2020版高考文科數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)新方略課件41等差數(shù)列與等比數(shù)列

1、 考點(diǎn) 1 等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 1通項(xiàng)公式 等差數(shù)列：ana1(n1)d； 等比數(shù)列：ana1qn 1. 2求和公式 等差數(shù)列：Snn?a 1an? 2 na1n?n1? 2 d； 等比數(shù)列：Sna 1?1q n? 1q a 1anq 1q (q1) 例 1 (1)2019 全國(guó)卷記 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 已 知 S40，a55，則( ) Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSn1 2n 22n (2)2019 全國(guó)卷記 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 若 a35， a713，則 S10_. 【解析】 (1)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公

2、式，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué) 運(yùn)算 方法一 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d， ? ? ? ? ? S40 a55， ? ? ? ? ? 4a143 2 d0 a14d5， 解得 ? ? ? ? ? a13 d2， ana1(n1)d3 2(n1)2n5，Snna1n?n1? 2 dn24n.故選 A. 方法二 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d， ? ? ? ? ? S40 a55， ? ? ? ? ? 4a143 2 d0 a14d5， 解得 ? ? ? ? ? a13 d2， 選項(xiàng) A，a1215 3；選項(xiàng) B，a131107，排除 B；選項(xiàng) C， S1286，排除 C；

3、選項(xiàng) D，S11 22 3 2，排除 D.故 選 A. (2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，則由題意，得 ? ? ? ? ? a12d5 a16d13， 解得 ? ? ? ? ? a11 d2， 所以 S10101 109 2 2 100. 【答案】 (1)A (2)100 等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量 a1和公差 d(公比 q) (2)列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a1和 d(q)的方程(組)，然 后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量 . 對(duì)接訓(xùn)練對(duì)接訓(xùn)練 12019河北衡水中學(xué)摸底 已知等差數(shù)列an的公差為 2，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S10100，則 a7的值為( )

4、 A11 B12 C13 D14 解析：an的公差為 2，S10100，10a190100，a 1 1，a713，故選 C. 答案：C 22019湖南重點(diǎn)高中聯(lián)考 已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a11，公差 d0，a1，a2，a5成等比數(shù)列，則 S5( ) A15 B20 C21 D25 解析：由已知得 a 2 2a1a5，即(1d) 21(14d)，又 d0 得 d2，S5554 2 225，故選 D. 答案：D 考點(diǎn) 2 等差、等比數(shù)列的判定與證明 1證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法 (1)利用定義，證明 an1an(nN*)為一常數(shù)； (2)利用等差中項(xiàng)，即證明 2anan

5、1an1(n2) 2證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法 (1)利用定義，證明 an1 an (nN*)為一常數(shù)； (2)利用等比中項(xiàng)，即證明 a 2 nan1an1(n2) 例 2 2019廣東廣州調(diào)研測(cè)試 設(shè) Sn是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和， 已知 a37，an2an1a22(n2) (1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷 n， an，Sn是否成等差數(shù)列？ 【解析】 (1)證明：因?yàn)?a37，a33a22，所以 a23， 則 an2an11，取 n2，得 a22a11，解得 a11. 由 an2an11(n2)，得 an12(an11)，即 an1 an112

6、， 所以數(shù)列an1是首項(xiàng)為 a112，公比為 2 的等比數(shù)列 (2)由(1)知，an122n 12n，即 a n2 n1， 所以 Sn2?12 n? 12 n2n 1n2. 于是 nSn2ann(2n 1n2)2(2n1)0， 所以 nSn2an，即 n，an，Sn成等差數(shù)列. (1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差 (等比)數(shù)列，有通項(xiàng)公式法及前 n 項(xiàng)和 公式法，但不作為證明方法 (2)若要判斷一個(gè)數(shù)列不是等差 (等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù) 三項(xiàng)不成等差(等比)數(shù)列即可 (3)a 2 nan1an1(n2， nN *)是a n為等比數(shù)列的必要不充分條 件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為

7、0. 對(duì)接訓(xùn)練對(duì)接訓(xùn)練 3已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn2an3n(nN*) (1)求 a1，a2，a3的值 (2)設(shè) bnan3，證明數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式 an. 解析： (1)因?yàn)閿?shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn， 且 Sn2an3n(nN*) 所以 n1 時(shí)，由 a1S12a131，解得 a13， n2 時(shí)，由 S22a232，得 a29， n3 時(shí)，由 S32a333，得 a321. (2)證明：因?yàn)?Sn2an3n， 所以 Sn12an13(n1)， 兩式相減，得 an12an3， 把 bnan3 及 bn1an13，代入式， 得 bn12bn(nN*)，且 b

