2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)解析試卷(理科)(全國(guó)2卷

1、2020 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科) (新課標(biāo)) 一、選擇題： 本題共 12小題，每小題 5 分，共 60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一項(xiàng) 是符合題目要求的。1已知集合 U 2， 1，0，1，2， 3， A 1，0，1 ，B 1，2 ，則CU A B ()A. 2，3B 2， 2， 3C 2， 1，0， 3 D 2， 1，0，2，32 若 為第四象限角，則 ( )A cos2 0B cos2 0C sin2 0 D sin2 03 在新冠肺炎疫情防控期間， 某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)， 每天能完成 1200 份訂單的配貨， 由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加

2、配貨工作已 知該超市某日積壓 500 份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過 1600 份的概率為 0.05, 志 愿者每人每天能完成 50 份訂單的配貨， 為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率 不小于 0.95 ，則至少需要志愿者 ( )A 10 名B 18 名C 24 名D 32 名4北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所， 分上、中、下三層 上層中心有一塊圓形石板 (稱 為天心石)，環(huán)繞天心石砌 9 塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加 9 塊下一層的 第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多 9 塊，向外每環(huán)依次也增加 9 塊已知每層環(huán)數(shù)相同，且下 層比中層多 729 塊，則三層共有扇面形石板(

3、不含天心石) ( )A 3699 塊B 3474 塊C3402 塊D 3339 塊5若過點(diǎn) (2,1) 的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2xy3 0 的距離為 ()A 525C3545BD55556數(shù)列 an 中， a1 2， am n aman若 ak 1 ak 2ak 1015 5215 25 ，則 k()A2B3C4D5第3頁(yè)(共 19頁(yè))7如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 N ，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，A EB F8設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， E 兩點(diǎn)若C G22直線 x a 與雙曲線 C: x2 y2 1(a abODE

4、 的面積為 8，則 C 的焦距的最小值為0,b0)的兩條漸近線分別交于9A4BC16)D32設(shè)函數(shù) f (x)A是偶函數(shù)，且在B是奇函數(shù)，且在ln |2x 1|(12，1，2C是偶函數(shù)，且在D是奇函數(shù)，且在10 已知ABC 是面積為積為 16 ，11 若 2xln|2x 1| ，則 f (x)( ) 單調(diào)遞增1) 單調(diào)遞減1, 1) 單調(diào)遞增2, 1) 單調(diào)遞減9 3 的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球4O 的球面上若球 O 的表面則 O 到平面 ABC 的距離為 (B323 x 3 y ，則 ( )1) 0 B ln(y x 1)2yA ln(y x12 0 1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用)，

5、 足 ai且存在正整數(shù)m ai (i 1,2a1a2an ， C(k)C1D5的0AC ln |x y| 若序列 a1a2 anDln |x y| 00 ，1(i 1，2，) 成立，則稱其為 0 1 周期序列，并稱滿 期對(duì)于周期為 m 的 0 1序 列滿足 ai2，m ，使得 ai m ai (i 1，) 的最小 正整數(shù) m 為這個(gè)序列的周 1maiaimi1k(k 1，2， ， m 1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo) .下列周期為1 序列中，滿足 C k1 k 1,2,3,4 的序列是 ( )511010B11011C 10001D11001二、填空題： 本題共 4小題，每小題 5 分，共 20分。

6、13 已知單位向量 a ， b 的夾角為 45 ， ka b 與 a 垂直，則 k14 4 名同學(xué)到 3 個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去 1 個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少 安排 1 名同學(xué)，則不同的安排方法共有 種15 設(shè)復(fù)數(shù) z1 ， z2滿足| z1 | |z2| 2， z1 z2 3 i，則|z1 z2|16 設(shè)有下列四個(gè)命題：p1 ：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)p2 ：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面p3 ：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行p4 ：若直線 l 平面 ，直線 m 平面 ，則 m l 則下述命題中所有真命題的序號(hào)是 p1 p4 p1 p2 p2 p3

7、 p3 p4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟。 第 1721題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。2 2 217 （ 12 分） ABC 中， sin2 A sin2 B sin2C sinBsinC （1）求 A ；（2 ）若 BC 3，求 ABC 周長(zhǎng)的最大值18 （12 分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加為 調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的 200 個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單 隨機(jī)抽樣的方法抽取 20 個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù) （xi

