一致連續(xù)性定理（經(jīng)典實(shí)用）

1、2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 實(shí)數(shù)完備性理論的一個(gè)重要作用就是證 一、最大、最小值定理 曾經(jīng)在第四章均給出過. 明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì) 三、一致連續(xù)性定理 二、介值性定理 首先來看一個(gè)常用的定理首先來看一個(gè)常用的定理. 有界性定理有界性定理 若若 f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) , .a b在在上上有有界界 證證 用兩種方法給出證明用兩種方法給出證明. 第一種方法第一種方法 使用有限覆蓋定理使用有限覆蓋定理. 因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) 在在 a, b 一、最大、最小值定理 局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì)局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì). 上每一點(diǎn)

2、連續(xù)上每一點(diǎn)連續(xù), 從而局部有界從而局部有界. 我們的任務(wù)就是將我們的任務(wù)就是將 , ,0,0, tt ta bM 對對于于任任意意的的存存在在以以及及 (,) , , tt xtta b 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) |( )|. t f xM H 覆蓋了閉區(qū)間覆蓋了閉區(qū)間a, b. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理, 在在 H 中存中存 11 11 (,), (,) nn ttntnt tttt , ,1,xa biin 于于任任意意存存在在使使 (,)| , , tt ttta bH 設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)間間集集顯然顯然 12 , .max, n ttt a bM 覆覆蓋蓋了了令令則對則對 在有限個(gè)開區(qū)間在有限個(gè)開區(qū)間

3、 第二種證法第二種證法 采用致密性定理采用致密性定理. 因?yàn)橐驗(yàn)閤n 有界有界, 從而存在一個(gè)收斂的子列從而存在一個(gè)收斂的子列. 為了書為了書 寫方便寫方便, 不妨假設(shè)不妨假設(shè) xn 自身收斂自身收斂, 令令 0 lim. n n xx (,),|( )|. iii ititt xttf xM 因因此此 設(shè)設(shè) f (x) 在在a, b上無界上無界, 不妨設(shè)不妨設(shè) f (x)無上界無上界. 則存在則存在 lim(). n n f x , , n xa b 使使 00 ,.( ), n axbaxbf xx 因因則則又又因因在在連連續(xù)續(xù) 故由歸結(jié)原理可得故由歸結(jié)原理可得 0 0 lim()lim(

4、 )(), n nxx f xf xf x 矛盾矛盾. 最大、最小值定理最大、最小值定理(定理定理4.6) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在在a, b 證證 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 因而有界因而有界. 由確界定理由確界定理, f (x) 在在 a, b 上的值域有上確界上的值域有上確界. 設(shè)設(shè) 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在 a, b 上取最大、最小值上取最大、最小值. , sup( ). xa b Mf x :( , ).,Mfa b 要要證證若若不不然然 則則對對于于任任意意 , ,xa b 1 ( ) ( ) F x Mf x ( )f xM ， 于于是是 在在a

5、, b 上連續(xù)上連續(xù), 從而有界從而有界, 故存在故存在 G 0, 使使 1 0( ). ( ) F xG Mf x 這樣就有這樣就有 1 ( ), , .f xMxa b G 這與這與 M 是是 f (x) 在在 a, b 上的上確界矛盾上的上確界矛盾. 這就證明了上確界這就證明了上確界 M 與下確界與下確界 m 都是可取到的都是可取到的, 同理可證同理可證:下確界下確界 , inf( ) xa b mf x 也屬于也屬于 f (a, b). 最小值最小值. 這也就是說這也就是說, M 與與 m 是是 f (x) 在在a, b上的最大、上的最大、 (定理定理4.7) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)

6、 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)上連續(xù), 且且 ,( , ),a b 實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 則則存存在在使使 證證 在第四章中在第四章中, 我們已經(jīng)用確界定理證明此定理我們已經(jīng)用確界定理證明此定理. 現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明. ( )( ),( ) , ,F xf xF xa b 設(shè)設(shè)則則在在上上連連續(xù)續(xù) 并并且且 二、介值性定理 f ( ). ( )( )f af b 若若是是介介于于與與之之間間的的一一個(gè)個(gè)f (a) f (b). 將將 a, b 等分成兩個(gè)區(qū)間等分成兩個(gè)區(qū)間 a, c, c, b, 若若 F(c)=0, . 0)()( bFaF 下去下去, 得到一列閉子區(qū)間得到

