2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 三角形的內(nèi)切圓教案

1、復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入 1.什么是三角形的外接圓？ 2.什么叫三角形的外心?外心有什么性質(zhì)？ 圓的內(nèi)接三角形 三角形的外接圓 三角形的外心 A B C O 經(jīng)過三角形三個(gè)頂經(jīng)過三角形三個(gè)頂 點(diǎn)的圓叫做點(diǎn)的圓叫做三角形 的外接圓, 三角形外接圓的圓三角形外接圓的圓 心叫做心叫做三角形的外 心，這個(gè)三角形叫，這個(gè)三角形叫 做做這個(gè)圓的內(nèi)接三 角形。 1。三邊垂直平分線的交點(diǎn) 2。到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等 三角形外心 的性質(zhì) 思 考 一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一 塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大 呢？ 合作探究合作探究 將上面的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 作圓，使它和已知三角形 的各邊都相切 已知： A

2、BC 求作： I使它與ABC的各邊都相切 作法分析: A B C I 探究1 作法：作法：1.作作ABC, ACBABC, ACB的平分線的平分線 BM和CN,交點(diǎn)為I. 2.過點(diǎn)I作IDBC,垂足為 D. 3.以以I為圓心為圓心,ID為半徑作為半徑作 I,I就是所求作的圓 . A B C I D M N 這樣的圓可以作出幾個(gè)呢 ?為什么?. 與ABC三邊都相切的圓可以作出一個(gè) ,并且只能作一個(gè). 與三角形三邊都相切的圓 叫做三角形的內(nèi)切圓.這 個(gè)三角形叫做圓的 外切三 角形.內(nèi)切圓的圓心叫做三 角形的內(nèi)心. A B C I D 圓的外切三角形 三角形的內(nèi)切圓 三角形的內(nèi)心 1.位置特征:內(nèi)心

3、是三角形三條角平分線的交點(diǎn), 在三角形內(nèi)部 2.數(shù)量特征:內(nèi)心到三角形三邊的距離相等, 都等于內(nèi)切圓的半徑 三角形內(nèi)心 的性質(zhì) 分別作出銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形的內(nèi)切圓,并說明 與它們內(nèi)心的位置情況? 畫一畫 1.如圖1，ABC是O的 三角形。 O是ABC的 圓， 點(diǎn)O叫ABC的 ， 它是三角形 的交點(diǎn)。 外接 內(nèi)接 外心 三邊中垂線 2.如圖2，DEF是I的 三角形， I是DEF的 圓， 點(diǎn)I是 DEF的 心， 它是三角形 的交點(diǎn)。 A B C O 圖1 I D E F 圖2 外切 內(nèi)切 內(nèi) 三個(gè)角平分線 D E F G .O 3. 如上圖，四邊形DEFG是O的 四邊形， O是四邊

4、形DEFG的 圓. 內(nèi)切 外切 判斷題： 1、三角形的內(nèi)心到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 2、三角形的外心到三角形各邊的距離相等 3、等邊三角形的內(nèi)心和外心重合 4、三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部 5、菱形一定有內(nèi)切圓 6、矩形一定有內(nèi)切圓 錯(cuò) 錯(cuò) 對(duì) 對(duì) 錯(cuò) 對(duì) （2）若A=80 ，則BOC = 度。 （3）若BOC=100 ，則A = 度。 解: 130 20 （1）點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心， BOC=180 (1 3) = 180 (25 35 ) 例1 如圖，在ABC中，點(diǎn)O是內(nèi)心， （1）若 ABC=50， ACB=70，求BOC的度數(shù) A B C O =120 ) 1 ( 3 2 4 同理

5、3= 4= ACB= ?70 =35 2 1 2 1 1= 2= ABC= ?50= 25 2 1 2 1 理由： 點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心， 1 3 = （ABC+ ACB） 2 1 1= ABC， 3= ACB 2 1 2 1 = 180 （ 90 A ） 2 1 = （180 A ） 2 1 = 90 + A 2 1 = 90 A 2 1 答： BOC =90 + A 2 1 （4）試探索： A與BOC之間存 在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由。 A B C O ) 1 ( 3 2 4 在OBC中， BOC =180 （ 1 3 ） 應(yīng)用遷移應(yīng)用遷移 解法一：設(shè)AF=x (cm), 則AE=x (c

6、m) CD=CE=ACAE=13x BD=BF=AB AF=9x 由 BD+CD=BC可得 （13x）+（9x）=14 解得 X=4 因此 AF=4 cm BD=5 cm CE=9 cm A D C B O F E x 13x x 13x 9x 9x 例1.如圖,ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切 于點(diǎn)D、E、 F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求 AF,BD,CE的長(zhǎng)。 13 9 解法二: 設(shè)AF=Xcm, CE=Ycm,BD=Zcm, 則 AE=AF=Xcm ,CE=CD=Ycm, BD=BF=Zcm 依題意得方程組 x+y=13 y+z=14 x+z=9 解得

7、: X=4 Y=9 Z=5 。 、 、 的長(zhǎng)分別是 、 、 cm cm cm BD CE AF 594 x x y y z z 13 9 練習(xí).如圖,在ABC中C=90 0, A和B的平分線交 于點(diǎn)P,又PEAB于E,若BC=2,AC=3,則AEBE=-. B C A P E 提示: 設(shè)AE=x BE=y PE=r,則 x+r=3 y+r=2 在RtABC中 BC2+AC2=AB2 13,13?yxAB 又x+r+y+r=5 , 2 13 5? ? r 2 113 , 2 113? ? ? ?yx 3?xy 例2.如圖, O內(nèi)切于ABC,切點(diǎn)分別為D,E,F.若BC=a, AB=c,AC=b.

