62知識講解_導數(shù)的幾何意義_基礎(chǔ)1

1、導數(shù)的幾何意義 X 【學習目標】 1. 理解導數(shù)的幾何意義。 2. 理解導數(shù)的全面涵義。 3. 掌握利用導數(shù)求函數(shù)圖象的切線的斜率。 4. 會求過點(或在點處)的切線方程。 【要點梳理】 要點一、導數(shù)幾何意義 1. 平均變化率的幾何意義一一曲線的割線 函數(shù)y f(X)的平均變化率 X y f(x2) f(xi) 的幾何意義是表示連接函數(shù)y f (X)圖像上兩點割 X1 線的斜率。 如圖所示，函數(shù)f(X)的平均變化率 匸一f-(X1)的幾何意義是：直線 AB的斜率。 X2 X1 Xa Xb X2 X1 事頭上，kAB f (X2)f (Xi) 換一種表述: 曲線上一點 P(X0, yo)及其附近

2、一點Q(X0 X, yoy), 經(jīng)過點P、 Q作曲線的割線 PQ, 則有kpQ (yo y) yo (Xo X) Xo X 要點詮釋: 根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。 2. 導數(shù)的幾何意義一一曲線的切線 如圖1,當巳(Xn，f(Xn)( n 1,2,3, 4)沿著曲線f(x)趨近于點P(X0,f(X0)時，害熾PPn的變化趨勢是 我們發(fā)現(xiàn)，當點 什么? Pn沿著曲線無限接近點 P即 XT 0時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線 PT稱為曲線在點 P處的切線. 定義：如圖, 當點 Q(X0X, y0y)沿曲線無限接近于點 卩匕。), 0時，割線PQ的極限位置直

3、線PT叫做曲線在點P處的切線。 也就是: 當 X 0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。 : X 即：k 佃lim f (X0X)f(X) X 0 X X 0 f (Xo)。 要點詮釋：(1)曲線上一點切線的斜率值只與該點的位置有關(guān)。 (2 )切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在 X X0處的導數(shù)。 (3 )曲線的切線的斜率的符號可以刻畫函數(shù)的增減性。 若曲線y f(X)在點P(X0, f(X0)處的導數(shù)不存在，但有切線，則切線與 X軸垂直。 f (Xo) 0，切線與X軸正向夾角為銳角，f(x)瞬時遞增；f (Xo) 0，切線與X軸正向夾角為鈍角, f(X)瞬時遞減；f (Xo) 0，切線與X軸零度角，瞬

4、時無增減。 (4)曲線的切線可能和曲線有多個公共點; 為什么要用割線的極限位置來定義切線，而不說“與曲線只有一個公共點的直線叫做切線？” 過去我們定義圓的切線就是“與圓有且只有一個公共點的直線”，這個定義符合圓、橢圓等一類曲線， 那么，能否對任何曲線 C都用“與C有且只有一個公共點”來定義C的切線呢？如圖1-1-2-1的曲線C是我 們熟知的正弦曲線 y=sin X的一部分，直線12顯然與曲線C有唯一公共點 M，但我們不能說直線12與曲線C 相切；而直線11盡管與曲線C有不止一個公共點，但我們可以說直線1 1是曲線C在點N處的切線。 要點二、曲線的切線 (1 )用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的

5、方法步驟: 求出切點(X0, f(x0)的坐標； 求出函數(shù)y f (x)在點Xo處的導數(shù)f (xo) 得切線方程yf (xo)f (x)(x Xo) (2)在點(X0,f(X0)處的切線與過點(X0, yo)的切線的區(qū)別。 在點(x0, f(x0)處的切線是說明點(x0, f (x0)為此切線的切點；而過點(X0, yo)的切線，則強調(diào)切線 是過點(xo, yo)，此點可以是切點，也可以不是切點。因此在求過點(xo, yo)的切線方程時，先應(yīng)判斷點 (Xi, f (Xi)， (X0, yo)是否為曲線f(X)上的點，若是則為第一類解法，若不同則必須先在曲線上取一切點 求過此切點的切線方程yyj

6、f (X1)(X X1)，再將點(xo，yo)代入，求得切點(捲，f)的坐標，進而 求過點(Xo，yo)的切線方程。 要點三、導數(shù)的概念 導函數(shù)定義： 由函數(shù)f(x)在X=Xo處求導數(shù)的過程可以看到，當時，f (Xo)是一個確定的數(shù)，那么，當X變化時，便是X的 一個函數(shù)，我們叫它為 f(x)的導函數(shù).記作：f(X)或y , 即：f(X) y lim f(X X) f(x) X o 要點詮釋: 函數(shù)f(x)在點Xo處的導數(shù)f (Xo)、導函數(shù)f(X)之間的區(qū)別與聯(lián)系。 (1)函數(shù)在一點處的導數(shù) f (Xo)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常 數(shù)，不是變數(shù)。 (2)函

