高等數(shù)學(xué)（上）：D3_6函數(shù)圖形的描繪

1、第六節(jié)第六節(jié) 一、一、 曲線的漸近線曲線的漸近線 二、二、 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪 第三章第三章 2 xy 無漸近線無漸近線 . 點(diǎn)點(diǎn) M 與某一直線與某一直線 L 的距離趨于的距離趨于 0, 一、一、 曲線的漸近線曲線的漸近線 定義定義 . 若曲線若曲線 C上的點(diǎn)上的點(diǎn)M 沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn) 時(shí)時(shí),則稱直線則稱直線 L 為為 曲線曲線C 的的漸近線漸近線 . 例如例如, 雙曲線雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 有漸近線有漸近線0 b y a x 但拋物線但拋物線 或?yàn)榛驗(yàn)椤翱v坐標(biāo)差縱坐標(biāo)差” N L bxky M x y

2、o C )(xfy P x y o 則則曲曲線線若若,)(limbxf x 2. 2. 鉛直漸近線鉛直漸近線 則則曲曲線線若若,)(lim 0 xf xx 1. 1. 水平漸近線水平漸近線 x y o x y o 一、水平與鉛直漸近線一、水平與鉛直漸近線 .)(byxfy 有水平漸近線有水平漸近線 )(x或或 )( 0 xx或或 .)( 0 xxxfy 有鉛直漸進(jìn)線有鉛直漸進(jìn)線 例如例如, , )3)(2( 1 xx y 有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條: : . 3, 2 xx 例如例如, ,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: : . 2 , 2 yy 2 y 2 y x

3、 y O x y O 3 x 2 x 例例1 1 .2 1 1 的漸近線的漸近線求曲線求曲線 x y 解解 ，因?yàn)橐驗(yàn)?)2 1 1 (lim x x .2 為水平漸近線為水平漸近線所以所以 y ,)2 1 1 (lim 1 x x 又又 .1為鉛直漸近線為鉛直漸近線所以所以 x 2 1 x o 2. 斜漸近線斜漸近線 有則曲線)(xfy 斜漸近線斜漸近線.bxky )(x或 若若 ,0)(lim xf x )(bxk 0 )( lim x b k x xf x x 0)(lim xf x )(bxk 0 )( lim x b k x xf x )( lim x b x xf k x x xf

4、 k x )( lim )(limxkxfb x )(x或 )(x或 注意注意 ; )( lim)1(不存在不存在 如果如果 x xf x ,)(lim, )( lim)2(不存在不存在但但存在存在kxxfk x xf xx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線線可可以以斷斷定定xfy 解解 2 3 11 )1( limlim x x y xx 因?yàn)橐驗(yàn)?, , 1 x曲線有鉛直漸近線曲線有鉛直漸近線 x xf k x )( lim 又因又因 2 2 )1( lim x x x )(limxxfb x 2 )1( )12( lim x xx x , 2 .2為曲線的斜漸近線為曲線的斜漸近線所以所以

5、 xy . )1( 2 3 的漸近線的漸近線求曲線求曲線 x x y 例例2 2 1 例例2. 求曲線求曲線 32 2 3 xx x y的漸近線的漸近線 . 解解:, ) 1)(3( 3 xx x y,lim 3 y x ) 1(x或 所以有鉛直漸近線所以有鉛直漸近線 3x 及 1x 又因又因 x xf k x )( lim 32 lim 2 2 xx x x 1 )(limxxfb x 32 32 lim 2 2 xx xx x 2 2xy為曲線的斜漸近線為曲線的斜漸近線 . 31 2 xy 二、函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)圖形的描繪 步驟步驟 : 1. 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義

