阿波羅尼斯圓

1、精選文庫(kù)阿波羅尼斯圓1、 適用題型1、 已知兩個(gè)線段長(zhǎng)度之比為定值；2、 過某動(dòng)點(diǎn)向兩定圓作切線，若切線張角相等；3、 向量的定比分點(diǎn)公式結(jié)合角平分線；4、 線段的倍數(shù)轉(zhuǎn)化；2、 基本理論（1） 阿波羅尼斯定理（又稱中線長(zhǎng)公式）設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，中線長(zhǎng)分別為,則：（2） 阿波羅尼斯圓一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”化簡(jiǎn)得：軌跡為圓心的圓（3） 阿波羅尼斯圓的性質(zhì)1、 滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比內(nèi)分和外分所得的兩個(gè)分點(diǎn)；2、 直線平分，直線平分的外角；3、4、5、 ；6、 若是切線，則與的交點(diǎn)即為；7、 若點(diǎn)做圓的不與重

2、合的弦，則平分；3、 補(bǔ)充說明1、 關(guān)于性質(zhì)1的證明 定理：為兩已知點(diǎn)，分別為線段的定比為的內(nèi)、外分點(diǎn)，則以為直徑的圓上任意點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)。證明：不妨設(shè)由相交弦定理及勾股定理得：從而同時(shí)在到兩點(diǎn)距離之比等于的曲線（即圓）上，而不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，因此圓上任意點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之比等于常數(shù)。2、 關(guān)于性質(zhì)6的補(bǔ)充 若已知圓及圓外一點(diǎn)，則可作出與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，只要過點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，連結(jié)與即交于點(diǎn)。反之，可作出與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)4、 典型例題例1 （教材例題）已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)、距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。解：設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則，整理即得到該曲線

3、的方程為：。例2 （2003北京春季文）設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值，求P點(diǎn)的軌跡. 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y） 由.化簡(jiǎn)得當(dāng)，整理得.當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)得x=0.所以當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)a=1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為y軸.例3 （2005江蘇高考數(shù)學(xué)）如圖，圓與圓的半徑都是1，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓.圓的切線PM、PN（M.N分別為切點(diǎn)），使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解：以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則（-2，0），（2，0），由已知，得因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以設(shè)，則，即，所以所求軌跡方程為（或）例4 （2006

4、四川高考理）已知兩定點(diǎn)、，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（ ）（A） （B） （C） （D）解：B例5 （2008江蘇高考），則的最大值為_.答案：變形：，則的最大值為_.答案：例6 設(shè)點(diǎn)依次在同一直線上，已知點(diǎn)在直線外，滿足，試確定點(diǎn)的幾何位置。解：先作線段關(guān)于2:1的阿氏圓，再作線段關(guān)于3:2的阿氏圓，兩圓交點(diǎn)即為點(diǎn)，同時(shí)該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也為所求。例7 （2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中線長(zhǎng)為，則該三角形面積的最大值為_.例8 （2013江蘇高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線設(shè)圓的半徑為，圓心在上（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程

5、；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍xyAlO解：（1）聯(lián)立：，得圓心為：C(3，2)設(shè)切線為：，d，得：故所求切線為：（2）設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由，知：，化簡(jiǎn)得：，即：點(diǎn)M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切故：1|CD|3，其中解之得：0a例9 圓不等且外離，現(xiàn)有一點(diǎn)，它對(duì)于所張的視角與對(duì)于所張的視角相等，試確定點(diǎn)的幾何位置答案：做圓的內(nèi)、外公切線，分別交連心線于點(diǎn)，以線段為直徑的圓，就是線段關(guān)于的阿氏圓，該圓上任意一點(diǎn)都符合要求。例10 在軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)？如果存

6、在，求出點(diǎn)、坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。解：假設(shè)在軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)，設(shè)、，其中。即對(duì)滿足的任何實(shí)數(shù)對(duì)恒成立，整理得：，將代入得：，這個(gè)式子對(duì)任意恒成立，所以一定有：，因?yàn)?，所以解得：、。所以，在軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)。例11 鐵路線上線段km，工廠到鐵路的距離km?，F(xiàn)要在、之間某一點(diǎn)處，向修一條公路。已知每噸貨物運(yùn)輸km的鐵路費(fèi)用與公路費(fèi)用之比為，為了使原料從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的費(fèi)用最少，點(diǎn)應(yīng)選在何處？解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，先求到定點(diǎn)、的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即：，整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：，令，得（舍去正值）即得點(diǎn)。下面證明此點(diǎn)即為所求點(diǎn)：自點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為，在線段上任取點(diǎn)，連接，再作于。設(shè)每噸貨物運(yùn)輸km的鐵路費(fèi)用為，則每噸貨物運(yùn)輸km的公路費(fèi)用為，如果選址在處，那么