2020_2021學年高中數(shù)學第二章數(shù)列2.2第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)學案含解析新人教A版必修520210311253

1、第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.進一步了解等差數(shù)列的項與序號之間的規(guī)律2.理解等差數(shù)列的性質(zhì)3.會運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問題.發(fā)展邏輯推理提升數(shù)學運算應(yīng)用數(shù)學抽象授課提示：對應(yīng)學生用書第26頁基礎(chǔ)認識知識點一等差數(shù)列的項與序號的關(guān)系(1)等差數(shù)列an中，ana1(n1)d.那么ana2_d？ana3_d?anam_d？(mn)提示：(n2)(n3)(nm)(2)等差數(shù)列an中，a1an與a2an1，a3an2有什么關(guān)系？提示：a1ana2an1a3an2. 知識梳理兩項關(guān)系anam(nm)d(n，mN*)多項關(guān)系若an為等差數(shù)列，且mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq在

2、有窮等差數(shù)列an中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和，即a1ana2an1a3an2知識點二等差數(shù)列“子數(shù)列”的性質(zhì)已知一個無窮等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.(1)將數(shù)列的前m項去掉，其余各項組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，首項、公差各是多少？(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，首項、公差各是多少？(3)取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項，組成一個新的數(shù)列呢？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個猜想嗎？提示：上述問題中(1)是等差數(shù)列，首項為am1，公差為d.(2)是等差數(shù)列，首項為a1，公差為2d.(3)是等差數(shù)列，首項

3、為a7，公差為7d. 知識梳理已知一個無窮等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，(1)將數(shù)列中的前m項去掉，其余各項組成首項為am1，公差為d的等差數(shù)列(2)奇數(shù)項數(shù)列a2n1是公差為2d的等差數(shù)列偶數(shù)項數(shù)列a2n是公差為2d的等差數(shù)列(3)若數(shù)列kn是等差數(shù)列，則數(shù)列akn也是等差數(shù)列(4)can為公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))(5)can為公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))(6)anank為公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，kN*)(7)panqbn為公差為pdqd的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))知識點三等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)在直角坐標系中，畫出通項公式為an3n5的數(shù)列的圖象，這個圖象有什么特點

4、？(1)數(shù)列an3n5為等差數(shù)列，其圖象的孤立的點在_上提示：直線y3x5.(2)數(shù)列an3n5的公差是直線y3x5的_提示：斜率 知識梳理(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)ddn(a1d)，當d0時，an是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù)；當d0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，點(n，an)分布在以d為斜率的直線上，且是這條直線上的一列孤立的點(2)公差d與斜率等差數(shù)列an的圖象是一條直線上的孤立的點，而這條直線的斜率即為公差d，即d(n2，nN*)(3)等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列an的公差為d，當d0時，數(shù)列an為遞增數(shù)列當d0時，數(shù)列an為遞減數(shù)列當d0時，數(shù)列an為常數(shù)列自我檢測1已

5、知等差數(shù)列an中，a7a916，a41，則a12的值是()A15B30C31 D64答案：A2已知(1,1)，(3,5)是等差數(shù)列an圖象上的兩點，則an_.答案：2n1授課提示：對應(yīng)學生用書第27頁探究一等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用閱讀教材P68 復習參考題A組第8題1.在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a7450，那么a2a8等于多少？提示：a3a4a5a6a75a5450，a590，故a2a82a5180.教材P68復習參考題B組第2題第(1)問2.如果a，b，c成等差數(shù)列，能構(gòu)成等差數(shù)列嗎？你能用函數(shù)圖象解釋一下嗎？提示：不能構(gòu)成等差數(shù)列，可以從圖象上解釋如果a，b，c成等差數(shù)列，則通項公式為

