向量知識點(diǎn)題型歸納

1、專題-平面向量1. 向向量的相關(guān)概念、2. 向量的線性運(yùn)算二向量的表示方法：(4)已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD 2 DB， CD r AB s AC，則r s的值是(答: 0)四.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)1 a a, 2 當(dāng) o 時(shí),與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下:a的方向與a的方向相同，當(dāng) 0,且b不同向，a b 0是 為銳角的必要非充分條件；當(dāng) 為鈍角時(shí)，a? b v0,且ab不反向，a b 0是 為鈍角的必要非充分條件；r r- -a?br r r r 非零向量a，b夾角 的計(jì)算公式：cos rr :|a?b| |a|b|。女口|a|b|(1) 已知a (

2、,2 )，b (3 ,2)，如果a與b的夾角為銳角，貝U 的取值范圍是41(答：4或 0且 丄);33廠(2) 已知 OFQ的面積為S，且OF FQ 1 ,若-S ，則OF , FQ夾角 的取值范圍是2 2(答:(,)；4 3六.向量的運(yùn)算：1.幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之uuu r uuu ruuu r r外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB a,BC b，那么向量 AC叫做a與b的和，即r r mu mu uuur a b AB BC AC ;uuu r uiur r r r uuu向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)A

3、B a, AC b,那么a b AB被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如uuu uuu uuu_ uuu uur(1)化簡： AB BC CD : AB ADuuuruuu r(答： AD ； CB ； 0 )；uuu r uiur(2)若正方形ABCD的邊長為1，AB a,BC(答：直角三角形)；uuurACuur CA，由減向量的終點(diǎn)指向uuirDC_ uuu；(ABuiuuCD)uuir(ACuuuBD)r unrrr r rb, ACc，則|a b c |uuuuuiruuuuuiruOB OCOBOC 2(3)若O是VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則VABC的形狀

4、為(答: 2 2);uuu uuu uuu uur r | AP |(4) 若D為ABC的邊BC的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PA BP CP 0 ,設(shè)luAL1，|PD|則的值為(答：2)；(5) 若點(diǎn)O是厶ABC的外心，且OA OB CO 0，則 ABC的內(nèi)角C為 (答：120)；2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a (X1,y1),b區(qū)也)，貝U： 向量的加減法運(yùn)算：a b (x1 x2， y1 y2)。女口uuuuuuur iu uu uu已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F1 (3,4), F2 (2, 5),F3 (3,1)，則合力F戸F? F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是(答: (9,1 ) 實(shí)數(shù)與向量的積

5、：aXj,%Xj, y1 ouuu一 若A(X|, y1), B(x2, y2)，則ABx2 x-!,y2 %，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如unr 1 uuuumruuu，亠 11設(shè) A(2,3), B( 1,5)，且 AC -AB , AD 3AB，則 C D的坐標(biāo)分別是 (答：(1二),(7,9)；33 平面向量數(shù)量積： a?b X1X2 yy。r r 2 r 向量的模：| a | x2 y2, a | a |2 x2 y2。如r ruu r,_已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么|a 3b | = (答：3 )；兩點(diǎn)間的距離：若A x1

6、,y1 ,B x2, y2，則1 AB |x?2y2y1。七.向量的運(yùn)算律:rrr rrr r r r r1 .交換律：abb a，aa， a?b b?a ;rrr r rr r rr r r rr rr r rr2.結(jié)合律：abc a bc, a bc a b c ，a ?ba?b a? b ;rrrr rrrr r rr r r r3.分配律:aaa, a ba b， a b ?ca ?c b?c。如下列命題中： a (b c) abac : a (b c) (a b) c :(a b)2 |a|2r r r2rrrr rr_abb21 a | | b | |b|;若 a b 0，則 a

7、0 或 b 0 ;若 a b c b,則 a c ; a a ;十;a ar rJ J r rr?r r r?(a b)2 a b :(a b)2 a 2a b b。其中正確的是 (答：)能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b?c) (a?b)c， 為什么？八. 向量平行(共線)的充要條件：a/b a b (a b)2 (| a |b |)2xy y-x? = 0。女口(i)若向量a (x,i),b(4,x)，當(dāng)x=時(shí)a與b共線且方向相同(答：2);rrrr r rrrr r(2) 已知 a(1,1),b(4,x)， ua2b， v2ab，且u/

8、v，貝Ux=(答：4);urnuuuuuu(3) 設(shè) PA (k,12), PB (4,5), PC (10,k)，則 k =時(shí)，A,B,C 共線(答：2 或 11)九. 向量垂直的充要條件：a b a b 0 |ab|ab|x1x2 y1 y2 0 .特別地uuuuuuuuuuuurABACABAC亦(uuuuuu )( uuuuuur )。如口ABACABACuunuiuuuuu uuu3(1)已知 OA ( 1,2), OB (3,m)，若 OA OB，則 m (答：-);2(2) 以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形 OAB B 90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(答: (1,3)或(3

9、， 1);rr it1 r 1 u ur(3) 已知n (a,b),向量n m，且n m，貝U m的坐標(biāo)是(答：(b, a)或( b,a)提醒：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不十線段的定比分點(diǎn)：.平移公式：如果點(diǎn)P(X, y)按向量a h,k平移至P(x,y )，則a = Xpp，yh ；曲線 f(x,y) 0kuurPP2，ULLT1 .定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P, P2上異于R、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使RP按向量a h,k平移得曲線f(x

