十F分布及其應(yīng)用

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦第十章F分布及其應(yīng)用學(xué)習(xí)要點第一節(jié) F分布第二節(jié) F分布的應(yīng)用方差的同質(zhì)性檢驗第三節(jié) F分布的應(yīng)用方差分析本章小結(jié)學(xué)習(xí)要點1理解方差分析的基本原理2熟練掌握方差分析的基本方法3熟練掌握不同實驗設(shè)計的方差分析方法4熟練掌握方差分析的全過程5了解二因素方差分析的原理6初步掌握SPSS中的方差分析操作第一節(jié)F分布研究A、B、C三種不同學(xué)校學(xué)生的閱讀理解成績找到一種解決的辦法，有人可能會以為，只要多次使用檢驗或檢驗，比較成對比較學(xué)校（或條件）即可。但是我們不會這樣來處理。因為檢驗或檢驗有其局限性。一、檢驗和檢驗的局限性當(dāng)研究中出現(xiàn)兩個以上的平均數(shù)時，用Z檢驗和檢驗會有以下一些不足。（

2、一）比較的組合次數(shù)增多如上所述，若把三所學(xué)校成對比較，則需對A校與B校，B校與C校，C校與A校做檢驗，這時我們所做的檢驗是三次而不是一次。如果一次研究10個學(xué)校，其檢驗數(shù)就會達(dá)到45個之多。事實上我們只需要一個可以讓我們同時處理兩種以上條件的單獨檢驗。（二）降低可靠程度因為對數(shù)據(jù)做得檢驗或檢驗越多，我們更容易犯型錯誤。在一個檢驗中，0.05，意味著有0.05的可能性犯型錯誤，即有1-=0.95的概率不犯型錯誤。如果我們做兩次檢驗，每次都為0.05的顯著性水平，那么不犯型錯誤的概率就變?yōu)?.950.950.90。此時犯型錯誤的概率則為1-0.900.10，即至少犯一次型錯誤的概率翻了一倍。若做1

3、0次檢驗的話，至少犯一次型錯誤的概率將上升到0.40（1-0.952），而10次檢驗結(jié)論中都正確的概率只有60%。所以說采用檢驗或檢驗隨著均數(shù)個數(shù)的增加，其組合次數(shù)增多，從而降低了統(tǒng)計推論可靠性的概率，增大了犯錯誤的概率。若想要若干檢驗的總顯著性水平仍為0.05的話，一種做法就是為每一獨立檢驗設(shè)置更為保守的顯著性水平。譬如，若進(jìn)行5次檢驗，為了使總的犯型錯誤的風(fēng)險仍為0.05，則每一個獨立檢驗的顯著性水平需設(shè)為p0.01（因為1-0.990.990.990.990.990.05）。另一種可替代的方法就是設(shè)計一種能使總顯著性水平始終0.05的單一檢驗，即方差分析。3缺少綜合或整體信息兩個以上的平

4、均數(shù)檢驗中若仍采用檢驗或檢驗都只提供了兩個組所提供的信息，而忽略了其余的綜合信息。然而在許多情況下這些被忽視的信息可能對檢驗結(jié)果產(chǎn)生更大的影響力。同時在十次檢驗之后所得到只是零散的信息，并非從總體來分析幾種不同條件的效果，也難以獲得幾種不同條件的直接答案。二、方差分析的含義與假設(shè)所謂方差分析（analysis of variance）就是對多個平均數(shù)進(jìn)行比較的一種統(tǒng)計方法，又稱變異數(shù)分析，即ANOVA。它與實驗設(shè)計緊密相聯(lián)，實驗設(shè)計不同，方差分析的方法也有所不同。以下三條假設(shè)在進(jìn)行方差分析時是非常關(guān)鍵的。否則易產(chǎn)生錯誤的統(tǒng)計結(jié)論。（一）總體分布的正態(tài)性方差分析與檢驗和檢驗一樣，也要求樣本必須來