8、 O半徑為r, 求證: ?cbarS ABC ? ? 2 1 )1 ( )( 2 1 r O,90,)2( 0 cbaACBABC?半徑的則圓若中 A B C O E F A B C O b a c b a c D E F D 作業(yè)：.如圖, O內(nèi)切于ABC,切點(diǎn)分別為D,E,F.若BC=a, AB=c,AC=b. O半徑為r, 求證: ?cbarS ABC ? ? 2 1 )1 ( )( 2 1 r O,90,)2( 0 cbaACBABC?半徑的則圓若中 A B C O E F A B C O b a c b a c D E F D （1）圖 （2）圖 如圖，四邊形ABCD是O的外切四邊形

9、, 切點(diǎn)分別為L(zhǎng)， M，N，P。圖中有哪幾對(duì)相等的線段？探究 AB+CD與 AD+BC的數(shù)量關(guān)系. A D L M N P O C B 由切線長(zhǎng)定理得 AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC 即 AB+ CD = AD+BC 探究探究2 2 LB=MB ， DN=DP， NC=MC AL=AP， 由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？ 圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的 和相等 A D O C B 圓的外切四邊形的性質(zhì)： 比較圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)： 圓的內(nèi)接四邊形：角的關(guān)系 圓的外切四邊形：邊的關(guān)系 練習(xí)練習(xí) 1. 1.已知圓外切四邊形已知圓外切四邊形ABCD ABCD 中，中， AB AB：BC

10、BC：CD=4CD=4：3 3：2 2，它的，它的 周長(zhǎng)為24cm24cm。則 AB= AB= ，BC= BC= ； CD= CD= ，DA= DA= 。 A D O C B 8cm 6cm 4cm 6cm 2.等腰梯形各邊都與等腰梯形各邊都與 O相切， O的直徑為6cm，等腰梯形的腰 等于等于8cm，則梯形的面積為 _。 8 6 8 48cm2 結(jié)論:RtABC(C=90 0)的外接圓半徑 2 c R ? RtABC(C=90 0)的內(nèi)切圓半徑 )( 2 1 cbar? )( 2 適用于任何三角形 cba S r ? ? ? B A C a c b o 練習(xí)練習(xí) 1.如圖，ABC中中,ABC

11、=50,ABC=50,ACB=75,ACB=75 , 點(diǎn)點(diǎn)O是是O的內(nèi)心，求的內(nèi)心，求 BOC的度數(shù)。 A O C B 解：點(diǎn)O是O的內(nèi)心 OBC=1/2ABC=25 OCB=1/2ACB=37.5 BOC=1802537.5 =117.5 2.2.如圖,I是RtRtABCABC的內(nèi)切圓, ,切點(diǎn)為D,E,F,D,E,F,若AF, AF, BE BE長(zhǎng)是方程 的兩根 , ,則 03013 2 ?xx._? ?ABC S A B C E F D 。 I 提示:設(shè)I的半徑r,AFBE AF=10,BE=3, AC=10+r,BE=3+r (10+r) 2+(3+r)2=132 r=2 AC=12

12、BC=5 SABC=30 3.已知:如圖,RtABC的內(nèi)切圓為I,AC=90 0,BIC=1050, AB=8.(1)求ABC的周長(zhǎng),(2)求I的半徑. A B C I E F D 分析 (2)方法1：代數(shù)法 設(shè)CD=CE=x,AE=AF=y,BD=BF=z 則 x+y=AC y+z=AB x+z=BC (+)-求出x 2 1 43 4CDBD?rr? rBCACABS ABC )( 2 1 ? ? 方法2:面積法 方法3: I的半徑r=x 方法4:BC+AC=AB+2r BCACAB BCAC r ? ? ? 例3.在ABC中,E是內(nèi)心,A的平分線和ABC的外接圓相 交于點(diǎn)D,求證:DE=DB A B C D E ( 1 2 3 4 5 練習(xí).已知如圖,O內(nèi)切于ABC,切點(diǎn)為D,E,F, B=120 0, AB=3,AC=7,BC=5,求O的半徑 O B F D A E C 提示:連結(jié)OD,OB,則ODBC O是ABC的內(nèi)切圓 切點(diǎn)分別為D,E,F,則 BF=BD CD=C