7、數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任一點X而言的，也就是函數(shù) f(x)的導函數(shù)。 (3)函數(shù)f(X)在點Xo處的導數(shù)f(Xo)就是導函數(shù)f(X)在X Xo處的函數(shù)值。 導函數(shù)也簡稱導數(shù)，所以 卜別與-H 貞工疵=趾捷的導a I導厲ft 所以求函數(shù)在一點處的導數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導函數(shù)，再計算這點的導數(shù)函數(shù)值。 導函數(shù)求法： (2) 由導數(shù)的定義可知，求函數(shù) y f(x)的導數(shù)的一般方法是: .求函數(shù)的改變量y f(x x) f(x)。 f(x X) f(x) o X .取極限，得導數(shù)y/ = lim 。 x o X .求平均變化率Y X 要點四、導數(shù)的定義的幾種形式： 割線的極限即為切線，即為導數(shù)，從

8、這個幾何意義上看導數(shù)式可以有多種表達形式，如: y limf(x X) f(x)；(或: X o yf(xo) lim f(x) g X Xo y lim f(X)f(X X)； y iimf(x x) f (x)； X o2X o X Xo 要點詮釋：只要是 X 0時，極限式所表示的是割線的斜率(或其若干倍) ，就能表示為導數(shù)式。 【典型例題】 類型一、求曲線的切線方程 【高清課堂：導數(shù)的幾何意義 385147例11 例1.曲線的方程為 y X2 1，那么求此曲線在點 P (1, 2)處的切線的斜率，以及切線的方程 【解析】 利用導數(shù)的幾何意義，曲線在點P(1, 2)處的切線的斜率等于函數(shù)y

9、 X21在X 1處的導 數(shù)值，再利用直線的點斜式方程寫出切線方程 y Ix1 2, 由y X2 1得y(X2 1) 2x，所以曲線在點 P處的切線斜率為k 過點P的切線方程為y 22(x 1)，即y 2x. 【總結(jié)升華1 求曲線上一點處切線的步驟: 求函數(shù) 由點斜式寫出直線方程：y y0 f (x0)(x 時導數(shù)不存在)時，由切線定義知：切線方程為： y=f(x)在點x X0處的導數(shù)，即曲線 y=f(x)在P(X0, f(x0)處切線的斜率。 X0)；如果y=f(x)在P (Xo, f(X0)的切線平行于y軸(此 X Xo . 舉一反三： 【變式】已知函數(shù)f(x) = x2 +3,則f (x)

10、在(2 , f(2)處的切線方程為 【答案】 2 f (x) = x + 3, Xo= 2 2 f (2) = 7,A y= f (2 + x) f (2) = 4 A x+ ( x) y = 4+A x. lim = 4.即 f (2) = 4. xx 0 x 又切線過(2,7)點，所以f (x)在(2 , f(2)處的切線方程為y 7= 4(X 2) 即 4x y 1 = 0. 【高清課堂：導數(shù)的幾何意義 385147例2】 例2求曲線yx3經(jīng)過點P(1,1)的切線方程. 【解析】本題要分點P(1,1)是切點和P(1,1)不是切點兩類進行求解. 若點P(1,1)是切點，由y x3得y3x2

11、 則k 3，于是切線方程為 y 1 3(x 1)，即 y 3x 2 ; 32 若點P(1,1)不是切點，設(shè)切點為(xo,Xo ):則切線率k y 3xo，所以3x0 xo3 1xo 1 333 解之得xo ,所以k ,所以切線方程是 y 1- (x 1)，即y x 2 444 【總結(jié)升華】 求切線方程，首先要判斷所給的點是否是切點。若是，可用求切線方程的步驟求解; 點，寫出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點坐標，從而得到切線方程。 舉一反三： 若不是，可設(shè)出切 【變式1】已知：函數(shù)f(x) x3 3x，經(jīng)過點(2,2)作函數(shù)圖象的切線，求：切線的方程。 【答案】對于函數(shù)f (x) x3 3x，f(

