線性微分方程通解的結構

1、線性微分方程解的結構 第六節(jié)第六節(jié) 二、二階線性微分方程解的性質(zhì) 三、二階線性微分方程解的結構 第十二章第十二章 二、二階線性微分方程解的性質(zhì) 二階線性微分方程解的性質(zhì)二階線性微分方程解的性質(zhì) 性質(zhì) 1 (齊次線性方程解的疊加原理) 若函數(shù))( 1 xy與)( 2 xy是方程(6.1)的兩個 解,則 2211 yCyCy?也是(6.1)的解. ( 21, C C是任意常數(shù)） )1 . 6(0)()(? ?yxqyxpy )2 . 6()()()(xfyxqyxpy? ? 證證 yxqyxpy)()(? ? ? )()( 22112211 ? ?yCyCxpyCyC )( 2211 yCyCxq

2、? )()()()( 22221111 yxqyxpyCyxqyxpyC? ? ? ? ? ? 0 0 0? .)1 . 6( 2211 的解是方程yCyCy? 性質(zhì)2 .)2 . 6()()( )2 . 6()()1 . 6()( 的解必是方程的解，則 是方程的解，是方程若 xyxy xyxy ? ? ? )1 . 6(0)()(? ?yxqyxpy )2 . 6()()()(xfyxqyxpy? ? 性質(zhì)3 .)1 . 6()()( )2 . 6()(),( 21 21 的解必是齊次線性方程解，則 的均是非齊次線性方程若 xyxy xyxy ? )1 . 6(0)()(? ?yxqyxpy

3、 )2 . 6()()()(xfyxqyxpy? ? 性質(zhì)4 (非齊次線性方程 解的疊加原理) :)(是方程若xyi )()()(xfyxqyxpy i ? ?), 2, 1(ni? 是方程：的解，則)( 1 xyc i n i i? ? ., )()()( 21 1 均為常數(shù)的解，其中 n n i ii ccc xfcyxqyxpy ? ? ? ? ? 注 性質(zhì)1 性 質(zhì)4可推廣到n 階線性微分方 程的情形. 例2 是方程： 分別和已知xyx x y3cos 8 1 sin 2 21 ? ,cosxyy? ? xyy3cos? ? 的解， .2coscos的一個特解試求xxyy ? ? 解

4、)3cos(cos 2 1 2coscosxxxx? ,cos 1 xyyy? ?滿足：? ,3cos 2 xyyy? ?滿足： .3cos 16 1 sin 4 )( 2 1 21 為所求特解xx x yyy? 問題1 是否有類似的結論？ 三、二階線性微分方程解的結構 回顧： )3 . 6(0)( ?yxpy ,)4 . 6()3 . 6(的一個特解是的通解，為若 ? yY .)4 . 6(的通解是則 ? ? y Y 對于方程 )4 . 6()()(xqyxpy? )2 . 6()()()(xfyxqyxpy? ? 問題2 答: 的通解嗎？一定是)1 . 6( 2211 yCyCy? 不一定

5、. 的解， 例如： 是某二階齊次線性方程的解 , 也是齊次線性方程的解 并不是通解. 但是 則 為解決通解的判別問題 , 還需引入 函數(shù)的線性相關與線性無關概念. 定義12.1 )(,),(),( 21 xyxyxy n ?設是定義在 區(qū)間 I 上的n 個函數(shù), 使得 則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關；否則稱為 線性無關. 若存在不全為 0 的常數(shù) );,(,)1( 2 ? ? xeee xxx ， 例3 下列各函數(shù)組在給定區(qū)間上是線性相關 還是線性無關？ , 0 2 321 ? ?xxx ekekek若 , 0 2 2 321 ? ?xxx ekekek則 ”“ xd d , 0 4 2

6、321 ? ?xxx ekekek 得令 , 0 ?x ? ? ? ? ? ? ? ? 04 02 0 321 321 321 kkk kkk kkk . 0 321 ?kkk求解得 線性無關 解 );,(?x,sin,cos,1)2( 22 xx 故該函數(shù)組在任何區(qū)間 I 上都線性相關; 解 ),(,? ? I x , 1 , 1 321 ?CCC不全為零的常數(shù)? 特別地,對于兩個函數(shù)的情形：對于兩個函數(shù)的情形： 則函數(shù))( 1 xy 與)( 2 xy在 I 上線性無關. 定理 上連續(xù)，若在設,I)(),( 21 baxyxy? 常數(shù)常數(shù)或? )( )( )( )( 1 2 2 1 xy x