5、自正態(tài)分布的總體。在心理與教育研究領(lǐng)域，大多數(shù)變量是可以假設(shè)其總體服從正態(tài)分布的。因此在一般進(jìn)行方差分析時并不要求檢驗總體的正態(tài)性。但是當(dāng)我們有確實的證據(jù)證明總體分布不正態(tài)時，就需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行一些處理，譬如采用某種方式進(jìn)行數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)分布后再作方法分析，或者可進(jìn)行非參數(shù)的方差分析。（二）各個實驗組的方差齊性方差分析要求各總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差相同。如若總體方差不一致，那么方差分析得出差異顯著結(jié)論時就無法進(jìn)行很好的回因分析。譬如，某校在實驗班和普通班進(jìn)行教學(xué)方法的實驗，以新方法施教于實驗班，以傳統(tǒng)方法施教于普通班。實驗結(jié)束后發(fā)現(xiàn)兩班成績差異非常顯著，然而這種差異究竟是教法不同造

6、成的，還是兩班學(xué)生原有學(xué)習(xí)水平不同引起的，我們無法回答這個問題。因此，方差分析前需對各樣本的方差做一致性檢驗，稱方差齊性檢驗，只有滿足了方差齊性的條件才可做方差分析。（三）變異具有加可性變異具有可加性是方差分析中的又一重要假設(shè)。眾所周知，影響事物的因素是多種多樣的，方差分析是將事物的總變異分解為各個不同變異來源，分解后的各部分變異是相互獨立，相加后又構(gòu)成總變異。三、方差分析的過程方差分析的過程有廣義與狹義之分。廣義的方差分析包括了方差的齊性檢驗，F(xiàn)檢驗和多重比較（逐對平均數(shù)的比較）。狹義的方差分析僅指F檢驗，其內(nèi)容有建立假設(shè)、計算檢驗值（變異的平方和、自由度、均方和F值）、統(tǒng)計決策和制作方差分

7、析表。第二節(jié) F分布的應(yīng)用方差的同質(zhì)性檢驗一、方差分析的基本原理假設(shè)從一個學(xué)習(xí)方法實驗中抽取了9名被試的學(xué)習(xí)成績，如表10-1所示。隨后又抽取了9名被試的學(xué)習(xí)成績，如表10-2所示。你能從這些數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)什么問題嗎？表10-1 第1次抽取結(jié)果表10-2 第2次抽取結(jié)果方法學(xué)生實驗成績方法學(xué)生實驗成績A6576A1744B11910107B62865C5465C3655首先，從以上數(shù)據(jù)可看出，不僅組與組之間存在不同，而且同一組內(nèi)部也存在著不同。組與組之間的差異稱組間變異（variation between classes），反映在各組的平均數(shù)不同。同一組內(nèi)部被試（個體）之間的差異稱組內(nèi)變異（vari

8、ation within class），反映在每一個人的分?jǐn)?shù)不同。其次，從組間變異看，表10-1的組間變異大于表10-2。如表10-1中A、B、C的組平均數(shù)與總平均數(shù)分別相差1、4、2分，表10-2中的三組平均數(shù)總平均差1分。再次，從看組內(nèi)變異看（各組原始分與組平均數(shù)比較），表10-1各組原始分與組平均基本差1分，10-2各組原始分與組平均數(shù)最大有4分之差。綜上所述，表10-1組間變異較大而組內(nèi)變異較小，表10-2組間變異較小而組內(nèi)變異較大。可見，組間變異的大小與組內(nèi)變異的大小并非正比關(guān)系。這一現(xiàn)象表明，如果組間變異相對較大，而組內(nèi)變異相對較小，則各組平均數(shù)的變異越明顯，即若組間變異與組內(nèi)變異