8、， yi）（i 1，2， ， 20） ，其中 xi和 yi 分別表示第 i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算2020202020得xi60，yi1200，（xix）280 ，（yiy）29000，（xix）（yiy） 800i 1i1i1i1i1（1 ）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生 動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)） ；（2 ）求樣本 （xi， yi）（i 1，2， ，20） 的相關(guān)系數(shù)（精確到 0.01） ；（3 ）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大為提高樣本的代表性以獲得該 地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)

9、給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由n（xi x）（ yi y）附：相關(guān)系數(shù) r ni 1 n ， 2 1.414 nn22（xi x） （ yi y）i 1 i12219 （ 12 分）已知橢圓 C1:x2 y2 1（a b 0）的右焦點(diǎn) F 與拋物線 C2的焦點(diǎn)重合， C1的 ab中心與 C2的頂點(diǎn)重合，過 F且與x軸垂直的直線交 C1于A，B兩點(diǎn)，交 C2于C，D兩點(diǎn)，4且|CD | 34 |AB |3（1）求 C1 的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若 |MF | 5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程20 （ 12 分）如圖，已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面是正三角形， 側(cè)面

10、是 BB1C1C是矩形 M ，N分別為 BC ，B1C1的中點(diǎn)， P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交 AB于E，交 AC于F1）證明：AA1 / /MN ，且平面 A1 AMN 平面 EB1C1F ；AB ，求直線 B1E 與平面 A1AMN（2 ）設(shè)O為A1B1C1的中心，若AO / /平面 EB1C1F ，且AO 所成角的正弦值第5頁(yè)（共 19頁(yè)）221 （ 12 分）已知函數(shù) f （x） sin xsin2x 1）討論 f（x）在區(qū)間 （0, ） 的單調(diào)性；2）證明：333n4n 選修 4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （ 10 分）22 （ 10 分）已知曲線 C1，C2 的參數(shù)方程分別

11、為為參數(shù)）（1）將 C1 ， C2的參數(shù)方程化為普通方程；C1 : x2 x t 4cos ,2 （ 為參數(shù)），C2 :4sinyt（t3）設(shè) n N* ，證明： sin2 xsin2 2xsin24x sin2 2nx二）選考題：共 10分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做第 題計(jì)分。（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系設(shè)C1， C2的交點(diǎn)為 P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和 P 的圓的極坐標(biāo)方程 選修 4-5 ：不等式選講 （10 分）223 已知函數(shù) f（x） |x a2 | |x 2a 1|1 ）當(dāng) a 2時(shí)，求不等式 f x 4的解集；2

12、）若x 4，求 a 的取值范圍2020 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科） （新課標(biāo)）參考答案與試題解析一、選擇題： 本題共 12小題，每小題 5 分， 是符合題目要求的。共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一項(xiàng)1 已知集合 U ()A. 2， 32， 1，0 ，1，2， 3， A 1，0，1 ， B1，2 ，則CUB2， 2， 3C 2 ， 1，0，3 D2， 1， 0 ，2，3【思路分析】先求出A B ，再根據(jù)補(bǔ)集得出結(jié)論【解析】：集合 U2 ， 1，0，1，2，3， A1，0， 1 ，B1，2 ，則 A B 1,0,12，則 CUAB 2,3 .故選：AAB【總結(jié)與歸納】本題主要考查集

13、合的交并補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題D sin2 0 即可判斷2 若 為第四象限角，則 （ ）A cos2 0 B cos2 0C sin2 0思路分析】先求出 2 是第三或第四象限角或?yàn)?y 軸負(fù)半軸上的角，2k ，k Z ，則4k 2 4k ，【解析】： 為第四象限角，則 2k22 是第三或第四象限角或?yàn)?y 軸負(fù)半軸上的角， sin2 0 ，故選： D 【總結(jié)與歸納】本題考查了角的符號(hào)特點(diǎn)，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題3 在新冠肺炎疫情防控期間， 某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)， 每天能完成 1200 份訂單的配貨， 由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作已 知該超市某日