12、x)叱 3x2 3 由于點(2,2)在函數(shù)f (x)圖象上, (1)當點(2,2)是切點時，函數(shù)f(x)圖象在點(2,2)處的導數(shù)即為切線的斜率, 2 即：k f (2)3 22 39 , (2)當點(2,2)不是切點時，設(shè)點(X0,x3 3x0)為切點, 切線方程為：9x y 160; 函數(shù)f（X）在此處的導數(shù)（即切線的斜率） k (Xo) 3x2 x； 3x02 X02 (Xo 即：x： 3x240 (X01)(X02)2 Xo 譏 12 8a b 6 X ( x)212 8a b 即此時點（1,2）為切點，此時切線方程為 y 【變式2】已知曲線y 1。 X （1）求曲線過點A （1, 0

13、）的切線方程; （2）求滿足斜率為 1的曲線的切線方程。 3 【答案】（1）設(shè)過點A （1，0）的切線的切點坐標為 1 a, a ，因為 f(a X)f (a) 1，所以該 a 1 切線的斜率為，切線方程為y a -4(x a a a）。 將A（ 1, 0 ）代入式，得a 1。所以所求的切線方程為 2 y=4x+4。 （2）設(shè)切點坐標為P x0， ，由（1）知，切線的斜率為 X0 2，則 X0 1 2 X0 1 -，X0 。那 么切點為P屈血或P 23 。 3 3 所以所求的切線方程為y 【高清課堂：導數(shù)的幾何意義 385147例3】 【變式3】設(shè)函數(shù)f(x) X3 2ax2 bx a， g

14、(x) X2 3X 2， g（X）在 其中X R，a,b為常數(shù)，已知曲線 y f（x）與y 點（2,0 ）處有相同的切線l.求a,b的值，并寫出切線I的方程. (答案】f(2)|,0(2x)3 2a(2x)2 b(2x X) a (23 8a 2b a) x) 1 由已知：f(2)0且f(2) g(2) a 2,b5，因為 g(2)1 2 2 g(2)譏(2 x) 3(2 x) 2 (23 2 2) s/xx 2Vx 2 x 所以I的方程：y X 2 類型二、利用定義求導函數(shù) 4 例3.求函數(shù)y 在x=2處的導數(shù)。 x 【解析】 解法一：(導數(shù)定義法) 4 (x 2)2 4 4 * FT 2)

15、 1 (x)24 x (X 2)2 4 2)2 jim。 lim -2 x 0( x 2) 解法二: (導函數(shù)的函數(shù)值法) 4 2 x x(2x x2(x x) x)2 y 4(2 x x2(x x) x)2 4(2 x x) 2 x (x x) - f(2) y|x2 【總結(jié)升華】求導數(shù)的步驟和求導數(shù)值的步驟一樣，叫三步法求導。 舉一反三: 【變式1】已知 f(x) 4Xr2，求 f(x), f (2) 【答案】 因為 2，所以 (X X 2(X 2) x(X2 /x ) 1 1 當 XT 0 時，f (X)，當 X=2 時，f (2), 24xr242 【變式2】求函數(shù)y 1 尸在(0,)

16、內(nèi)的導函數(shù)。 Jx 解：y 1 VX X 仮 仮4XX %/XX 仮 TxX X 4XX 仮 (7X4X)(7XTX) 4X X 坂(TX 4X) X X 4XX (仮 4X) 7x X Vx (依 y 00X 仮(VX 4X) 1 X 2仮 類型三、導數(shù)的幾種形式 例4.若 f(x0) 2，則 lim f(X0 k) f(X0) k 0 2k 【解析】 根據(jù)導數(shù)定義: lim fx0 ( k)f(x0) (這時 = k), 所以lim k 0 f(X0 k) f(X0) 2k lim k 0 fX0( k) f(X0) lim fx0 ( k)f(x0) 【總結(jié)升華】 (1)有一種錯誤的解法

17、: 根據(jù)導數(shù)的定義：f(X0) lim f(X k) f(X0)(這時 x=k), 12 所以 |imf(X0 k) f(X0)l|imf(x0 k) f(xo) 2k k 0”2 k 0 相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f（X）在X=X0處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導數(shù)定義的形式。 概念是解決問題的重要依據(jù)， 只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延， 才能靈活地應(yīng)用概念進行 解題。 f x02 X f x0 舉一反三: 【變式1 已知函數(shù)y = f（x）在 x= Xo處的導數(shù)為11，則lim X 0 f xo 2 X f xo 【答案lim oo X o f x02 X f x0 =2f (X0)= - 2 X 11 = - 22. 【變式2】設(shè)f（X）為可導函數(shù)，且滿足 f(1x) 1,則過曲線y = f (X)上點(1 , f(1)處的切 2x B. D. lim f(1)f(1 2X) X o 2x lim f (1 2X) X o 2x 1，即 卩 y1 x=1 = - 1, 則y = f（