9、的比率越大，各組平均數(shù)的差異越大。因此，通過組間變異和組內(nèi)變異比率大小來推論幾個相應(yīng)平均數(shù)差異顯著性的思想就是方差分析的邏輯依據(jù)或基本原理。所以說，方差分析是將實驗中的總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異，并通過組間變異和組內(nèi)變異比率的比較來確定影響實驗結(jié)果因素的數(shù)學(xué)方法，其實質(zhì)是以方差來表示變異的程度。在方差分析中，引起組間變異的主要原因是實驗者所施加的實驗條件和隨機(jī)誤差，這種隨機(jī)誤差是由于一些偶然因素引起的。引起組內(nèi)變異的主要原因則是被試間的個體差異和實驗誤差等，也屬隨機(jī)因素的影響，因此也可看作是一種隨機(jī)誤差?？傋儺惖姆纸庖妶D10-1?？傋儺惤M間變異實驗條件隨機(jī)誤差組內(nèi)變異個體差異隨機(jī)誤差實驗誤

10、差圖10-1 總變異的分解圖如果組間與組內(nèi)變異均為隨機(jī)誤差時，二者的比率為1，即實驗因素的影響較小，由此推論總變異不存在差異。當(dāng)二者的比率較大時，則實驗因素產(chǎn)生影響的可能性增大。二、方差分析的基本過程（一）各變異的內(nèi)容與表達(dá)根據(jù)各變異的關(guān)系及方差分析可加性的特點，有總變異 = 組間變異 + 組內(nèi)變異變異（Variance，用V表示）即方差（S2），又稱均方差或均方（Mean Square，MS），其公式為其中，分子為離均差平方和，簡稱平方和，記為SS；分母為自由度，記為，所以總變異及各變異原因記為總變異的數(shù)學(xué)意義是每一原始分?jǐn)?shù)（X）與總平均數(shù)（）的離差，記為組間變異的數(shù)學(xué)意義是每一組的平均數(shù)（

11、）與總平均數(shù)的離差，記為組內(nèi)變異的數(shù)學(xué)意義是每一組內(nèi)部的原始分?jǐn)?shù)與其組平均數(shù)（）的離差，記為方差分析是一種參數(shù)檢驗方法，因此在進(jìn)行均數(shù)差異的檢驗時必須考慮作為參數(shù)檢驗應(yīng)具備的條件，即應(yīng)考慮不同總體的變異水平個體差異是否一致。只有在待檢驗的幾個總體的方差一致的前提下，才能根據(jù)差異檢驗的結(jié)果作出適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論，否則對差異原因就難以歸因，譬如究竟是實驗條件不同產(chǎn)生的影響，還是個體之間本身的差異造成的影響。對于樣本所來自的各個總體的方差是否一致的問題可以從兩方面著手。一是如果已積累了大量的經(jīng)驗，則可預(yù)先做出方差一致的判斷，進(jìn)行差異檢驗時可以假定幾個總體的方差相等。二是如果根據(jù)經(jīng)驗不足以判斷方差是否一致，可

12、以根據(jù)研究所搜集的資料樣本方差進(jìn)行統(tǒng)計分析，檢驗方差相等的假設(shè)是否成立。因此方差齊性檢驗就是檢驗各總體方差是否一致的統(tǒng)計方法。方差齊性檢驗（test of homogeneity of variance）的虛無假設(shè)是假設(shè)各個總體的方差相等（即無顯著差異）或是各個樣本方差來自相同的總體，其表達(dá)方式記為Ho：研究假設(shè)雖然不能保證所有的方差存在顯著差異，但可以假設(shè)至少有兩總體的方差存在顯著差異，只要有兩種總體方差或樣本方差不一致，虛無假設(shè)各總體方差相等就不成立了。二、方差齊性檢驗的方法檢驗多個總體方差一致性的方法很多，但是最常是哈特萊（Hartley）檢驗法。哈特萊檢驗法是檢驗這一假設(shè)的較好方法，它

13、借助于最大值來檢驗。所謂最大值就是把一系列方差中的最大方差與最小方差進(jìn)行比較的方法，即在虛無假設(shè)時，最大值分布的臨界值已由哈特萊計算出來形成了最大值理論分布表，見附表6。查Fmax時，需根據(jù)方差數(shù)目k及方差的自由進(jìn)行。其中，對例10-1的數(shù)據(jù)進(jìn)行方差齊性檢驗的過程與方法如下。1建立假設(shè)Ho：，即三個總體的個體差異無顯著差異Ha：至少有兩個總體的方差存在顯著差異。2計算統(tǒng)計量1）求各樣本的方差（1）（2）（3）（4）學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)成績（）A56753430160B111091191060604C14151713171490136418021282）求F最大值3比較與決策當(dāng)組數(shù)，自由度時，。因為，0

