正四面體二面角8種求法(學(xué)生版

1、二面角求法正方體是研究立體幾何概念的一個重要模型，中學(xué)立體幾何教學(xué)中，求平面與平面所成的二面角是轉(zhuǎn)化為平面角來度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方體也是探討求二面角大小方法的典型幾何體。筆者通過探求正方體中有關(guān)二面角，分析求二面角大小的八種方法：（1）平面角定義法；（2）三垂線定理法；（3）線面垂直法；（4）判定垂面法；（5）異面直線上兩點間距離公式法；（6）平行移動法；（7）投影面積法；（8）棱錐體積法。BAOl一、 平面角定義法此法是根據(jù)二面角的平面角定義，直接尋求二面角的大小。以所求二面角棱上任意一點為端點，在二面角兩個平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成角就是二面角的平面角，如

2、圖二面角-l-中，在棱l上取一點O，分別在、兩個平面內(nèi)作AOl，BOl，AOB即是所求二面角的平面角。O1OEADD1C1B1A1CB例題1：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。例題2：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F為A1D1、C1D1的中點，求平面EFCA與底面ABCD所成的二面角。HOGFEADD1C1B1A1CB二、 利用三垂線定理法BAOl此方法是在二面角的一個平面內(nèi)過一點作另一個面的垂線，再由垂足（或仍是該點）作棱的垂線，連接該點和棱上的垂足（或連兩垂足）兩點線，即可得二面角的平面角。如圖二面角-l-中

3、，在平面內(nèi)取一點A，過A作AB平面，B是垂足，由B（或A）作BO（或AO）l，連接AO（或BO）即得AO是平面的斜線，BO是AO在平面中的射影，根據(jù)三垂線定理（或逆定理）即得AOl，BOl，即AOB是-l-的平面角。OADD1C1B1A1CB例題3：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-AC-B1的大小。例題4：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1與平面BDC1所成的二面角。HGFOEADD1C1B1A1CB三、 線面垂直法此法利用直線垂直平面即該直線垂直平面內(nèi)任何直線的性質(zhì)來尋求二面角的平面角。方法是過所求二面角的棱上一點，作棱的垂面，與兩個平面相交所得兩條交

4、線的所成角即是二面角的平面角。lBAO如圖在二面角-l-的棱上任取一點O，過O作平面l，=AO，=BO，得AOB是平面角，l，lAO，lBO。AOB是二面角的平面角。例題5：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C-D的大小。HADD1C1B1A1CBlGEFHADD1C1B1A1CB例題6：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、DD1的中點，求平面BC1D與平面EC1F所成的二面角。四、 判定垂面法OADD1C1B1A1CB此法根據(jù)平面垂直的定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直，反之，若能判定兩個平面垂直，則這兩個平面所成

5、的二面角是900，無須尋作二面角的平面角。如圖若已知或證得a,a。則二面角-l-的大小即是900?？梢娕卸婷娲怪笔乔蠖娼堑囊环N特殊情況。例題7：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面BDC1與平面ACC1A1所成的二面角。VOO1HGADD1C1B1A1CB例題8：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1、O是上下底面正方形的中心，V是OO1的中點，求平面AVB與平面CVD所成的二面角。五、 異面直線上兩點間距離公式法此法按高中立體幾何課本P45頁例2證明的公式，求二面角大小，題意是已知兩條異面直線a、b上分別取點E、F，設(shè)AE=m，AF=n，求EF。如圖公式是：EF=（注意E

6、、F在AA1同側(cè)時取“-”，EF在AA1異側(cè)時取“+”號。）應(yīng)用該公式是求異面直線上兩點間的距離，abAGFnEmA1若把所求二面角當(dāng)作角，即是異面直線a、b和公垂線AA1確定的兩個平面所成的二面角，用函數(shù)觀念來理解公式中五個量，已知其中四個量即可求第五個量，若已知或易求知EF、d、m、n則求cos，即是所求二面角。例題9：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，H是BC棱上一點dmnHADD1C1B1A1CB且BH：BC=1：3，求二面角H-AA1-C1的大小。EOO1ADD1C1B1A1CB例題10：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1、O是上下底面正方形的中心，E是AB棱上一點，

7、且AE：EB=1：2，求二面角A1-O1O-E的大小。六、 平行移動法若所求二面角的棱線隱含未知或難尋作棱時，可采用將二面角中的一個平面平行移動到適當(dāng)位置，作得新的二面角大小與所求二面角相等，并可求得新的二面角大小。如圖將所求平面與平面所成的二面角中平面平行移動到平面位置處，即求與所成的二面角即是所求二面角大小。EGFO1OADD1C1B1A1CB例題11：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，G、E、F是所在棱的中點，求平面EFG與平面ABCD所成的二面角。GO1FOEADD1C1B1A1CB例題12：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1是上底面正方形的中心，E、F是AB、CD的中

8、點，求平面AO1D與平面EO1F所成的二面角。S射SD1C1B1FA七、 投影面積法E1在二面角一個平面內(nèi)若已知一個任意多邊形的面積為S，該多邊形在另一個平面內(nèi)投影面積為S射，該二面角大小可用來計算。如圖所示，此結(jié)論證明本文略。高中課本P68頁習(xí)題八中11題就是類似證明習(xí)題。此方法適合求二面角中易解得S、S射時用。EE1FA1D1DCBAC1B1例題13：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)在AA1上，且A1F：FA=1：2，求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角。例題14：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，求平面AED1與平面ABCD所成二面角。EADD1C1B1A1CB八、 棱錐體積法OBDACV此方法把所求二面角看作為求棱錐的一個側(cè)面與底面所成的二面角，在已知或易求棱錐底面面積、側(cè)面一個面面積和體積前提下，即可用錐體體積公式V=，來探求二面角大小。如圖已知三棱錐V-ABC中，VO是高線，若已得底面面積是S，AB=a，一個側(cè)面ABV面積是S1，體積是V，求二面角C-AB-V大小?，F(xiàn)設(shè)所求C-AB-V平面角是如圖中的VDO，ABV面積S1=，sinVDO=，VD=，利用棱錐體積公式，sinVDO=，即求