6、域 , 期性期性 ; 2. 求求 )(, )(xfxf 并求出并求出)(x f 及及)(x f 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn)求出極值和拐點(diǎn) ; 4. 求漸近線求漸近線 ; 5. 確定某些特殊點(diǎn)確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形 . 為為 0 和不存在和不存在 的點(diǎn)的點(diǎn) ; 并考察其對稱性及周并考察其對稱性及周 例例1 1., )1( )( 2 3 并作出圖形并作出圖形的性態(tài)的性態(tài)討論函數(shù)討論函數(shù) x x xf 解解), 1()1 ,(: D非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù), ,且無對稱性且無對稱性. . , )1( )3( )( 3 2 x xx x

7、f . )1( 6 )( 4 x x xf , 0)( x f令令 , 0 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) , 0)( x f令令 . 0 x得得 )(lim 1 xf x ; 1 x得鉛直漸近線得鉛直漸近線 3 x :漸近線漸近線 x xf k x )( lim 又因又因 2 2 )1( lim x x x )(limxxfb x 2 )1( )12( lim x xx x , 2 .2為曲線的斜漸近線為曲線的斜漸近線所以所以 xy 1 列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間, ,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn). . x)0 ,( ), 3( )1,0(0)3,1( )(x f )(xf 0

8、 0 )(x f 13 無無 定定 義義 拐點(diǎn)拐點(diǎn) 極小值點(diǎn)極小值點(diǎn) 間間 斷斷 點(diǎn)點(diǎn) )0,0( . 00 xy的點(diǎn)的點(diǎn) , )1( )3( )( 3 2 x xx xf . )1( 6 )( 4 x x xf ), 1()1 ,(: D, 0 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) 3 x 0 ) 4 27 ,3( 列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間, ,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn). . x)0 ,( ), 3( )1,0(0)3,1( )(x f )(xf 0 0 )(x f 13 無無 定定 義義 拐點(diǎn)拐點(diǎn) 極小值點(diǎn)極小值點(diǎn) 間間 斷斷 點(diǎn)點(diǎn) )0,0( 0 ) 4 27 ,3( :特

9、特殊殊點(diǎn)點(diǎn) ) 9 8 ,2(),8,2( :另另 得得 ) 3 8 , 3 2 ( 0,0 yx時(shí)時(shí) 的交點(diǎn)的交點(diǎn)與與2)( xyxf 作圖作圖 )0,0() 4 27 ,3( 0,0 yx時(shí)時(shí) 2 3 )1( x x 2 x ; 1 x鉛直漸近線鉛直漸近線 .2 xy斜漸近線斜漸近線 y :補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn) 作圖作圖 x o 2 1 2 1 11 2 3 6 A B C x)0,( ),3( )1,0(0)3,1( )( x f )( xf 0 0 )( x f 13 無無 定定 義義 拐點(diǎn)拐點(diǎn) 極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) )0,0( 0 ) 4 27 ,3( ),8,2(), 9 8 ,2

10、(BA ), 3 8 , 3 2 (D ; 1 x鉛直漸近線鉛直漸近線 .2 xy斜漸近線斜漸近線 D ) 4 27 , 3(C 例例2. 描繪描繪2 23 3 1 xxy的圖形的圖形. 解解: 1) 定義域?yàn)槎x域?yàn)? ),( 無對稱性及周期性無對稱性及周期性. 2),2 2 xxy,22 xy ,0 y 令2,0 x得 ,0 y 令1x得 3) x y y y 012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2( 00 2 3 4 (極大)(拐點(diǎn)） 3 2 (極小) 4) x y 13 3 2 2 0 1231 例例3. 描繪方程描繪方程 044)3( 2 yxyx的圖形的圖形. 解解: 1

11、), ) 1(4 )3( 2 x x y定義域?yàn)槎x域?yàn)?), 1 ( , ) 1 ,( 2) 求關(guān)鍵點(diǎn)求關(guān)鍵點(diǎn) )3(2x y 4044yxy ) 1(2 23 x yx y 2 ) 1(4 ) 1)(3( x xx y 42048 yxy ) 1(2 41 x y y 3 ) 1( 2 x 得令0 y ;3, 1x 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3( x y y y 2 0 , ) 1(4 )3( 2 x x y, ) 1(4 ) 1)(3( 2 x xx y 3 ) 1( 2 x y 3) 判別曲線形態(tài)判別曲線形態(tài) 00 (極大極大) (極小極小) 4) 求漸近線求

