九年級數(shù)學(xué)下冊 第27章相似 27.2相似三角形 3相似三角形的周長與面積習(xí)題課件 新人教版

1、27.2.3相似三角形的周長與面積 1.1.掌握相似三角形的對應(yīng)線段掌握相似三角形的對應(yīng)線段( (角平分線、中線、高線角平分線、中線、高線) )的比等的比等 于相似比于相似比.(.(重點(diǎn)重點(diǎn)) ) 2.2.理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比, ,面積的比等于面積的比等于 相似比的平方相似比的平方.(.(難點(diǎn)難點(diǎn)) ) 3.3.能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明或計(jì)算及解決簡單的實(shí)際能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明或計(jì)算及解決簡單的實(shí)際 問題問題.(.(重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn)) ) 一、相似三角形中重要線段的比一、相似三角形中重要線段的比 【總結(jié)總結(jié)】相似三角形

2、對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng) 中線的比都等于中線的比都等于_. . 相似比相似比 二、相似圖形周長的比與面積的比二、相似圖形周長的比與面積的比 已知：已知：ABCABCABCABC，ABCABC與與ABCABC的相似比的相似比 為為k.k. 【思考思考】(1)(1)ABCABC與與ABCABC周長的比和相似比周長的比和相似比k k有何有何 關(guān)系？關(guān)系？ 提示提示: : ABCABCABC, =k,ABC, =k, AB=AB=_,BC=,BC=_,AC=,AC=_, , ABBCAC A BBCA C kABkABkBCkBCkACkAC AB

3、C_ A BCA BBCA C 的周長 的周長 ABBCAC k A BBCA CkA BkBCkA C k. A BBCA CA BBCA C (2)(2)ABCABC與與ABCABC的面積之比和相似比的面積之比和相似比k k有何關(guān)系？有何關(guān)系？ 提示提示: :若若CDCD，CDCD分別是分別是ABAB，ABAB邊上的高，則邊上的高，則 =k. =k. SS ABCABC = AB = ABCD,SCD,S ABCABC= AB = ABCD.CD. CD C D 1 2 1 2 2 ABC A B C 1 AB CD SABCD 2 k . 1 SA B C D A B C D 2 (3)

4、(3)對于兩個(gè)相似的多邊形，可以轉(zhuǎn)換為相似三角形的問題，對于兩個(gè)相似的多邊形，可以轉(zhuǎn)換為相似三角形的問題， 得到它們的周長的比與面積的比得到它們的周長的比與面積的比. . 【歸納歸納】1.1.相似三角形的周長比等于相似三角形的周長比等于_，面積比等于相似，面積比等于相似 比的平方比的平方. . 2.2.相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方. . 相似比相似比 （打（打“”“”或或“”） （1 1）兩個(gè)相似三角形的相似比為）兩個(gè)相似三角形的相似比為3 3，則它們面積的比為，則它們面積的比為6. 6. （ ） （2 2）如果把一個(gè)

5、多邊形的各邊都擴(kuò)大）如果把一個(gè)多邊形的各邊都擴(kuò)大5 5倍，則這個(gè)多邊形的面倍，則這個(gè)多邊形的面 積擴(kuò)大積擴(kuò)大2525倍倍. .（ ） （3 3）ABCABC與與DEFDEF的相似比為的相似比為2323，則，則DEFDEF與與ABCABC的周長的周長 之比為之比為49.49.（ ） 知識點(diǎn)知識點(diǎn) 1 1 相似圖形的周長與面積相似圖形的周長與面積 【例例1 1】(2013(2013內(nèi)江中考內(nèi)江中考) )如圖如圖, ,在在ABCDABCD中中, , E E為為CDCD上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,連接連接AE,BD,AE,BD,且且AE,BDAE,BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)F,F, S S DEFDEF S S ABFA

6、BF=425, =425,則則DEEC=(DEEC=() ) A.25A.25 B.23 B.23 C.35C.35 D.32 D.32 【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】平行四邊形性質(zhì)平行四邊形性質(zhì)ABCDABCDDEFDEFBAF BAF 的值的值 的值的值. . 【自主解答自主解答】選選B.B.四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，ABCDABCD， ABABCDCD，DEFDEFBAFBAF， DE AB DE EC 2 DEF BAF SDE4 (), SAB25 DE2DE2DE2 . AB5DC5EC3 ， ， 【總結(jié)提升總結(jié)提升】相似圖形的周長與面積的計(jì)算相似圖形的周長與面

