分 . 解法一：= = = = = . 解法二：= = = = = 注：解法二中積分亦可用萬能代換