12、漸近線 ,lim 1 y x 為鉛直漸近線為鉛直漸近線 無定義無定義 1x 又因又因 x y x lim, 4 1 4 1 k即即 ) 4 1 (limxyb x 4 1 ) 1(4 )3( lim 2 x x x x ) 1(4 95 lim x x x4 5 ) 1(4 )3( 2 x x y 5) 求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn) x y 0 4 9 2 4 1 為斜漸近線為斜漸近線 4 5 4 1 xy 2 ) 1(4 ) 1)(3( x xx y 3 ) 1( 2 x y 6）繪圖）繪圖 (極大極大) (極小極小) 斜漸近線斜漸近線 1x鉛直漸近線鉛直漸近線 4 5 4 1 xy 特殊點(diǎn)特殊點(diǎn) 1

13、13 0 2 () () x y x 2 3 41 2 無定義無定義 x y 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3( 0 x y 0 4 9 2 4 1 例例4. 描繪函數(shù)描繪函數(shù) 2 1 y 2 2 x e 的圖形的圖形. 解解: 1) 定義域?yàn)槎x域?yàn)? ),(圖形對稱于圖形對稱于 y 軸軸. 2) 求關(guān)鍵點(diǎn)求關(guān)鍵點(diǎn) y 2 1 , 2 2 x ex y 2 1 2 2 x e )1 ( 2 x 得令0 y ;0 x得令0 y 1x 2 1 0 0 e2 1 x y y y 1 0 ) 1,0(), 1 ( 3) 判別曲線形態(tài)判別曲線形態(tài) (極大極大)(拐點(diǎn)拐點(diǎn)) (極大

14、極大)(拐點(diǎn)拐點(diǎn)) 0lim y x 0y 為水平漸近線為水平漸近線 5) 作圖作圖 4) 求漸近線求漸近線 2 1 0 0 e2 1 x y y y 1 0 ) 1,0(), 1 ( 2 2 2 1 x ey x y o B A 2 1 水平漸近線水平漸近線 ; 垂直漸近線垂直漸近線; 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 曲線漸近線的求法曲線漸近線的求法 斜漸近線斜漸近線 按作圖步驟進(jìn)行按作圖步驟進(jìn)行2. 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 曲線曲線)( e1 e1 2 2 x x y (A) 沒有漸近線；沒有漸近線； (B) 僅有水平漸近線；僅有水平漸近線； (C) 僅有鉛直漸近

15、線；僅有鉛直漸近線； (D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線既有水平漸近線又有鉛直漸近線. 提示提示:;1 e1 e1 lim 2 2 x x x 2 2 e1 e1 lim 0 x x x D 拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為 , 凸區(qū)間是凸區(qū)間是 , ),( 2 1 )e1,( 2 1 2 1 2. 曲線曲線 2 e1 x y 的凹區(qū)間是的凹區(qū)間是 , 提示提示: )21 (e2 2 2 xy x ),( 2 1 2 1 ),( 2 1 及 漸近線漸近線 . 1y y O x 1 )e1 ,( 2 1 2 1 1 21 2 (,1 e) P169 2 ; 4 作業(yè)作業(yè) 備用題備用題 求笛卡兒葉形線求笛卡兒葉形線yxayx3 33 的漸近線的漸近線 . 解解: 令令 y = t x , 代入原方程得曲線的參數(shù)方程代入原方程得曲線的參數(shù)方程 : x, 1 3 3 t ta y 3 2 1 3 t ta , 1tx時(shí)當(dāng) 因因 x y x lim 1 lim t 3 2 1 3 t ta 3 1 3 t ta 1 )(limxy x 1 lim t 3 2 1 3 t ta