7、積的計(jì)算 1.1.常見圖形結(jié)構(gòu)：常見圖形結(jié)構(gòu)：“A A”型圖與型圖與“X X”型圖，應(yīng)用平行線構(gòu)造相型圖，應(yīng)用平行線構(gòu)造相 似三角形，常與平行四邊形聯(lián)系在一起似三角形，常與平行四邊形聯(lián)系在一起. . 2.2.解題關(guān)鍵：一是準(zhǔn)確把握相似三角形的周長的比與面積的比解題關(guān)鍵：一是準(zhǔn)確把握相似三角形的周長的比與面積的比 和相似比的關(guān)系；二是掌握同底等高或等底同高的三角形面積和相似比的關(guān)系；二是掌握同底等高或等底同高的三角形面積 之間的相等關(guān)系之間的相等關(guān)系. . 知識點(diǎn)知識點(diǎn) 2 2 相似三角形中的重要線段相似三角形中的重要線段 【例例2 2】如圖，在如圖，在ABCABC中，中，C=45C=45，BC

8、=10BC=10，高，高AD=8AD=8，矩形，矩形 EFPQEFPQ的一邊的一邊QPQP在在BCBC邊上，邊上，E E，F(xiàn) F兩點(diǎn)分別在兩點(diǎn)分別在ABAB，ACAC上，上，ADAD交交EFEF于于 點(diǎn)點(diǎn)H.H. （1 1）求證：）求證： （2 2）設(shè)）設(shè)EF=xEF=x，當(dāng)，當(dāng)x x為何值時(shí)，矩形為何值時(shí)，矩形EFPQEFPQ的的 面積最大？并求其最大值面積最大？并求其最大值. . AHEF . ADBC 【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)(1)矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)EFBCEFBCAEFAEFABCABC結(jié)論結(jié)論. . (2)(2)相似的性質(zhì)相似的性質(zhì)AHAH與與EFEF的關(guān)系的關(guān)系列函數(shù)關(guān)系式列函

9、數(shù)關(guān)系式配方求最大配方求最大 值值. . 【自主解答自主解答】(1)(1)四邊形四邊形EFPQEFPQ是矩形是矩形,EFQP,EFQP, EFBC,EFBC,AEFAEFABC.ABC. 又又ADBC,AHEF, ADBC,AHEF, AHEF . ADBC (2)(2)由由(1)(1)得得 ,AH= x,AH= x, EQ=HD=AD-AH=8- x,EQ=HD=AD-AH=8- x, SS矩形 矩形EFPQEFPQ=EF =EFEQ=x(8- x)=- xEQ=x(8- x)=- x2 2+8x=- (x-5)+8x=- (x-5)2 2+20.+20. - 0,- 0, 當(dāng)當(dāng)x=5x=5

10、時(shí)時(shí),S,S矩形 矩形EFPQEFPQ有最大值 有最大值, ,最大值為最大值為20.20. AHx 810 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 【總結(jié)提升總結(jié)提升】運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊上高的比的兩注意運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊上高的比的兩注意 1.1.圖形：相似三角形對應(yīng)邊上高的比常見圖形如下，即三角形圖形：相似三角形對應(yīng)邊上高的比常見圖形如下，即三角形 中存在一個(gè)矩形中存在一個(gè)矩形. . 2.2.方法：習(xí)慣上，利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比方法：習(xí)慣上，利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比 列方程求解列方程求解. . 題組一題組一: :相似圖形的周長與面積相似圖形的周長與面積

11、 1.1.三角形的一條中位線將這個(gè)三角形分成兩部分，這兩部分中三角形的一條中位線將這個(gè)三角形分成兩部分，這兩部分中 較小部分與較大部分的面積之比是較小部分與較大部分的面積之比是( )( ) A.12 B.13 C.14 D.23A.12 B.13 C.14 D.23 【解析解析】選選B.B.利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，較利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，較 小部分是三角形，與原三角形相似，相似比是小部分是三角形，與原三角形相似，相似比是1212，它們的面，它們的面 積比是積比是1414，故較小部分與較大部分的面積比是，故較小部分與較大部分的面積比是1313 2.2.已知兩個(gè)相

12、似三角形的相似比為已知兩個(gè)相似三角形的相似比為23,23,面積之差為面積之差為25cm25cm2 2, ,則則 較大三角形的面積為較大三角形的面積為( () ) A.45cmA.45cm2 2B.50cmB.50cm2 2C.65cmC.65cm2 2D.75cmD.75cm2 2 【解析解析】選選A.A.因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方, ,則則 根據(jù)已知條件知這兩個(gè)相似三角形的面積比為根據(jù)已知條件知這兩個(gè)相似三角形的面積比為49,49,因此因此, ,可設(shè)可設(shè) 這兩個(gè)三角形的面積分別為這兩個(gè)三角形的面積分別為4k4k和和9k,9k,再由已知可得再由

13、已知可得9k-4k =25,9k-4k =25, 解出解出k =5,k =5,則較大三角形的面積為則較大三角形的面積為45cm45cm2 2. . 3.3.如圖如圖,DE,DE是是ABCABC的中位線的中位線,M,M是是DEDE的中點(diǎn)的中點(diǎn),CM,CM的延長線交的延長線交ABAB于于 點(diǎn)點(diǎn)N,N,則則S S DMNDMNS S四邊形 四邊形ANMEANME等于 等于( () ) A.15A.15 B.14 B.14 C.25 C.25 D.27 D.27 【解析解析】選選A.A.由由NDMNDMNBC,MNBC,M為為DEDE的中點(diǎn)的中點(diǎn), NDNB , NDNB = DMBC =14,= D

