知識(shí)講解-余弦定理-基礎(chǔ)

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦余弦定理編稿：李霞審稿：張林娟【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法；2.熟記余弦定理及其變形形式，會(huì)用余弦定理解決兩類基本解三角形問題；3.通過三角函數(shù)，余弦定理，向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系，理解事件之間的聯(lián)系與辨證統(tǒng)一的關(guān)系.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：學(xué)過的三角形知識(shí)1.中（1）一般約定：中角A、B、C所對(duì)的邊分別為、；（2）；（3）大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊，即；等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，即；（4）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要點(diǎn)詮釋：初中討論的三角形的邊角關(guān)系是解三角形的基本依據(jù)要點(diǎn)二：余弦定理及其證明三角形

2、任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：余弦定理的推導(dǎo)已知：中，及角，求角的對(duì)應(yīng)邊.證明：方法一：向量法（1）銳角中（如圖），即： (*)同理可得：,要點(diǎn)詮釋：（1）推導(dǎo)（*）中，與的夾角應(yīng)通過平移后得到，即向量的起點(diǎn)應(yīng)重合，因此與的夾角應(yīng)為，而不是.（2）鈍角三角形情況與銳角三角形相同。（3）對(duì)于直角三角形中時(shí)，,，也滿足余弦定理。方法二：解析幾何方法利用兩點(diǎn)間距離公式這里我們只討論銳角三角形的情形，對(duì)于直角三角形和鈍角三角形的情形的討論相同。如圖所示建立坐標(biāo)系.則點(diǎn)，由、兩點(diǎn)間的距離可知，即整理得到.余弦定理的變形公式：要點(diǎn)三：利用余弦定理解三角形1.利

3、用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角；已知三角形的三條邊，求其三個(gè)角。要點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一.2.解斜三角形的基本問題：已知條件解法解的情況一邊和兩角（例如a,B,C)1利用A+B+C=180，求A2應(yīng)用正弦定理求b,c唯一解兩邊和夾角（例如a,b,C）1應(yīng)用余弦定理求邊c2應(yīng)用正弦定理求a,b中較短的邊所對(duì)的角（該角一定是銳角）3利用A+B+C=180，求第三個(gè)角.唯一解三邊（例如a,b,c)法一:1、應(yīng)用余弦定理先求任意兩個(gè)角2用A+B+C=180，求第三個(gè)角法二:1、應(yīng)用余弦定理求a

4、,b,c中最長(zhǎng)邊所對(duì)的角2、應(yīng)用正弦定理求余下兩個(gè)角中的任意一個(gè)（該角一定是銳角）3、利用A+B+C=180，求第三個(gè)角唯一解兩邊及其中一邊的對(duì)角（例如a,b,A)此類問題首先要討論解的情況1應(yīng)用正弦定理，求另一邊的對(duì)角（即角B）2、利用A+B+C=180，求第三個(gè)角3、應(yīng)用正弦或余弦定理求第三邊兩解、一解或無解要點(diǎn)詮釋：對(duì)于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時(shí)要注意對(duì)解的討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來對(duì)解進(jìn)行討論。此外，有的時(shí)候還要對(duì)邊角關(guān)系（例如，大邊對(duì)大角）進(jìn)行討論從而舍掉不合理的解。要點(diǎn)三：利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

5、余弦定理、正弦定理與三角形中的三角變換結(jié)合在一起，運(yùn)用三角函數(shù)的變換公式進(jìn)行三角函數(shù)式的變形轉(zhuǎn)化，在三角形中，解決有關(guān)含有邊角關(guān)系的問題時(shí)，可以運(yùn)用余弦定理完成邊角互化，通過變形轉(zhuǎn)化成三角形三邊之間的關(guān)系，判斷三角形的形狀.判斷三角形形狀有兩條思考路線：其一是化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三個(gè)角之間的關(guān)系式；其二是化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系式，兩種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理.【典型例題】類型一：余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1已知中，、，求中的最大角。【思路點(diǎn)撥】首先依據(jù)大邊對(duì)大角確定要求的角，然后用余弦定理求解.【解析】三邊中最大，其所對(duì)角最大，根據(jù)余弦定理：，故中的最

6、大角是.【總結(jié)升華】1.中，若知道三邊的長(zhǎng)度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理時(shí)，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知中, , , 求角.【答案】根據(jù)余弦定理：，【變式2】在中，角所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為，若，求的各角的大小【答案】設(shè)，根據(jù)余弦定理得：，；同理可得；【高清課堂：余弦定理376695題一】【變式3】在中，若，則角等于（）.A. B. C. D. 或【答案】，類型二：利用余弦定理判斷三角形的形狀例2在ABC中，判斷這個(gè)三角形的形狀.【思路點(diǎn)撥】判斷一個(gè)三角形的形狀，可由三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為

7、邊”.【解析】應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得，所以,化簡(jiǎn)得a2=b2+c2. 所以ABC是直角三角形.【總結(jié)升華】恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵. 若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.舉一反三：【變式1】在ABC中，若2cos Bsin Asin C，則ABC的形狀是_【答案】等腰三角形由題設(shè)和正、余弦定理得2，化簡(jiǎn)得a2b20，即ab.【高清課堂：余弦定理376695題六】【變式2】三角形ABC中滿足下列條件；試判斷三角形的形狀?！敬鸢浮坷糜嘞叶ɡ淼?，化簡(jiǎn)得，所以三角形為等腰三角形類型三：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例3在ABC中，a、b、c分別是A、B、C

8、的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值.【思路點(diǎn)撥】因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.【解析】a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60.解法一：在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=.解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB.=sinA=.【總結(jié)升華】解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.舉一反