53平面向量的數(shù)量積

1、5.3 5.3 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積 要點梳理要點梳理 1.1.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a a和和b b，它們的夾角為，它們的夾角為，則數(shù)量，則數(shù)量 叫做叫做a a與與b b的數(shù)量積（或內積），記的數(shù)量積（或內積），記 作作 . . 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 . . 兩個非零向量兩個非零向量a a與與b b垂直的充要條件是垂直的充要條件是 ，兩非，兩非 零向量零向量a a與與b b平行的充要條件是平行的充要條件是 . . | |a a|b b|cos |cos a ab b=|=|a a|b b|co

2、s |cos 0 0 a ab b=0=0 a ab b= =| |a a|b b| | 基礎知識基礎知識 自主學習自主學習 2.2.平面向量數(shù)量積的幾何意義平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積數(shù)量積a ab b等于等于a a的長度的長度| |a a| |與與b b在在a a方向上的投影方向上的投影 的乘積的乘積. . 3.3.平面向量數(shù)量積的重要性質平面向量數(shù)量積的重要性質 （1 1）e ea a= =a ae e= = ； （2 2）非零向量）非零向量a a，b b，a ab b ； （3 3）當）當a a與與b b同向時，同向時，a ab b= = ； 當當a a與與b b反向時，反向時，a

3、 ab b= = , , a aa a= = ，| |a a|=|= ; ; （4 4）cos cos = = ； （5 5）| |a ab b| | | |a a|b b|. |. | |b b|cos|cos | |a a|cos |cos a ab b=0=0 | |a a|b b| | -|-|a a|b b| | a a2 2 aa |b|a| ba 4.4.平面向量數(shù)量積滿足的運算律平面向量數(shù)量積滿足的運算律 （1 1）a ab b= = （交換律）；（交換律）； （2 2）（）（ a a）b b= = = = （ 為實數(shù)）；為實數(shù)）； （3 3）（）（a a+ +b b）c c=

4、 = . . b ba a a ab ba a b b a ac c+ +b bc c 5.5.平面向量數(shù)量積有關性質的坐標表示平面向量數(shù)量積有關性質的坐標表示 設 向 量設 向 量 a a = = （ x x 1 1 ， y y 1 1 ） ，） ， b b = = （ x x 2 2 ， y y 2 2 ） ， 則） ， 則 a ab b= = ，由此得到，由此得到 （1 1）若）若a a= =（x x，y y）, ,則則| |a a| |2 2= = 或或| |a a| | . . （2 2）設）設A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），則），則A

5、 A、B B兩點間兩點間 的距離的距離| |ABAB|=|=|ABAB|= |= . . （3 3）設）設a a= =（x x1 1，y y1 1），），b b= =（x x2 2，y y2 2），則），則a ab b . . x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2 x x2 2+ +y y2 2 2 21 2 21 )()(yyxx x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2=0=0 22 yx 基礎自測基礎自測 1.1.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),則則a a在在b b上的投影為（上的投影為（ ） A. A. B

6、. B. C. C. D.D. 解析解析 設設a a和和b b的夾角為的夾角為，| |a a|cos |cos =|=|a a| | C 13 5 13 5 65 65 |b|a| ba . 5 65 65 13 7)4( 73)4(2 22 2.2.若若| |a a|=2cos 15|=2cos 15，| |b b|=4sin 15|=4sin 15，a a，b b的夾角為的夾角為 3030，則，則a ab b等于等于（） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析 B 2 3 3 32 2 1 30cos|baba 3 60sin2 30cos30sin4 30cos15sin

7、415cos2 3.3.已知已知a a=(1,-3),=(1,-3),b b=(4,6)=(4,6)，c c=(2,3)=(2,3)，則，則a a（b bc c） 等于等于（） A.A.（2626，-78-78）B.B.（-28-28，-42-42） C.-52C.-52D.-78D.-78 解析解析 a a(b bc c)=(1,-3)=(1,-3)(4(42+62+63)=(26,-78).3)=(26,-78). A 4.4.向量向量m m=(=(x x-5,1),-5,1),n n=(4,=(4,x x),),m mn n，則，則x x等于（等于（） A.1A.1B.2B.2C.3C.

8、3D.4D.4 解析解析 由由m mn n=0=0，得，得4(4(x x-5)+-5)+x x=0=0，得，得x x=4.=4. D 5.5.（20092009江西）江西）已知向量已知向量a a=(3,1),=(3,1),b b=(1,3),=(1,3), c c=(=(k k,2),2),若（若（a a- -c c）b b, ,則則k k= = . . 解析解析 a a- -c c=(3,1)-(=(3,1)-(k k,2)=(3-,2)=(3-k k,-1),-1), ( (a a- -c c)b b，b b=(1,3),=(1,3), (3- (3-k k) )1-3=0,1-3=0,k