14、積壓 500 份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過 1600 份的概率為 0.05, 志 愿者每人每天能完成 50 份訂單的配貨， 為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率 不小于 0.95 ，則至少需要志愿者 （ ）A 10 名B 18 名思路分析】由題意可得至少需要志愿者為C 24 名1600 500 120018 名D 32 名50【解析】：第二天的新訂單超過 1600 份的概率為 0.05 ，就按 1600 份計(jì)算， 第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于 0.95 就按 1200 份計(jì)算， 因?yàn)楣究梢酝瓿膳湄?1200 份訂單，則至少需要志愿者為 1600 500 12

15、00 18 名，50故選： B 【總結(jié)與歸納】本題考查了等可能事件概率的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所， 分上、中、下三層 上層中心有一塊圓形石板 （稱 為天心石），環(huán)繞天心石砌 9 塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加 9 塊下一層的 第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多 9 塊，向外每環(huán)依次也增加 9 塊已知每層環(huán)數(shù)相同，且下 層比中層多 729 塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石） （ ）2，A 3699 塊B 3474 塊C 3402 塊D 3339 塊【思路分析】由題意可得從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成等差數(shù)列，且公差 d 9， a1 9，根據(jù)等 差數(shù)列的性質(zhì)即可求出 n

16、9 ，再根據(jù)前 n 項(xiàng)和公式即可求出【解析】：設(shè)每一層有 n 環(huán)，由題意可知從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成等差數(shù)列，且公差 d 9 ， a1 9 ，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 Sn，S2n Sn， S3n S2n成等差數(shù)列，22且(S3n S2n) (S2n Sn) n 為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前d，則n【解析】：由 a1 2，且 am n aman ， 取 m 1，得 an 1 a1an 2an ，d 729，則 n 9， 則三層共有扇面形石板 S3n S27 27 9 27 26 9 3402塊，故選： C 2【總結(jié)與歸納】 本題考查了等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用， 考查了分析問題解決問題的能力，

17、屬于中檔題5若過點(diǎn) (2,1) 的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線A 5B2 555 【思路分析】由已知設(shè)圓方程為 (x a)2C2(y a)2入點(diǎn)到直線的距離公式即可 【解析】：由題意可得所求的圓在第一象限，設(shè)圓心為 故圓的方程為 (x a) (y a) 故要求的圓的方程為 (x 5)2 (y 5)2 故所求圓的圓心為 (5,5) 或 (1,1)；0 的距離為 ( )D 4 552x y 3 35 52a2， (2,1) 代入，能求出圓的方程，再代(a,a) ，則半徑為 a， aa2 ，再把點(diǎn) (2,1)代入，求得 a 5或 1，1225或 (x 1)2(y 1)20故圓心到直線 2x y

18、3 0 的距離 d|2 5 5 3|22 12255或d|2 1 1 3|22 122 5 ；5；故選： B 【總結(jié)與歸納】 本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法， 值，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題6數(shù)列 an 中，A2求出圓心坐標(biāo)和半徑的a1 2 ， am n am an若 ak 1 ak 2ak 10B3思路分析】在已知數(shù)列遞推式中，取C4m 1 ，可得 an 1an15 5215 25 ，則 k ( )D52，則數(shù)列 an是以 2 為首項(xiàng)，以第11頁(yè)(共 19頁(yè))n 項(xiàng)和公式列式求解an 1an25，則數(shù)列 an 是以 2 為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列，則 ak 12 2k2k1

19、ak 1ak 2ak 10k15，即k4故選：Ck 1 102 (1 2 ) 211 k 2k 1 2151 2 2 2 2【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n 項(xiàng)和的求法，是中檔題7 如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 M ， 在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 N ，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ( )AEBFCGD H【思路分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進(jìn)一步求出圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 【解析】：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖： 根據(jù)三視圖和幾何體的的對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用， 這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的 點(diǎn)為 M ，在俯視圖中