14、MBC =14,所以所以NDDA = NDDB =13,NDDA = NDDB =13,則則 S S DMNDMNS S DAEDAE=16, =16,故故S S DMNDMNS S四邊形 四邊形ANMEANME=15. =15. 4.(20124.(2012宜賓中考宜賓中考) )如圖如圖, ,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, DCAB, CB, DCAB, CB AB,AB=AD,CD= AB,AB,AB=AD,CD= AB,點(diǎn)點(diǎn)E,FE,F分別為分別為AB,ADAB,AD的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則AEFAEF與多與多 邊形邊形BCDFEBCDFE的面積之比為的面積之比為( () ) A.

15、A. B. B. C. C. D. D. 1 2 1 7 1 4 1 5 1 6 【解析解析】選選C.C.連接連接BD,BD,得得EFEF為為ABDABD的中位線的中位線, ,故故AEFAEF ABD,SABD,S ABDABD=4S =4S AEFAEF, ,由 由AB=2CDAB=2CD且且ABCDABCD得得S S ABDABD=2S =2S BCDBCD, , SS梯形 梯形ABCDABCD=6S =6S AEFAEF, ,故 故AEFAEF與多邊形與多邊形BCDFEBCDFE的面積比為的面積比為15,15, 故選故選C.C. 5.(20135.(2013重慶中考重慶中考) )已知已知

16、ABCABCDEFDEF，若，若ABCABC與與DEFDEF的相的相 似比為似比為3434，則，則ABCABC與與DEFDEF的面積之比為的面積之比為( )( ) A.43 B.34 C.169 D.916A.43 B.34 C.169 D.916 【解析解析】選選D.D.ABCABCDEFDEF，且相似比為，且相似比為3434， ABCABC與與DEFDEF的面積比為的面積比為3 32 2442 2，即，即ABCABC與與DEFDEF的面積比的面積比 為為916.916. 6.(20136.(2013臺州中考臺州中考) )如圖如圖, ,在在ABCABC中中, ,點(diǎn)點(diǎn)D,ED,E分別在邊分別在

17、邊AB,ACAB,AC上上, , 且且 , ,則則S S ADEADES S四邊形 四邊形BCEDBCED的值為 的值為( () ) A.1A.1 B.12 B.12 C.13 C.13 D.14 D.14 【解析解析】選選C.C.因?yàn)橐驗(yàn)?,A=A,A=A,所以所以ADEADEACBACB且且 相似比為相似比為12,12,所以面積比為所以面積比為14,14,所以所以S S ADEADES S四邊形 四邊形BCEDBCED的值為 的值為 13.13. 3 AEAD1 ABAC2 AEAD1 ABAC2 7.7.已知已知ABCABC的三邊長分別為的三邊長分別為5,12,13,5,12,13,與其

18、相似的與其相似的ABCABC 的最大邊長為的最大邊長為26,26,求求ABCABC的面積的面積S.S. 【解析解析】設(shè)設(shè)ABCABC的三邊依次為的三邊依次為BC=5,AC=12,AB=13,BC=5,AC=12,AB=13,則則 ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2,C=90,C=90. . 又又ABCABCABC,C=C=90ABC,C=C=90. . 又又BC=5,AC=12,BC=5,AC=12, BC=10,AC=24.BC=10,AC=24. S= ACS= ACBC= BC= 242410=120.10=120. BCACAB131 , BCA CA B262 1 2

19、 1 2 題組二題組二: :相似三角形中的重要線段相似三角形中的重要線段 1.1.兩個(gè)相似三角形對應(yīng)高之比為兩個(gè)相似三角形對應(yīng)高之比為1212，那么它們對應(yīng)中線之比，那么它們對應(yīng)中線之比 為為( )( ) A.12 B.13 C.14 D.18A.12 B.13 C.14 D.18 【解析解析】選選A.A.兩個(gè)相似三角形對應(yīng)高之比為兩個(gè)相似三角形對應(yīng)高之比為1212， 兩個(gè)相似三角形的相似比為兩個(gè)相似三角形的相似比為1212， 它們對應(yīng)中線之比為它們對應(yīng)中線之比為12.12. 2.2.如圖，電燈如圖，電燈P P在橫桿在橫桿ABAB的正上方，的正上方，ABAB在燈光下的影子為在燈光下的影子為CDCD， ABCDABCD，AB=2 mAB=2 m，CD=5 mCD=5 m，點(diǎn)，點(diǎn)P P到到CDCD的距離是的距離是3 m3 m，則