7、y xy xy 例如： 常數(shù)?x x x tan cos sin ? .cos,sin在任何區(qū)間上線性無關xx? 注注 可以證明： 的兩個解，則在 是二階齊次線性方程設 ,I )1 . 6()(),( 21 ba xyxy ? 上線性無關在,I)(),( 21 baxyxy? . , 0 )()( )()( )( 21 21 Ix xyxy xyxy xw? ? ? 1.齊次線性微分方程解的結構 定理 12.1 (齊次線性方程(6.1)的通解結構) 推論 階齊次線性微分是設nnixy i ), , 2 , 1()(? n個線性無關的特解，則此方程的通解為 0)()()( 1 ) 1( 1 )(

8、 ? ? ? yxpyxpyxpy nn nn ?方程： )()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn ? . 21 為任意常數(shù)，其中 n CCC? 如果 y1(x) 與 y 2(x) 是方程(6.1)的兩個線性無關的 特解, 那么 就是方程(6.1)的通解. 2211 yCyCy? .0解的解，并求此方程的通? ?yy 均是方程驗證：xyxysin,cos 21 ? ,tan 1 2 常數(shù)又?x y y ? .sincos 21 是所給方程的通解xCxCy? 驗證： 0coscoscos)(cos? ?xxxx 0sinsinsin)(sin? ?xxxx .sin,cos 21

9、 均是所給方程的解xyxy? 例5 定理12.2 (二階非齊次線性方程 (6.2)的解的結構) 設 * y 是二階非齊次線性方程 )2 . 6()()()(xfyxqyxpy? ? 2. 非齊次線性微分方程解的結構非齊次線性微分方程解的結構 的一個特解, Y是與(6.2)對應的齊次線性方程 (6.1) 的通解 , 那么 * yYy?是二階非齊次線性微分方 程(6.2)的通解. 證 由性質(zhì)3, 可知 )(*)(xyxYy?是非齊次線性方程 (6.2)的解, 又Y 中含有 兩個獨立任意常數(shù)，因而 也含有兩個獨立任意常數(shù)，因而它是 (6.2)的通解 . )(*)(xyxYy? 例例6 ).( )()

10、()( , 32 21 321 則該微分方程的通解為 常數(shù)，的三個不同解，且 是微分方程設 ? ? ? ? ? yy yy xfyxqyxpy yyy ;)( 32211 yyCyCA? );()()( 322211 yyCyyCB? ;)( 332211 yCyCyCC? .)()()( 3322211 yyyCyyCD? D 都是方程 已知 2 3 2 2 2 1 ,xeyxxyxy x ? 例7 22)1( 2 ? ?xxyyxyx .的解，求此方程的通解 解 (1) 由性質(zhì)3，知 x eyyyxyyy? 132121 , ：均是對應齊次線性方程 .的解 (2) 0)1(? ?yyxyx

11、 線性無關與 21 yy? 齊次線性方程(2)的通解為： 2211 yCyCY? x eCxC 21 ? 由定理12.2，知 原方程(1)的通解為： . 2 211 xeCxCyYy x ? , 2 1 常數(shù)又? x e x y y ? 求二階非齊次線性微分方程 (6.2) 的通解 的關鍵： 注注 1確定與其相對應的二階齊次線性方程 (6.1) 的兩個線性無關的解 ; 2求(6.2) 的一個特解. 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 解的疊加原理 函數(shù)組線性相關與線性無關 1、二階線性微分方程解的性質(zhì) 2、二階線性微分方程解的結構 思考題思考題 :, , 1 )()( 2 試求為齊次線性方程有一特解 對應有一特解設 x x xfyxPy? ? 的表達式；)(),()1(xfxP .)2(此方程的通解 思考題解答 由條件可得)1( 02)(2?xxP ? ?