9、 k=0.=0. 0 0 題型一題型一 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積 【例例1 1】已知向量】已知向量a a=(cos =(cos x x,sin ,sin x x),), b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x . . (1) (1)求求a ab b及及| |a a+ +b b|;|; (2) (2)若若f f( (x x)=)=a ab b-|-|a a+ +b b| |，求，求f f( (x x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. . 2 3 2 3 2 x 2 x 4 3 ， 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 ,2cos 2 sin 2 3

10、sin 2 cos 2 3 cos) 1 (x x x x xba解解 xx xx x x x x x x xx cos, , |,cos|cos )sin(sincoscos sinsincoscos 2 43 2222 22 3 22 3 22 3 22 3 2 ）（|ba| )-,(ba 0 0 |a a+ +b b|=|=2cos 2cos x x. . (2)(2)由由(1)(1)可得可得f f( (x x)=cos 2)=cos 2x x-2cos -2cos x x=2cos=2cos2 2x x-2cos -2cos x x-1-1 =2(cos =2(cos x x- )-

11、)2 2- .- . x x ， cos cos x x11， 當當cos cos x x= = 時，時，f f( (x x) )取得最小值為取得最小值為- - ； 當當cos cos x x=1=1時，時，f f( (x x) )取得最大值為取得最大值為-1. -1. 2 1 2 3 2 1 4 , 3 2 1 2 3 探究提高探究提高 （1 1）與三角函數(shù)相結合考查向量的數(shù)）與三角函數(shù)相結合考查向量的數(shù) 量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型. .解答此解答此 類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公 式、向

12、量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三式、向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三 角恒等變換的相關知識角恒等變換的相關知識. . （2 2）求平面向量數(shù)量積的步驟：首先求）求平面向量數(shù)量積的步驟：首先求a a與與b b的夾角的夾角 為為, ,0 0，180180，再分別求，再分別求| |a a| |，| |b b| |， 然后再求數(shù)量積即然后再求數(shù)量積即a ab b=|=|a a|b b|cos|cos，若知道向量，若知道向量 的坐標的坐標a a=(=(x x1 1, ,y y1 1),),b b=(=(x x2 2, ,y y2 2),),則則a ab b= =x x1 1x x2 2+

13、+y y1 1y y2 2. . 答案答案(1)D(1)D(2)C(2)C 題型二題型二 利用平面向量的數(shù)量積解決垂直問題利用平面向量的數(shù)量積解決垂直問題 【例例2 2】已知向量】已知向量a a=(cos(-=(cos(-),sin(-),sin(-),),b b= = （1 1）求證：）求證：a ab b； （2 2）若存在不等于）若存在不等于0 0的實數(shù)的實數(shù)k k和和t t，使，使x x= =a a+(+(t t2 2+3)+3)b b, , y y=-=-k ka a+ +t tb b，滿足，滿足x xy y，試求此時，試求此時 的最小值的最小值. . ), 2 (cos( ), 2

14、sin( t 2 tk (1)(1)證明證明 a ab b=cos(-=cos(-)cos( -)cos( -)+sin(-)+sin(-) ) sin( -sin( -)=sin )=sin cos cos -sin -sin coscos=0.=0. a ab b. . （2 2）解解 由由x xy y得得x xy y=0,=0, 即即a a+ +（t t2 2+3+3）b b（- -k ka a+ +t tb b）=0=0， -k ka a2 2+ +（t t3 3+3+3t t）b b2 2+ +t t- -k k（t t 2 2+3+3）a ab b=0=0， -k k| |a a|

15、 |2 2+ +（t t3 3+3+3t t）| |b b| |2 2=0.=0. 又又| |a a| |2 2=1=1，| |b b| |2 2=1=1， -k k+ +t t3 3+3+3t t=0=0，k k= =t t3 3+3+3t t. . 故當故當t t= = 時，時， 有最小值有最小值 . . 2 2 . 4 11 ) 2 1 (3 3 22 232 t t t tt tt t tk 2 1 t tk 2 4 11 探究提高探究提高 （1 1）兩個非零向量互相垂直的充要條）兩個非零向量互相垂直的充要條 件是它們的數(shù)量積為零件是它們的數(shù)量積為零. .因此，可以將證兩向量的因此，可

16、以將證兩向量的 垂直問題，轉化為證明兩個向量的數(shù)量積為零垂直問題，轉化為證明兩個向量的數(shù)量積為零. . （2 2）向量的坐標表示與運算可以大大簡化數(shù)量積的）向量的坐標表示與運算可以大大簡化數(shù)量積的 運算，由于有關長度、角度和垂直的問題可以利用運算，由于有關長度、角度和垂直的問題可以利用 向量的數(shù)量積來解決，因此，我們可以利用向量的向量的數(shù)量積來解決，因此，我們可以利用向量的 坐標研究有關長度、角度和垂直問題坐標研究有關長度、角度和垂直問題. . 知能遷移知能遷移2 2 已知平面向量已知平面向量a a=(- , ),=(- , ),b b=(- ,-1).=(- ,-1). (1) (1)證明：