20、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 N ， 所以在側(cè)視圖中與點(diǎn) E 對(duì)應(yīng)故選： A 總結(jié)與歸納】 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)： 三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換、 主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型228設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 x a與雙曲線 C: x2 y2 1(a 0,b 0)的兩條漸近線分別交于 abD ， E兩點(diǎn)若 ODE的面積為 8，則 C的焦距的最小值為 ( )A4B8C 16D 32思路分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出點(diǎn) D， E的坐標(biāo)，根據(jù)面積求出 ab 8，再根據(jù)基本不等式即可求出解析】：由題意可得雙曲線的漸近線方程為bx，a分別將 x a ，代入可得 即 D(a,b) ， E(a,

21、 b) ， 則S ODE 1a 2b abODE 22 2 2c a b 2abC 的焦距的最小值為 故選： B 【總結(jié)與歸納】本題考查了雙曲線的方程和基本不等式，以及漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題 9設(shè)函數(shù) f (x) ln|2x 1| ln|2x 1| ，則 f (x)()1(1 ， )單調(diào)遞增2111 ， 1 ) 單調(diào)遞減221 , 1) 單調(diào)遞增21 , ) 單調(diào)遞減2A是偶函數(shù)，且在B是奇函數(shù)，且在C是偶函數(shù)，且在D是奇函數(shù)，且在8，16，24b，當(dāng)且僅當(dāng)8，a b 2 2時(shí)取等號(hào)，【思路分析】求出 x 的取值范圍，由定義判斷為奇函數(shù)，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)變形，再判斷 2x 1內(nèi)層函數(shù) t |

22、 2x 1 |的單調(diào)性，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案 2x 12x 【解析】：由2x1011 00，得 x又 f ( x) ln | 2x f ( x) 為奇函數(shù)；1|ln|2x1| (ln|2x 1| ln|2x 1|) f (x)，由 f ( x) ln | 2x 1|ln|2x1|2x 1 2x 1 22x 1 2 x 11 2x 1ln |2x 1| 2x 1|22(x 12)2 x 1ln | |，2 x 11 1x22 x 1可得內(nèi)層函數(shù) t | 2x 1 |的圖象如圖，2 x 11 1 1 在 ( , 12) 上單調(diào)遞減，在 ( 21 ， 1) 上單調(diào)遞增， 則 (1 ， ) 上單調(diào)

23、遞減2又對(duì)數(shù)式 y lnt 是定義域內(nèi)的增函數(shù)，1由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得， f(x) 在( , 12 )上單調(diào)遞減故選： D 【總結(jié)與歸納】 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合， 考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法， 是中 檔題10已知 ABC是面積為 9 3 的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球 O的球面上若球 O的表面4積為 16 ，則 O 到平面 ABC 的距離為 ( )A 3B 3C 1D 322 【思路分析】畫出圖形，利用已知條件求三角形 ABC 的外接圓的半徑，然后求解 OO1 即可 【解析】：由題意可知圖形如圖： ABC 是面積為 9 3 的等邊三角形，可得3 AB2 9 3 ，4 4 4AB B

24、C AC 3 ，可得： AO13 3 ，32球 O 的表面積為 16 ， 外接球的半徑為： 4 R2 16 ，解得 R 2， 所以 O 到平面 ABC 的距離為： 4 3 1 【總結(jié)與歸納】 本題考查球的內(nèi)接體問題， 求解球的半徑， 以及三角形的外接圓的半徑是解 題的關(guān)鍵11若 2x 2yx3x3y ，則 ()A ln(y x1)0B ln(yx 1) 0C ln |x y|0Dln |x y| 0【思路分析】由2x2y3 x 3y，可得 2x3 x 2y 3 y ，令f(x)2x 3 x，則 f(x)在 R第15頁(yè)(共 19頁(yè))上單調(diào)遞增， 且 f (x) f(y) ，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得

25、x，y的大小關(guān)系， 結(jié)合選項(xiàng)即可判斷 【解析】：由 2x 2y 3 x 3 y，可得 2x 3 x 2y 3 y，令 f(x) 2x 3 x，則 f (x) 在 R上單調(diào)遞增，且 f (x) f(y)，所以 x y，即 y x 0 ，由于 y x 1 1，故 ln(y x 1) ln1 0 ，故選： A 總結(jié)與歸納】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性在比較變量大小中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題120 1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用 若序列 a1a2 an 滿足 ai 0 ，1(i 1，2，a1a21an ， C(k)mmaiai k (ki11，2， m 1) 是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo) .下列周期為5的01