6、ypnq的形式，且a，b，c位于同一直線上，而，的通項公式卻是y的形式，不可能在同一直線上，因此肯定不是等差數(shù)列例1(1)數(shù)列an為等差數(shù)列，已知a2a5a89，a3a5a721，求數(shù)列an的通項公式；(2)在等差數(shù)列an中，a158，a6020，求a75的值解析(1)a2a82a5，3a59，a53.a2a8a3a76，又a3a5a721，a3a77.由解得a31，a77或a37，a71.a31，d2，或a37，d2.由通項公式的變形公式ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.(2)a60a15(6015)d，d，a75a60(7560)d201524.方法技巧等差數(shù)列運算的兩條常用

7、思路(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中項的序號，若滿足mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，則amanapaq2ar.跟蹤探究1.在單調(diào)遞減的等差數(shù)列an中，若a31，a2a4，則a1()A1B2C. D3解析：由題知，a2a42a32，又因a2a4，數(shù)列an單調(diào)遞減，所以a4，a2.所以公差d.所以a1a2d2.答案：B2在等差數(shù)列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值解析：(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a

8、9成等差數(shù)列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.探究二等差數(shù)列的設(shè)法與求解教材P40 A組第3題如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，那么中間的角是多少度？提示：設(shè)三個角分別為ad，a，ad，則adaad180，a60.例2已知四個數(shù)依次成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，四個數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此等差數(shù)列解析設(shè)四個數(shù)為a3d，ad，ad，a3d，則又因為是遞增數(shù)列，所以d0，所以解得a，d，此等差數(shù)列為1,2,5,8或8，5，2,1.延伸探究1.若本例改為：已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù)解析：法

9、一：設(shè)這三個數(shù)為a，b，c，則由題意得解得a4，b6，c8.這三個數(shù)為4,6,8.法二：設(shè)這三個數(shù)為ad，a，ad，由已知可得由得a6，代入得d2，該數(shù)列是遞增的，d2舍去，這三個數(shù)為4,6,8.2已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列an的前三項之和為21，前三項之積為231，求數(shù)列an的通項公式解析：法一：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的前三項分別為a1，a1d，a12d，則即解得或因為數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列，所以從而等差數(shù)列an的通項公式為an4n1.法二：由于數(shù)列an為等差數(shù)列，所以可設(shè)前三項分別為ad，a，ad，由題意得即解得或由于數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列，所以從而an4n1.方法技巧等差數(shù)列項的常見設(shè)法(

10、1)通項法：設(shè)數(shù)列的通項公式，即設(shè)ana1(n1)d.(2)對稱項設(shè)法：當?shù)炔顢?shù)列an的項數(shù)為奇數(shù)時，可設(shè)中間一項為a，再以公差為d向兩邊分別設(shè)項：，a2d，ad，a，ad，a2d，；當?shù)炔顢?shù)列an的項數(shù)為偶數(shù)時，可設(shè)中間兩項分別為ad，ad，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項：，a3d，ad，ad，a3d，.授課提示：對應(yīng)學生用書第28頁課后小結(jié)在等差數(shù)列中，一般存在兩種運算方法：一是利用基本量運算，借助于a1，d建立方程組進行運算，這是最基本的方法；二是利用性質(zhì)運算，運用等差數(shù)列的性質(zhì)可簡化計算，往往會有事半功倍的效果素養(yǎng)培優(yōu)1錯用等差數(shù)列的性質(zhì)致誤在等差數(shù)列an中，若a610，a151，求a21的值易錯分析將性質(zhì)錯用為“apaqapq”導致錯解自我糾正設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則解得故a21a120d15205.2混淆兩個等差數(shù)列的有關(guān)量兩個等差數(shù)列5,8,11，和3,7,11，都有100項，那么它們共有多少相同的項？易錯分析解決問題時，沒弄清公式中各量的含義，不同的數(shù)列各量所用符號不能相同本例中項數(shù)n在數(shù)列an和數(shù)列bn中的意義有區(qū)別，當項相同時，對應(yīng)的序號n