8、16， 所以數(shù)列bn是以 6 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列， 所以 bn62n 1， 所以 anbn362n 133(2n1) 考點(diǎn) 3 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列 等比數(shù)列 性質(zhì) (1)若 m，n，p，qN*，且 mn pq，則 amanapaq； (2)anam(nm)d； (3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍 成等差數(shù)列 (1)若 m，n，p，qN*，且 mnpq， (2)anamqn m； (3)Sm， S2m Sm， S3m S2m，仍成等比數(shù)列 (q 1) 例 3 (1)2019 長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè) (一)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù) 列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 S630，S9

9、70，則 S3_； (2)2019 福建泉州第十六中學(xué)月考 設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 為 Sn， 且滿足 S170， S180 且 q1)，由 題意可得 ? ? ? ? ? ? ? S6a 1?1q 6? 1q 30 S9a 1?1q 9? 1q 70 ， 得， 1q6 1q9 1q3 1q3q6 3 7，又由 q0，得 q 32，再由S3 S6 a1?1q3? 1q a1?1q6? 1q 1 1q3 1 3，得 S3 1 3S6 10. 優(yōu)解 由題意可得 (S6S3)2S3(S9S6)，即 (30S3)240S3， 即 S2 3100S39000，解得 S310 或 S390，又?jǐn)?shù)列 a

10、n的各項(xiàng) 均為正數(shù)，所以S30，S180,9(a9a10)0，a 100 且公差 d0,10 n15 時(shí)， Sn a n0， 又 1n8 時(shí)，0a n1Sn0， S9 a9最大 【答案】 (1)10 (2) S9 a9 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題的求解策略 (1)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào) 之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解 (2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列中“若 mnpq，則 amanapaq”這一性質(zhì)與求和公式Sn n?a1an? 2 的綜合應(yīng)用. 對(duì)接訓(xùn)練對(duì)接訓(xùn)練 4一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列 an，全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之 和的 4 倍

11、，前 3 項(xiàng)之積為 64，則 a1( ) A11 B12 C13 D14 解析：設(shè)數(shù)列an的公比為 q，全部奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別 記為 S 奇、S偶，由題意知，S奇S偶4S偶，即 S奇3S偶因?yàn)閿?shù)列 an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所以 qS 偶 S奇 1 3.又 a 1(a1q)(a1q 2)64.所以 a3 1q 3 64，故 a112. 答案：B 5 2019內(nèi)蒙古呼和浩特一中摸底 已知數(shù)列an是遞減的等比 數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn( ) A8 1 2n 3 B16 1 2n 4 C2n 38 D162n3 解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q，a2a38，a1a48

12、，又 a1a49 且數(shù)列an是遞減數(shù)列，a18，a41，q31 8，q 1 2， Sn 8? ? ? ? ? 1 1 2n 11 2 16 1 2n 4，故選 B. 答案：B 62019江蘇常州月考已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a2a3a108，則 S9_. 解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，a2a3a108， 3a 112d8，a14da58 3，S 99a524. 答案：24 考點(diǎn) 4 數(shù)列與新定義相交匯問(wèn)題 例 4 2019山西太原期末對(duì)于數(shù)列an，定義 Hn a12a22n 1a n n 為an的“優(yōu)值”， 已知數(shù)列an的“優(yōu)值”Hn 2n 1，記數(shù)列a n20的前 n

13、項(xiàng)和為 Sn，則 Sn 最小值為( ) A70 B72 C64 D68 【 解 析 】 數(shù) 列 an 的 “ 優(yōu) 值 ”Hn 2n 1 ， Hn a12a22n 1a n n 2n 1，a 12a22 n1a nn2 n1，2n 1a nn2 n1(n1)2n(n2)，a n4n2(n1)2n2(n2)，又 a14，滿足上式， an2n2(nN *)，a n202n18，由 ? ? ? ? ? an202n180， an1202n160 得 8n9， Sn的最小值為 S8S972， 故選 B. 【答案】 B 數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路 (1)閱讀審清“新定義” (2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，化歸、轉(zhuǎn)化到 “新定義”的相關(guān)知識(shí) (3)利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識(shí)，求解證明相關(guān)結(jié)論 . 對(duì)接訓(xùn)練對(duì)接訓(xùn)練 7 在數(shù)列an中，nN*，若a n2an1 an1an k(k 為常數(shù))，則稱an 為“等差比數(shù)列”，下列是