全等三角形難題集錦

1、1、（ 1）如圖 1，點 O是線段 AD的中點，分別以 AO和 DO為邊在線段 AD的同側(cè)作等邊三角形 OAB和等邊三角形OCD，連結(jié) AC和 BD，相交于點 E，連結(jié) BC求 AEB的大??；2）如圖 2，OAB固定不動，保持 OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點 O旋轉(zhuǎn)（OAB和 OCD不能重疊），求AEB的大小 .圖12、（ 1）如圖 1，現(xiàn)有一正方形ABCD，將三角尺的指直角頂點放在A 點處，兩條直角邊也與CB的延長線、DC分別交于點 E、 F請你通過觀察、測量，判斷AE與 AF 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由2）將三角尺沿對角線平移到圖2 的位置，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理

2、由3）如果將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖 3 的位置， PE、PF之間是否還具有（中的數(shù)量關(guān)系如果有，請說明2）3、E 、F分別是正方形 ABCD 的邊BC、CD上的點，且EAF45， AH EF ，H 為垂足， 求證： AHABF4、C為線段 AE上一動點（不與點 A，E 重合），在 AE同側(cè)分別作等邊ABC和等邊CDE ， AD與 BE交于點O，AD與 BC交于點 AD=BE；P， BE與 CD交于點 Q，連結(jié) PQ以下五個結(jié)論： AP=BQ；PQ/ AE； DE=DP；AOB 60 CP=CQ CPQ為等邊三角形共有 2 對全等三角形CO平分 AOE CO平分 BCD恒成立的結(jié)論有把你認(rèn)為正確的序號都

3、填上）5、D為等腰 Rt ABC 斜邊 AB的中點， DMDN， DM， DN分別交 BC，CA于點 E，F(xiàn)。1）當(dāng) MDN 繞點 D轉(zhuǎn)動時，求證： DE=D。F2）若 AB=2，求四邊形 DECF的面積。AN6、如圖， ABC 是正三角形， BDC是頂角 BDC 120 的等腰三角形，以 D為頂點作一個 60角，角的兩邊分別交 AB、AC邊于 M、N兩點，連接 MN探究：線段 BM、MN、 NC之間的關(guān)系，并加以證明7、點C為線段 AB上一點， ACM， CBN都是等邊三角形，線段 AN， MC交于點 E，求證：1)AN=M.B2)將 ACM繞點 C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖所示，其他條

4、件不變，BM， CN交于點 F。1)中的結(jié)論是否依然成小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖的分析，證明了ABQACP，從而證得 BQ=CP之后，將點 P 移到等腰AN與 BM相交所夾銳角是否發(fā)生變化。NB C E BBMF O BA圖圖8、復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在 ABC中， AB=AC，P是 ABC 內(nèi)部任意一點，將 AP繞 A 順時針旋轉(zhuǎn)至 AQ，使 QAPBAC，連接 BQ、CP，則 BQ=CP”三角形 ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“ BQ=C”P 仍然成立，請你就圖給出證明9、將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片A

5、BC 和 DEF 且 ABC DEF。將這兩張三角形膠片的頂點 B與頂點 E重合，把 DEF繞點 B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時 AC與DF相交于點O當(dāng)DEF 旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點 B(E) ， C ， D在同一直線上時， AFD 與 DCA的數(shù)量關(guān)系是當(dāng)DEF 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時，1)中的結(jié)論還成立嗎 AO與DO 存在怎樣的數(shù)量關(guān)系請說明理由C，E 在同一條10、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1 所示放置，圖 2 是由它抽象出的幾何圖形， B，直線上，連結(jié) DC1）請找出圖 2 中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）證明： DCBE11、DE兩個全等的含 30 、 6

6、0角的 三角板 ADE和三角板 ABC放 置在一 起， DEAACB 90 ，ME、MC，試判斷EMC的形狀，12DCADAFB AFABCABCO圖BMPNABC ABE 如圖 1，當(dāng)點 通過測量 連接點 E 與 AD邊的中點 N，猜想 NE與 BF 滿足的數(shù)量關(guān)系是；ABC ABC AMB BMC CMA ABCE 在 AB邊的中點位置時：DE， EF的長度，猜想 DE與 EF滿足的數(shù)量關(guān)系是1）DAE ABC 30 ， E、A、C三點在一條直線上，連接 BD，取 BD中點 M，連接 并說明理由 請證明你的上述兩猜想 .NE=B，F(xiàn) 進(jìn)而猜想此時DE與 EF（2）如圖 2，當(dāng)點 E在 AB