26、序列中，滿足Ck1k51,2,3,4的序列是 ( )A11010B11011C 10001D11001) ，且存在正整數(shù) m ，使得 ai m ai(i 1，2， ) 成立，則稱其為 0 1周期序列，并稱滿 足 ai m ai (i 1,2 ) 的最小 正整數(shù) m 為這個(gè)序列的周 期對(duì)于周期為 m 的 0 1 序 列思路分析】分別為4 個(gè)選項(xiàng)中 k 1 ，2，3，4 進(jìn)行討論，若有一個(gè)不滿足條件，就排除；由題意可得周期都是5 ，每個(gè)答案中都給了一個(gè)周期的排列，若需要下個(gè)周期的排列，繼續(xù)寫出，如 【解析】：C 答案中的排列為 10001 10001 100011511ai ai1 (10000)

27、5i5551512ai ai2 (01010)5i1255：序列1101110111513ai ai1 (10011)對(duì)于 A 選項(xiàng)：序列11010 11010C ( 1 )C ( 2 )C ( 1 )對(duì)于 B 選i511 ，不滿足條件，排除；51 ，不滿足 C k 1 k 1,2,3,4 故排除 A ；551511，C(1)ai ai 1(00001)5i555151C(2)ai ai 2(00000)05i15151C(3)ai ai 3(00000)0，5i151511C(4)ai ai 4(10000)5i155對(duì)于 C 選項(xiàng)：序列10001 10001 10001對(duì)于 D 選項(xiàng)：序列

28、11001 11001符合條件，11 不滿足條件總結(jié)與歸納】本題考查序列的周期性及對(duì)5 個(gè)兩項(xiàng)乘積之和的求法，屬于中檔題、填空題： 本題共 4小題，每小題 5 分，共 20分。13 已知單位向量， b的夾角為 45 ， k思路分析】 由已知求得 解析】： 向量 a ，a b | a|b|b | cos45又 ka b 與 a 垂直，即 k 22，再由 kab 為單位向量，且2， k2|a，|2 k |a|2110 ，則 k(ka222b)2a與a 垂直，則 k 2 20，展開即可求得 k 值與a 垂直，可得 (ka ，b 的夾角為 45 ，0，故答案為：22【總結(jié)與歸納】 本題考查平面向量的數(shù)

29、量積運(yùn)算， 考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系， 是基礎(chǔ)題14 4 名同學(xué)到 3 個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1 個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排 1 名同學(xué)，則不同的安排方法共有 36 種【思路分析】 先從 4人中選出 2人作為一組有 C42種方法，再與另外 2 人一起進(jìn)行排列有 A33種方法，相乘即可【解析】：因?yàn)橛幸恍^(qū)有兩人，則不同的安排方式共有C42 A33 36 種故答案為： 36 【總結(jié)與歸納】本題考查排列組合及分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題15 設(shè)復(fù)數(shù) z1 ， z2滿足| z1 | |z2| 2， z1 z2 3 i，則|z1 z2| 2 3 【思路分析】利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和復(fù)

30、數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求解即可 【解析】：復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿足 |z1 | |z2 | 2 ， z1 z2 3 i ，所以 |z1 z2 | 2 ，|z1 z2 | (z1 z2 ) z1 z2 4 ，8 z1 z2 z1z2 4 得 z1z2 z1z2 4 2|z1 z2 |2 8 (z1z2 z1z2) 12 又|z1 z2| 0，故|z1 z2 | 2 3 故答案為： 2 3 【總結(jié)與歸納】 熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義、 復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式設(shè)解題的關(guān)鍵 16 設(shè)有下列四個(gè)命題：p1 ：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)p2 ：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面p3 ：若空間