7、一列閉子區(qū)間 個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號. 將這個(gè)過程無限進(jìn)行將這個(gè)過程無限進(jìn)行 F(c1)=0, 已證已證. 不然同樣可知函數(shù)不然同樣可知函數(shù) F(x) 在其中一在其中一 將將 a1 , b1 等分成兩個(gè)區(qū)間等分成兩個(gè)區(qū)間 a1, c1, c1 , b1, 若若 間端點(diǎn)上的值異號間端點(diǎn)上的值異號, 將這個(gè)區(qū)間記為將這個(gè)區(qū)間記為a1, b1 . 再再 已證已證. 不然不然, 函數(shù)函數(shù) F(x)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū) 11 (i) ,1, 2,; nnnn ababn (ii)0 ,; 2n nn ba ban (iii)()()0. nn F aF b

8、由區(qū)間套定理由區(qū)間套定理, 存在惟一的存在惟一的,1, 2, nn abn limlim.( ) nn nn abF x 并且因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù),并且因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù), 2 0lim()()( ) , nn n F aF bF 所所以以 ( )0.:F 即這也就是說即這也就是說.)( f an , bn , 滿足滿足: (定理定理4.9) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在在 a ,b上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在 證證 (證法一證法一) 首先用致密性定理來證明該定理首先用致密性定理來證明該定理. 在在 設(shè)設(shè) f (x) 在在 a, b 上不一致連續(xù)上不一致連續(xù), 即存在即存在對于對于, 0 0 0(

9、), , ,xxa b 一一切切無無論論多多么么小小 總總是是存存在在 三、一致連續(xù)性定理 a, b 上一致連續(xù)上一致連續(xù). 究究. 下述證明過程中下述證明過程中, 選子列的方法值得大家仔細(xì)探選子列的方法值得大家仔細(xì)探 |,xx 雖雖然然但但 0 |()()|.f xf x 現(xiàn)分別取現(xiàn)分別取 11 111 1, , ,|1,xxa bxx 110 |()()|;f xf x 2222 11 , , ,|, 22 xxa bxx 220 |()()|;f xf x 11 , , ,|, nnnnn xxa bxx nn 0 |()()|; nn f xf x , , , nn xxa b 由由此

10、此得得到到兩兩列列雖雖然然 1 |0, nn xx n 0 |()()|. nn f xf x 因?yàn)橐驗(yàn)?xn 有界有界, 從而由致密性定理從而由致密性定理, 存在存在 xn 的的 kk nn k xxx0.lim. 一個(gè)收斂子列設(shè)一個(gè)收斂子列設(shè) . 但是總有但是總有 , bxa k n 因?yàn)橐驗(yàn)樗杂蓸O限的不等式性質(zhì)所以由極限的不等式性質(zhì) . 0 bxa 連續(xù)連續(xù), 所以由歸結(jié)原理得到所以由歸結(jié)原理得到 0 lim |()()| kk nn k f xf x 矛盾矛盾. (證法二證法二) 再用有限覆蓋定理來證明再用有限覆蓋定理來證明. 00 | lim( )lim( )|0, xxxx f

11、xf x 0 limlim()lim, kkkk nnnn kkk xxxxx 因因?yàn)闉?以及以及 f 0,0,( ;) , xx xU xa b 給給存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有 |()( )|. 2 f xf x 考慮開區(qū)間集考慮開區(qū)間集 ( ;)| , 2 x HU xxab 那么那么 H 是是 a, b 的一個(gè)開覆蓋的一個(gè)開覆蓋. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理, 因因 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 對任意一點(diǎn) 對任意一點(diǎn) , ,xa b 任任 存在有限個(gè)開區(qū)間存在有限個(gè)開區(qū)間 令令 1 min0, 2 i in 對于任何對于任何,baxx 只只 要要 ,| xx 那么那么 x 必屬于上述必屬于上述 n 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 中的一個(gè)中的一個(gè),(,). 22 ii ii xxx 設(shè)于是設(shè)于是 11 11 (,), (,) 2222 nn nn xxxx 也覆蓋了也覆蓋了 a, b. |, 2 i ii xx 所以由小區(qū)間的定義得知所以由小區(qū)間的定義得知 |()()