拉格朗日乘數(shù)法

1、1. 應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，求下列函數(shù)的條件極值：（1）f(,)x2y2,若 xy 10;x y（2） f ( x, y, z,t )xyzt, 若 xyztc4 （其中 x, y, z,t ,0, c 0 ）；（3） f ( x, y, z)xyz ，若 x2y 2z21, xy z0 .解 (1) 設(shè) L( x, y,)x 2y2( xy1) 對 L 求偏導(dǎo)數(shù) ,并令它們都等于0,則有Lx2x0,L y2 y0,Lzxy10.解之得xy1 ,1.由于當(dāng) x, y時(shí) ,f.故函數(shù)必在唯一穩(wěn)定點(diǎn)處2111取得極小值 ,極小值f (,2).22(2) 設(shè) L (x, y, z, t,)xy zt(

2、 xyzt c 4 ) 且Lx1yzt0,L y1xzt0,Lz1xyt0,Lt1xyz0,Lxyzt c40,解方程組得 xyztc. 由于當(dāng) n 個(gè)正數(shù)的積一定時(shí),其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯一穩(wěn)定點(diǎn) (c, c ,c, c)取得最小值也是極小值,所以極小值 f(c, c ,c, c)=4c .(3) 設(shè) L( x, y, z,u)xyz( x 2y2z21) u( xy z) ,并令Lxyz2xu0,L yxz2yu0,Lzxy2zu0,Lx 2y2z210,Luxyz0,解方程組得x, y, z的六組值為 :12111x1xxxxx6666661121, y22y, y, y,

3、 yy.66666621121z1zzzzz666666又 f (x, y, z) xyz 在有界閉集( x, y, z) | x 2y 2z21, xy z0上連續(xù) ,故有最值 .因此 ,極小值為f ( 1 , 1 ,2 )f (2 ,1 , 1 )31 ,6666666極大值為f (1 ,1 , 2 )f ( 2 ,1 ,1 )31 .66666662.(1) 求表面積一定而體積最大的長方體；（2）求體積一定而表面積最小的長方體。解：（ 1）設(shè)長方體的長、寬、高分別為x, y, z ，表面積為 a 2(a 0) ，則體積為 f ( x, y, z)xyz ，限制條件為 2( xyyz xz

4、) a2。設(shè) L( x, y, z, )xyz 2(xyyzxz) a 2 L xyz2( yz)0,并令L yxz2( xz)0,L zxy2( xy)0,L2(xyyzxz)a 20,解得 xyza。6因此求長方體體積有最大值，且穩(wěn)定點(diǎn)只有一個(gè)，所以最大值故表面積一定而體積最大的長方體是正立方體.f ( a , a , a )a 3。66666（2）設(shè)長方體的長、 寬、高分別為 x, y, z，體積為 V ,則表面積f ( x, y, z)2( xyyzxz) ,限制條件 :xyzV .設(shè) L( x, y, z,)2(xyyzxz)(xyzV )L x2( yz)yz0,并令L y2( x

5、z)xz0,解得 xyz3 VL z2( xy)xy0,LxyzV0,故體積一定而表面積最小的長方體是正立方體.3.求空間一點(diǎn) ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 AxByCzD0 的最短距離 .解 : 由 題 意 , 相 當(dāng) 于 求 f (x, y, z)d 2( x x0 ) 2( y y0 ) 2( z z0 ) 2 在 條 件AxByCz D0 下的最小值問題 .由幾何學(xué)知 ,空間定點(diǎn)到平面的最短距離存在 .設(shè) L( x, y, z, )f ( x, y, z)( AxByCzD ) 且Lx2(xx0 )A0,(1)L y2( yy0 )B0,(2)Lz2(zz0 )C0,(3)

6、LAxByCzD0,(4)由(1),(2),(3) 得 xx0A, yy0B , zz0C .222代入 (4) 解得2( Ax0By0Cz0D).A2B 2C 2所以( x x0 ) 2( y y0 ) 2(z z0 ) 21 2 ( A2B 2C 2 )Ax0By0Cz0D4A2B 2C 2故 dAx0By0Cz0DA2B 2C 2為所求最短距離 .4.:在n 個(gè)正數(shù)的和為定值條件x1 x2xna下 ,這 n 個(gè)正數(shù)的乘積x1 x2 xn的證明最 大 值 為 an. 并 由 此 結(jié) 果 推 出 n 個(gè) 正 數(shù) 的 幾 何 中 值 不 大 于 算 術(shù) 中 值nnn x1 x2xnx1x2nx

7、n .證: 設(shè) f ( x1 , x2 ,xn ) x1x2xn ,L( x1 , x2 ,xn , )f (x1 , x2 ,xn )( x1x2xna) , ( x1 , x2 , , xn0) ,Lx1x1 x2xn x10,Lx2x1 x2xn x20,a解得 x1x2xnLxnx1x2xn xn0,nLx1x2xn a0,(4)由題意知 ,最大值在唯一穩(wěn)定點(diǎn)取得 .f ( a , a , a )n所以 f 最大an .nnnn故nx1 x2xnn a nax1x2xnn nnn因此 n x1 x2xnx1x2xn .n5.設(shè) a1 , a2 ,an 為已知的 n 個(gè)正數(shù)，求nf (

8、x1 , x2 ,xn )ak xkk 1在限制條件x2x2x2112n下的最大值。n解先求 f 在條件xi2a2 (0a1) 下的條件最大值。為此，設(shè)i1nnxk2a 2 )(0 a 1)L(x1 , x2 ,xn , )ak xk(k 1k 1Lxkak2 xk0(k1,2, n)令Lnxka 20，k1解得n1xkak a /(ak ) 2 )(k 1,2, n),k11n1(ak2 ) 2 .2ak 1此時(shí)，有nn1ak xka(ak2 ) 2 .k1k 1nn1n于是， f 在條件xk2a 2 下的最大值為 a(ak2 ) 2 .故 f 在條件xk21 下的最大值為k 1k1k 1supn1n1ak2 ) 2ak2 ) 2 .(0a1 k 1k1（注此題也可用柯西不等式，方法更簡。）6求函數(shù)f (x1, x2 ,xn )x12x22xn2在條件nak xk1(ak0, k1,2, n)k 1下的最小值。解設(shè)nL ( x1 , x2 ,xn ,)f (x1 , x2 ,xn )(ak xk 1 ),k1Lxk2xkak0(k1,2, , n)令n, 解得Lak xk10k 1nak2 ) 1 ak ,nak2 ) 1 (kxk (2(1,2, n),k1k1n 維