14、.05，差異不顯著，接受虛無假設(shè)，拒絕研究假設(shè)，說明三個總體的方差一致。第三節(jié) F分布的應(yīng)用方差分析一、單因素方差分析的意義方差分析是在實驗研究中產(chǎn)生的，由于一次實驗涉及的因素多少不一而分為單因素設(shè)計和多因素設(shè)計。所謂單因素設(shè)計（single factor design）就是從影響實驗結(jié)果的眾多因素中選取一個作為自變量，其他因素都加以控制的設(shè)計類型。分析單因素設(shè)計實驗結(jié)果的方法稱單因素方差分析，換言之，實驗所考察的自變量只有一個的實驗設(shè)計的方差分析。單因素設(shè)計是最簡單、最基本的實驗設(shè)計類型，其具體設(shè)計形式有完全隨機(jī)設(shè)計、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計和拉丁方設(shè)計，因此相應(yīng)的方差分析也就有完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析、

15、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析和拉丁方設(shè)計的方差分析。本章只介紹前兩種形式。二、完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析（一）完全隨機(jī)設(shè)計如例10-1，研究者欲研究學(xué)生在不同學(xué)習(xí)方法下的學(xué)習(xí)效果，隨機(jī)抽取各方面條件基本一致的學(xué)生18名，并隨機(jī)地將他們分為三組分別用一種學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)。經(jīng)過一段時間后，對不同學(xué)習(xí)方法的效果進(jìn)行統(tǒng)一測驗。這種實驗設(shè)計即為完全隨機(jī)設(shè)計（completely randomized design）。完全隨機(jī)實驗設(shè)計就是隨機(jī)地抽取研究對象并隨機(jī)將其分配至各種實驗條件進(jìn)行實驗的設(shè)計形式。換言之，就是每一隨機(jī)組分別接受一種實驗處理的設(shè)計。在完全隨機(jī)設(shè)計中由于被試是隨機(jī)抽取的，并隨機(jī)分組，因此一般認(rèn)為所分的

16、組是“等組”的。如果實驗結(jié)果出現(xiàn)組與組之間差異顯著，就可以認(rèn)為實驗處理的效應(yīng)顯著，亦即各種學(xué)習(xí)方法的學(xué)習(xí)效果確有不同。正因為抽樣的隨機(jī)性，各組之間是相互獨立的，所以這類設(shè)計也稱為獨立組設(shè)計或被試間設(shè)計。（二）完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析1樣本容量相等的方差分析各個樣本容量相等時意味著對于每一種實驗處理它們的被重復(fù)次數(shù)相同，如表10-3，每一種學(xué)習(xí)方法均重復(fù)了6次。其方差分析過程與上一節(jié)所介紹的方差分析基本方法完全一致。 2樣本容量不相等的方差分析在完全隨機(jī)的方差分析中，究者常常使各實驗處理組的被試數(shù)目相等。這本不需要，但卻能使計算稍微容易些。像獨立樣本t檢驗一樣，F(xiàn)檢驗也允許樣本容量不等。例10-2：在一項記憶實驗中，研究者將實驗對象分為三組分別用不同的記憶方式記憶英語單詞，實驗結(jié)果如表10-5所示。試問三種記憶方法有無顯著不同？表10-5 英文單詞不同復(fù)習(xí)方式的實驗結(jié)果記憶方法英語單詞記憶量（）A426191622831777B62527252018231383232C5232528312613335751535485841建立假設(shè)Ho：Ho：至少有兩種記憶方式所代表的總體平均成績存在顯著差異。2計算統(tǒng)計量1）求平方和總平方和： 處理平方和： 誤差平方和： 2）求自由度總自由度： 處理