7、邊上的任意位置時，請你在 AD邊上找到一點 N， 使得 有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明圖1圖219、如圖 1，在正方形 ABCD中，點E、F 分別為邊 BC、CD的中點， AF、DE相交于點 G，則可得結(jié)論： AF=DE；AFDE.（不需要證明）1）如圖 2，若點 E、 F 不是正方形ABCD的邊 BC、CD的中點，但滿足 CE=D.F則上面的結(jié)論、是否仍然成立請直接回答“成立”或“不成立”）2）如圖 3，若點 E、 F分別在正方形 ABCD的邊 CB的延長線和 DC的延長線上，且 CE=D，F(xiàn) 此時上面的結(jié)論、是否仍然成立若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由AOB，COD均是等腰直角三角形，

8、 AOB COD90o ，1）在圖 1中， AC與 BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系請說明理由。2）若 COD繞點 O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖2 的位置，請問 AC 與 BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎為什么3）若 COD繞點 O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3 的位置，請問 AC 與 BD還相等嗎還具有上問中的位置關(guān)系嗎為什么21、如圖 1，在 ABC 中，BC邊在直線 l上， ACBC，且 AC = BCEFP的邊 FP也在直線 l 上，邊 EF與邊 AC重合，且 EF=FP1）在圖 1 中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與 AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；2）將 EFP沿直線 l 向

9、左平移到圖 14-2 的位置時， EP交 AC于點 Q，連結(jié) AP，BQ猜想并寫出 BQ與 AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；3）將EFP沿直線 l 向左平移到圖 3的位置時， EP的延長線交 AC的延長線于點 Q，連結(jié) AP，BQ你認(rèn)為（ 2） 中所猜想的 BQ與 AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎若成立，給出證明；若不成立，請說明理由C（F）QEPB F C圖1圖2l22、如圖所示，在BE ， CD ， M ， 求證： BE連接1）（2） 寫出ADE 中，AB AC ， ADABC 和N 分別為 BE， CD 的中點CD ； AM AN ；在圖的基礎(chǔ)上，將 ADE 繞點 A 按

10、順時針方向旋轉(zhuǎn)1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立 .D圖23、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖交正方形外角 DCG 的平分線 CF于點AE180BACDAE ，其他條件不變，且點 B，A，D 在一條直線上，得到圖所示的圖形A圖1，四邊形 ABCD是正方形，點 E 是邊BC的中點 AEF請直接90 ，且 EFF，求證： AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點 M，連接 ME，則 AM=E，C 易證 AME ECF ，所以AE EF 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：1）小穎提出：如圖 2，如果把“點 E 是邊 BC的中點”改為“點 E是邊 BC上（除 B，C外）的任意一點”

11、，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；2）小華提出：如圖3，點 E 是 BC的延長線上（除 C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點正確嗎如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由圖1DFB E C G 圖2圖324、問題背景，如下命題： 如圖1，在正三角形 ABC中， N為BC邊上任一點， CM為正三角形外角 ACK的平分線，ANM 60 ，則AN=N。M 如圖2，在正方形 ABCD中，N 為 BC邊上任一點， CM為正方形外角 DCK的平分線， 若 ANM90 ，則 AN=

12、N。M 如圖3，在正五邊形 ABCDE中， N 為 BC邊上任一點， CM為正五邊形外角 DCK的平分線，若ANM 180 ，則 AN=N。M圖1圖2MK任務(wù)要求：1）請你證明以上三個命題；2）請你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖 4，在正 n（ n3）邊形 ABCDEF中，N為BC邊上任一點， CM為正n邊形外角 DCK的平分線，問當(dāng) ANM等于多少度時，結(jié)論 AN=NM成立（不要求證明） 如圖 5，在梯形 ABCD中， ADBC，AB=BC=C，DN為 BC延長線上一點， CM為 DCN的平分線，若 ANM= ABC，請問 AN=NM是否還成立若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由C，將一個三