31、兩條直線不相交，則這兩條直線平行p4 ：若直線 l 平面 ，直線 m 平面 ，則 m l 則下述命題中所有真命題的序號(hào)是 p1 p4 p1 p2 p2 p3 p3p4【思路分析】 根據(jù)空間中直線與直線， 直線與平面的位置關(guān)系對(duì)四個(gè)命題分別判斷真假即可 得到答案【解析】：設(shè)有下列四個(gè)命題：p1 ：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)根據(jù)平面的確定定理可得此命題 為真命題，p2 ：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面若三點(diǎn)在一條直線上則有無數(shù)平面，此命題為 假命題，p3 ：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行，也有可能異面的情況，此命題為假命題，p4 ：若直線 l 平面 ，直線 m 平面 ，

32、則 m l 由線面垂直的定義可知，此命題為真 命題；由復(fù)合命題的真假可判斷 p1 p4 為真命題， p1 p2 為假命題， p2 p3 為真命題， p3 p4 為真命題，故真命題的序號(hào)是：， 故答案為：，【總結(jié)與歸納】 本題以命題的真假判斷為載體， 考查了空間中直線與直線， 直線與平面的位 置關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題三、解答題： 共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟。 第 1721題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。2 2 217 （ 12 分） ABC 中， sin2 A sin2 B sin2C

33、sinBsinC （1）求 A ；（2 ）若 BC 3，求 ABC 周長(zhǎng)的最大值【思路分析】 （ 1）運(yùn)用余弦定理和特殊角的三角函數(shù)值，可得所求角；a，b，c，（2 ）運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)的和差公式， 結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 可得所求最大值22 因?yàn)?sin A sin B2sin Csin BsinC ， bc ，由正弦定理可得2 a2 b2 c222即為 b2 c2 a2bc ，b222 cabc由余弦定理可得cosA2bc2bc由 0 A ，可得A23解析】：（1 ）設(shè) ABC 的內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為1，2，2 ）解法一： 由題意可得 a 3 ，又 B C ，3可設(shè)

34、 Bd，6C6d ， d66由正弦定理可得3bc2 3 ，2 sin3sin Bsin C可得 b 2 3sin( 6 d) ，c 2 3sin( 6d)，則 ABC 周長(zhǎng)為a b c 3 2 3sin( d) sin( d)663 2 3cosd ，3 2 3(21cosd3sind 1223sind) ，2當(dāng)d 0，即B C 6時(shí)， ABC的周長(zhǎng)取得最大值 3 2 32解法二 （賀雷穎老師補(bǔ)解 ）：由（ 1）得 A 2 ，由題意可得 a 3 ， 3由余弦定理得a2 b22c 2bc cosCb222 c 2bc cos ，32可得 9 b2c2 bc2 b c bc,bc2 b c 29

35、bc ，43b c 29, b c2 12, b c2 3,a b c 3 2 3.4當(dāng)且僅當(dāng) b c 3時(shí)等號(hào)成立， ABC 的周長(zhǎng)取得最大值為 3 2 3【總結(jié)與歸納】 本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用， 考查三角函數(shù)的恒等變換和 圖象與性質(zhì)，考查方程思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題18 （12 分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加為 調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的 200 個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單 隨機(jī)抽樣的方法抽取 20 個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù) （xi， yi）（i 1，2， ， 20） ，其中 xi和 yi 分別表示第 i

36、個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算2020202020得xi60，yi1200，（xix）280 ，（yiy）29000，（xix）（yiy） 800i 1i1i1i1i1（1 ）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生 動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)） ；（2 ）求樣本 （xi， yi）（i 1，2， ，20） 的相關(guān)系數(shù)（精確到 0.01） ；（3 ）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大為提高樣本的代表性以獲得該 地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由n（xi x）（yi y）附：相

37、關(guān)系數(shù) r ni 1 n ， 2 1.414 n 2 n 2（xi x）2 （yi y）2i 1 i1思路分析】 （1）由已知數(shù)據(jù)求得 20 個(gè)樣區(qū)野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)，乘以 200 得答案； 2 ）由已知直接利用相關(guān)系數(shù)公式求解；3 ）由各地塊間植物覆蓋面積差異很大可知更合理的抽樣方法是分層抽樣20解析】：（1 ）由已知， yi 1200，i120 個(gè)樣區(qū)野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)為1 2020 i 1yi 1200 60 ，60該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為2080 ， （yi y）2 9000，i12022 )(xi x)2i1200 12000 ；20(xi x)( yi y) 800，