17、證明：a ab b; ; (2) (2)若存在不同時為零的實數(shù)若存在不同時為零的實數(shù)k k、t t, ,使使x x= =a a+(+(t t2 2- 2)- 2)b b, , y y=-=-k ka a+ +t t2 2b b, ,且且x xy y，試把，試把k k表示為表示為t t的函數(shù)的函數(shù). . (1) (1)證明證明 a ab b= ( ,-1)= ( ,-1) a ab b. . 2 1 2 3 ) 2 3 , 2 1 (3 , 0) 1( 2 3 )3() 2 1 ( 3 (2)(2)解解 x xy y,x xy y=0,=0, 即即a a+(+(t t2 2-2)-2)b b（-

18、 -k ka a+ +t t2 2b b）=0.=0. 展開得展開得- -k ka a2 2+ +t t2 2- -k k( (t t2 2-2)-2)a ab b+ +t t2 2( (t t2 2-2)-2)b b2 2=0,=0, a ab b=0,=0,a a2 2=|=|a a| |2 2=1,=1,b b2 2=|=|b b| |2 2=4,=4, -k k+4+4t t2 2（t t2 2-2-2）=0,=0,k k= =f f( (t t)=4)=4t t2 2 ( (t t2 2-2).-2). 題型三題型三 向量的夾角及向量模的問題向量的夾角及向量模的問題 【例例3 3】

19、（1212分）已知分）已知| |a a|=1|=1，a ab b= = ，（，（a a- - b b） （a a+ +b b）= = ， 求：（求：（1 1）a a與與b b的夾角；的夾角； （2 2）a a- -b b與與a a+ +b b的夾角的余弦值的夾角的余弦值. . 解解 （1 1）（a a- -b b）（a a+ +b b）= = ， |a a| |2 2-|-|b b| |2 2= = ， 又又|a a|=1|=1，|b b|= |= 3 3分分 設設a a與與b b的夾角為的夾角為， 則則cos cos = = 0 0 180 180,=45=45. 6. 6分分 2 1 2

20、1 2 1 2 1 . 2 2 2 1 | 2 a , 2 2 2 2 1 2 1 | ba ba 5 5分分 （2 2）（a a- -b b）2 2= =a a2 2-2-2a ab b+ +b b2 2 | |a a- -b b|=|=8 8分分 （a a+ +b b）2 2= =a a2 2+2+2a ab b+ +b b2 2=1+2=1+2 |a a+ +b b|= ,|= , 設設a a- -b b與與a a+ +b b的夾角為的夾角為 ，1010分分 則則cos =cos =1212分分 , 2 1 2 1 2 1 21 . 2 2 , 2 5 2 1 2 1 2 10 . 5

21、5 2 10 2 2 2 1 ( |ba|b-a| b)ab)-(a 探究提高探究提高 （1 1）求向量的夾角利用公式）求向量的夾角利用公式coscosa a，b b = .= .需分別求向量的數(shù)量積和向量的模需分別求向量的數(shù)量積和向量的模. . （2 2）利用數(shù)量積求向量的模，可考慮以下方法）利用數(shù)量積求向量的模，可考慮以下方法. . | |a a| |2 2= =a a2 2= =a aa a; ;| |a ab b| |2 2= =a a2 22 2a ab b+ +b b2 2; ; 若若a a=(=(x x, ,y y) )，則，則| |a a|= .|= . |ba ba 22 y

22、x 知能遷移知能遷移3 3 已知已知| |a a|=4,|=4,|b b|=8,|=8,a a與與b b的夾角是的夾角是120120. . (1) (1)計算：計算：| |a a+ +b b|;|;|4|4a a-2-2b b|;|; (2) (2)當當k k為何值時，為何值時，( (a a+2+2b b)()(k ka a- -b b) )？ 解解 由已知，由已知，a ab b=4=48 8(- )=-16.(- )=-16. （1 1）|a a+ +b b| |2 2= =a a2 2+2+2a ab b+ +b b2 2 =16+2 =16+2(-16)+64=48,(-16)+64=4

23、8, | |a a+ +b b|=4 .|=4 . 2 1 3 |4|4a a-2-2b b| |2 2=16=16a a2 2-16-16a ab b+4+4b b2 2 =16=1616-1616-16(-16)+4(-16)+464=364=316162 2, , |4|4a a-2-2b b|=16 .|=16 . （2 2）若）若( (a a+2+2b b)()(k ka a- -b b),),則則( (a a+2+2b b)()(k ka a- -b b)=0,)=0, k ka a2 2+ +（2 2k k-1-1）a ab b-2-2b b2 2=0.=0. 1616k k-16-16（2 2k k-1-1）-2-264=064=0，k k=-7.=-7. 3 方法與技巧方法與技巧 1.1.數(shù)量積數(shù)量積a ab b中間的符號中間的符號“”不能省略，也不能用不能省略，也不能用 “”來替代來替代. . 2.2.要熟練類似（要熟練類似（ a a+ +b b)()(s sa a+ +t tb b)= )= s sa a2 2+( +( t t+ +s s) ) a ab b+ +t tb b2 2的運算律（的運算律（ 、s s、t tR R）