13、角板的直角頂點與點25、已知 AOB=90 ， AOB的平分線 OM上有一點C重合，它的兩條直角邊分別與 OA、 OB或它們的反向延長線相交于D、E。1），易證： CD=CE1）當(dāng)三角形繞點 C 旋轉(zhuǎn)到 CD與 OA垂直時（如圖2）當(dāng)三角板繞點 C 旋轉(zhuǎn)到 CD與 OA不垂直時，在圖 2 圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立，請給予證明，若不成立，請寫出你的猜想，不需證明。26、已知AB=CD=AE=BC+D，E=2AABC=MAED=90 ，求五邊形 ABCDE的面積COEDB27、已知AEAB， AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBF28、已知29、已知

14、BE，CF是 ABC的高，且 BP=AC，CQ=A，B 試確定 AP與 AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系E是正方形 ABCD的邊 CD的中點，點 F 在 BC上，且 DAE= FAE。求證： AF ADCFPA= 2 ， PB=4，以 AB為一邊作正方形 ABCD，使1）如圖，當(dāng) APB=45時，求 AB及 PD的長 ;30、已知P、 D兩點落在直線 AB的兩側(cè) .2）當(dāng) APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應(yīng) APB的大小 .31、已知點 E是正方形 ABCD的邊CD上一點，點 F是CB的延長線上一點，且 EA AF 求證： DE BF DEABC與 AEG 面32、以 ABC 的邊

15、AB 、 AC 為邊分別向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG ，連結(jié) EG ，試判斷積之間的關(guān)系，并說明理由F使三角尺的 6033、用兩個全等的等邊ABC 和ACD拼成菱形 ABCD，把一個含 60角的三角尺與這個菱形疊合，角的頂點與點 A重合，兩邊分別與 AB，AC重合 . 將三角尺繞點 A按逆時針方向旋轉(zhuǎn) .1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC， CD相交于點 E，F(xiàn)時，（如圖 131），通過觀察或測量 BE， CF的長度，你能得出什么結(jié)論并證明你的結(jié)論；2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點 E，F(xiàn)時（如圖 13 2），你在（ 1）中得到的結(jié)論還成立嗎簡要說

16、明理由34、在等邊 ABC 的兩邊 AB，AC所在直線上分別有兩點 M，N，D為 ABC 外一點， 且 MDN BD CD ，探究：當(dāng)點ABC 的周長 L 的關(guān)系M，N 分別愛直線 AB，AC上移動時， BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及60 ，AMNBDC 120 ，的周長與等邊1）如圖，當(dāng)點M，N 在邊 AB，AC上，且DM=DN時， BM，（2）如圖，當(dāng)點 加以證明； （3）如圖，當(dāng)點M，M，35、在等邊求證：（1）36、在等邊N 在邊 AB，N分別在邊AC上，且DM DN 時，AB，CA的延長線上時，若ABC中， P 在 AC 延長線上一點，以BP=CE；（2）EMPM=A.MABC 中

17、，點 D為直線 BC上的一動點按逆時針排列） ，使 DAF=60，連接 CF；此時 Q =_L猜想（ 1）問的兩個結(jié)論還成立嗎寫出你的猜想并NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式AN=x，則 Q=用 x， L 表示）PA為邊作等邊 APE ， EC延長線交 BP于 M，連接 AM。B點 D 不與 B、C重合），以 AD為邊作菱形 ADEF（A、D、E、F1）如圖 1，當(dāng)點 D在邊 BC上時，求證： BD=C；F AC=CF+C；D2）如圖 2，當(dāng)點 D 在邊 BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CF+C是D否成立若不成立，請寫出 AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；3）如圖 3，當(dāng)點 D

18、 在邊 BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系37、在等邊ABC 中，過 AB 邊上的點D 作 DG /BC ，交 AC 于點 G ，在 GD 的延長線上取點 E ，使 DE DB ，連接 AE ， CD1）求證：AGEDAC ；2）過點 E作EF/DC，交 BC于點F ，請你連接 AF ，并判斷 AEF 是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論AF 求證：38 、在等腰 ABC 中， EDB FDC AB AC ，D是BC的中點，過 A作AE DE， AF DF，且 AEF39、在等腰 Rt ABC 中，ACB90，AD是 BC邊上的中線，過 C作 AD