38、i1第17頁(yè)（共 19頁(yè)）ni1(xi x)( yi y)800n22 x) 2( yi y)2i180 9000800 2 2600 2 30.94 ；200 個(gè)地3 ）更合理的抽樣方法是分層抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì) 塊進(jìn)行分層抽樣理由如下：由（ 2 ）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)由于各 地塊間植物覆蓋面積差異很大， 從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大， 采用分層抽樣 的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性， 提高了樣本的代表性， 從而可以獲得該 地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)【總結(jié)與歸納】 本題考查簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣， 考查相關(guān)系數(shù)的求

39、法， 考查計(jì)算能力， 是基礎(chǔ)題 2219 （ 12 分）已知橢圓 C1:x2 y2 1（a b 0）的右焦點(diǎn) F 與拋物線 C2的焦點(diǎn)重合， C1的 ab中心與 C2的頂點(diǎn)重合，過 F且與 x軸垂直的直線交 C1于 A，B兩點(diǎn)，交 C2于C，D兩點(diǎn)， 4且 | CD | | AB | 3（1）求 C1 的離心率；（2）設(shè) M是C1與C2的公共點(diǎn)，若 |MF | 5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程【思路分析】（1）由 F為C1的焦點(diǎn)且 AB x軸，F(xiàn) 為C2的焦點(diǎn)且 CD x軸，分別求得 F 的坐標(biāo)和 |AB|，|CD |，由已知條件可得 p ， c ， a ， b的方程，消去 p，結(jié)合 a，b，c和

40、e 的關(guān)系，解方程可得 e的值；（2）由（ 1）用 c表示橢圓方程和拋物線方程，聯(lián)立兩曲線方程，解得M 的橫坐標(biāo)，再由拋物線的定義，解方程可得 c ，進(jìn)而得到所求曲線方程x 軸，可得 F (c,0) ，|AB|2b2a2設(shè) C2 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2 2px（ p0) ，因?yàn)?F 為 C 2 的焦點(diǎn)且 CDx軸，所以 F（2p， 0），|CD| 2p，解析】：（1 ）因?yàn)?F 為 C1 的焦點(diǎn)且 AB第#頁(yè)（共 19頁(yè)）22p24 2b 2 3a4因?yàn)?|CD| | AB | ， C1 ， C2的焦點(diǎn)重合，所以38b 2消去 p ，可得 4c ，所以 3ac 2b2，3a所以 3ac 2a2 2

41、c 2，設(shè) C1 的離心率為 e ，由 e c ，則 2e2 3e 2 0 ， a 11解得 e （ 2 舍去），故 C1 的離心率為 ； 22（2）由（ 1）可得 a 2c， b 3c， p 2c， 22x y 2所以 C1: 2 2 1，C2 :y2 4cx，4c 3c2聯(lián)立兩曲線方程，消去所以(3x 2c)( x 6c)y ，可得 3 x2 16cxx 2 c 或 x30，解得從而|MF | x 2p c 3 ，5，解得222 y12c20，6c舍去），12x方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，【總結(jié)與歸納】本題考查拋物線和橢圓的定義、 考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題20 （ 12

42、 分）如圖，已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面是正三角形， 側(cè)面是 BB1C1C是矩形 M ，N分別為 BC ，B1C1的中點(diǎn)， P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交 AB于E，交 AC于F （1 ）證明： AA1 / /MN ，且平面 A1AMN 平面 EB1C1F ；（2 ）設(shè)O為A1B1C1的中心，若AO / /平面 EB1C1F ，且AO AB ，求直線 B1E與平面 A1AMN 所成角的正弦值【思路分析】（ 1）推導(dǎo)出 B1N BM ，四邊形 BB1NM 為矩形， A1N B1C1 ，從而 BB1 / /MN ， 由此能證明 AA1 / /MN ，且平面 A1 AMN 平面 E

43、B1C1F （2 ）推導(dǎo)出 EF / /B1C1 / /BC ，從而 AO/PN ，四邊形 APNO為平行四邊形， A1N 3ON， AM 3AP ，PN BC B1C1 3EF ，直線 B1E 在平面 A1 AMN 內(nèi)的投影為 PN ，從而直線 B1E 與平面 A1AMN 所成角即為等腰梯形 EFC1B1中B1E與 PN 所成角，由此能求出直線 B1E與平 面 A1 AMN 所成角的正弦值【解析】：（1 ）證明： M ，N分別為 BC ， B1C1的中點(diǎn)，底面為正三角形，B1N BM ，四邊形 BB1NM 為矩形， A1N B1C1 ，BB1 / /MN ， AA1 / /BB1 ， AA1

44、 / / MN ，第15頁(yè)（共 19頁(yè)）MNB1C1， A1N B1C1， MN A1N N ，B1C1B1C1平面 A1AMN ，平面 EB1C1F ， 平面 A1 AMN 平面 EB1C1F ，綜上， AA1 / /MN ，且平面 A1 AMN 平面 EB1C1F （2）解法一 （賀雷穎老師補(bǔ)解 ）：連接 PN ，AO/ 平面 EB1C1F,平面 AA1MN 平面 EB1C1F PN,AO/ PN, ON / AP, 四邊形 OAPN為平行四邊形，設(shè) AB 6, O 為 A1B1C1 的中心，且 AO AB, AO PN 6,PM 2 3,當(dāng)點(diǎn) N 變化時(shí)，梯形 EB1C1F 形狀不變，故

45、直線 B1E 與平面 AA1MN 所成角不變， 所以不妨設(shè)，該三棱柱為直棱柱，則 MN 2 6,以MA,MB 為 x軸和 y 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) N a,0,b ，則 P 2 3,0,0,E 2 3,1,0 , PN a 2 3,0,b,2EB1 EB BB1 EB MN a 2 3,2, b , PN a 2 3 2 b2 36，取平面 AA1MN 得法向量為 n0,1,0 ,cos EB1,nEB1 nEB1 n2 1040 10第21頁(yè)（共 19頁(yè)）1010故直線 B1E 與平面 AA1MN 所成角的正弦值為 解法二 三棱柱上下底面平行，平面 EB1C1F與上下底面分別交于 B1C

46、1， EF ，EF / /B1C1 /BC，AO / /面 EB1C1F ， AO 面 AMNA1 ，面 AMNA1 面 EB1C1F PN ，AO / /PN ，四邊形 APNO 為平行四邊形，O 是正三角形的中心， AO AB ，A1N 3ON ， AM 3AP ， PN BC B1C1 3AP 3EF ，由（ 1）知直線 B1E 在平面 A1AMN 內(nèi)的投影為 PN ，則 PN B1C1 EH 3， B1H 1， B1E 10 ， sin B1EHB1HB1E1010直線 B1E與平面 A1AMN 所成角即為等腰梯形 EFC1B1中 B1E與 PN 所成角， 在等腰梯形 EFC1 B1中

47、，令 EF 1，過 E作 EH B1C1于 H ，【總結(jié)與歸納】 本題考查線線平行、 面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空 間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題221 （ 12 分）已知函數(shù) f （x） sin2 x sin 2x （1）討論 f（x）在區(qū)間 （0, ） 的單調(diào)性；2）證明：fx3 3 ；8；* 2 2 2 2 n 3 3）設(shè) n N* ，證明： sin2 xsin2 2xsin24x sin2 2nxn4n 思路分析】 （ 1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出， 2 ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可證明，3 ）利用（ 2）

48、的結(jié)論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可證明23解析】：（1 ） f （x） sin xsin2x 2sin xcosx ，2 2 2 2 2f x 2sin x 3cos x sin x 2 sin x 3 4sin x 22令 f （x） 0 ，解得， x2 cos 2x2sin x 3 21 cos2x 2sin x 1 ，或 x 2332 當(dāng) x (0, 3)或 (23 ，(23)時(shí)， f (x) 0 ，當(dāng) x (323 ) 時(shí)， f ( x) 0 ，f ( x) 在 (0, 3 ) ，）上單調(diào)遞增，） 上單調(diào)遞減證明：2）f (0)可 知 f （ x） 極小值3 3 ，8，f （ x） 極大值333833，8，f ( x) maxf ( x) 為周期函數(shù)，3