19、的垂線，交 AB于點 E，交 AD于點 F。求證：ADC BDE40、在等腰 Rt ABC 中，ACB=90，F(xiàn)是AB的中點，直線l經(jīng)過點 C，分別過點 A、B作l 的垂線，即AD CE，BE1）CE ， 如圖 1，CE位于點 F 的右側(cè)時，求證：ADCCEB；如圖 2，CE位于點 F 的左側(cè)時，求證：ED=BE-A；D如圖 3，CE在 ABC 的外部時，試猜想ED、 AD、 BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想四邊形 ABCD中， AB=BC，BF是 ABC的平分線， AFDC，連接 AC、CF。求證： CA是DCF的平分線。42、在四邊形ABCD中， AC平分 BAD，CE AB于E，且 B

20、+ D=180 ，求證： AE=AD+BE43、在正方形ABCD中， E為BC上的一點， F為CD上的一點， BE+DF=E，F(xiàn)求EAF的度數(shù) .44、在正方形ABCD 中，F(xiàn)AD FAE 求證： BE DF AE 45、在 ABC 中， AB BC2 ， ABC120 ，將 ABC繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)角 (090 ) 得于點 E ， A1C1分別交 AC 、BC 于 D 、F 兩點如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段DACFA1BC1 , A1B交 ACEA1 與 FC 有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論。C146、在 Rt ABC 中， AC BC ， C 90 ， D 為 AB 邊的中點，

21、 EDF 90 ， EDF 繞 D 點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AC 、BC （或它們的延長線）于E、F。EDF繞D 點旋轉(zhuǎn)到EDF繞D 點旋轉(zhuǎn)到1 AC DE于E時（如圖 1），易證 SDEF SCEFS ABC2DE 和 AC不垂直時，在圖 2 和圖 3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立若成立，請給予證明；若不成立， S DEF、 S CEF 、 S ABC 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系請寫出你的猜想，不需證明B圖1圖2F47、在 ABC 中，A=90，D 是 AC上的一點， BD=D，C P 是 BC上的任一點，PEBD，PFAC，E、F 為垂足求證：PE+PF=AB48、點，ABC=45， CDAB于

22、D，BE平分 ABC，且 BEAC于 E， 連結(jié) DH與 BE相交于點 G。在 ABC 中，1）求證： BF=AC；2）求證： CE= BF；23）CE與 BC的大小關(guān)系如何試證明你的結(jié)論。49、在 ABC 中， ACB90，ACBC，AE是 BC邊上的中線，過 C作 CFAE，垂足為 F，過 B作 BDBC交 CF 的延長線于 D求證：（ 1）AECD；（2）若 AC12 cm，求 BD的長50、在 ABC中，ACB為銳角，點 D為射線 BC上一動點，連接 AD，以 AD為一邊且在 AD的左側(cè)作等腰直角 ADE，解答下列各題：如果 AB=AC， BAC=901）當(dāng)點 D在線段 BC上時（與點

23、 B 不重合），如圖甲，猜想并證明線段 BD，CE之間的位置關(guān)系。2）當(dāng)點 D在線段 BC的延長線上時，如圖乙， （1）中的結(jié)論是否還成立為什么51、AB52、在 ABC中， BAC=60 ， C=40 ， AP平分 BAC交BC 于 P， BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q。求證：BP BQ AQ 。在 ABC 中， AB=AC，D是 CB延長線上一點， ADB=60 ，E是 AD上一點，且 DE=D，B 求證： ADBC 2BE53、在 ABC 中， AB=AC=6c，mB=C， BC=4cm，點 D為 AB的中點1）如果點 P 在線段 BC上以 1cm/s 的速度由點 B 向點 C運動，同時，點 Q在線段 CA上由點 C向點 A 運動若點 Q的運動速度與點 P的運動速度相等，經(jīng)過 1 秒后， BPD與 CQP是否全等，請說明理由；若點 Q的運動速度與點 P的運動速度不相等，當(dāng)點 Q的運動速度為多少時，能夠使 BPD與 CQP全等2）若點 Q以中的運動速度從點 C出發(fā)，點 P 以原來的運動速度從點 B同時出發(fā)，都逆時針沿ABC 三邊運動，則經(jīng)過后，點 P與點 Q第一次在 ABC 的邊上相遇（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）54、在 ABC 中， ABAC， BADCAD ， P為 AD