10、 h, y k) 0.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)ULLUUUUU則 叫做點(diǎn)P分有向線段RP2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段RP2的以定比為 的定比分點(diǎn); 系？ (2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！ 如P1P2 的2. 的符號與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段卩！卩2上時(shí)0；當(dāng)P點(diǎn)在線段(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點(diǎn)(7,2)平移到點(diǎn)UULU延長線上時(shí) V 1；當(dāng)P點(diǎn)在線段卩2卩!的延長線上時(shí)10 ；若點(diǎn)P分有向線段P1P2所成UUUU1的比為，則點(diǎn)P分有向線段P2R所成的比為丄。女口y cos2x 1，貝U a =UUU0uuif若

11、點(diǎn)P分AB所成的比為3，則A分BP所成的比為4(2)函數(shù)y sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是12、向量中一些常用的結(jié)論：UUUL(1) 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用;3 .線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)PXyJ、P2(x2,y2)， P(x, y)分有向線段 RP2所成的比為，則X-)x21%y21XL=yJyL 線段卩巴的中點(diǎn)公式x2 x y2 yy為X22%y2。2在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式(2) |a| |b| |a b| |a| |b|，特別地，當(dāng) a b 同向或有 0 |aI |a|b|a| |b| |a b| ;當(dāng) a、b 反向或有 0 |a b|

12、|a|b|a|b| |ab| ;當(dāng)a b不共線時(shí),在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根應(yīng)明確(x, y)，(X1)、(X2, y2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)|a| |b| |a b| |a| |b|(這些和實(shí)數(shù)比較類似).據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比在ABC中,1(1)若 M(-3，-2 )，N (6, -1 )，且 MP MN,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為3若A X1, y1 , B X2,y2 ,C X3, y3，則其重心的坐標(biāo)為 GX1X2X3(答: ( 6, 7)；3% y23,亠 ”1ULUIUuur(2)已知A(a,0), B(3,2 a)，直線y -ax與線

13、段AB交于M，且AM 2MB，則a2等于若/ABC的三邊的中點(diǎn)分別為(2，1)、(-3，4)、(-1，-1 )，則/ABC的重心的坐標(biāo)為(答:uun urn uur rPA PB PC 0 P為ABC的重心;UUU . LUU UUU UUU PG 3(PA PB PC) G為 ABC的重心，特別地3uur urn uur uuur uuu uur PA PB PB PC PC PAP 為 ABC 的垂心；uuuuuur 向量（_uAuuu）（0）所在直線過 ABC的內(nèi)心（是BAC的角平分線所在直線）;|AB| |AC|三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩

14、邊對應(yīng)成比例（上右圖）題型一：共線定理應(yīng)用uuuuun uuuuiuuuu（4）向量PA、PB PC中三終點(diǎn)A、B、C共線 存在實(shí)數(shù)、 使得PAPBuuru PC且平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn) A（3,1）, B（ 1,3）,若點(diǎn)C滿足0Ci OA 2 OB,其中例一：平面向量a,b共線的充要條件是（）A.a,b方向相 同B.a, b兩向量中至少有一個(gè)為零向量C.存在 R, b a D存在不全為零的實(shí)數(shù)1, 2, 1a 2 b 01,則點(diǎn)C的軌跡是（答：直線AB12、向量與三角形外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)（下左圖）變式一：對于非零向量a,b，“ a

15、 b 0 ”是“ a/ b ”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件變式二：設(shè)a, b是兩個(gè)非零向量（ ）A.若 a b a _ b 則 a bB.若 a b，貝U a b a _ b重心C.若a b a b，則存在實(shí)數(shù)，使得ba D若存在實(shí)數(shù)，使得b三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心掌握重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍.（上右圖）三、垂心三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心.（下左圖）四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)例二：設(shè)兩個(gè)非零向量e,與，不共線，（1）如果 ABqe2,BC3e12e2,CD8e12

16、色,求證：A,C,D三點(diǎn)共線；（2）如果ABqe2,BC2q3e2,CD2e1ke2,且A,C, D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值。lr-b-b- b*it-變式一：設(shè)e1與e2兩個(gè)不共線向量，AB 2e） ke2,CB e 3e2,CD 2e）e?,若三點(diǎn)A,B,D共線, 求實(shí)數(shù)k的值。變式二：已知向量a,b，且AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,則一定共線的三點(diǎn)是（）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D題型二：線段定比分點(diǎn)的向量形式在向量線性表示中的應(yīng)用例一：設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，2BP BC BA,則A. 0 PA PBB. 0 PC PA

17、 C.0 PB PC D. 0 PC PA PB若 AC a, BD b,則 AF ( )A.1 1 ab, B.2、 1 / ab,1 1 1- 2; C.ab, D.ab,42332433題型三：三點(diǎn)共線定理及其應(yīng)用例一：點(diǎn)P在AB上，求證：OPOA OB 且=1 (,R,)變式四：在平行四邊形ABCD中 AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，變式一：已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且0 2OA OB OC ,那么（）A. A0 OD B. A0 2OD C. A0 3OD D. 2A0 OD變式二：在平行四邊形ABC沖AB示）a，AD

18、b，AN 3NC,M為BC的中點(diǎn)，貝U MN （用a,b表例二：在三角形ABC中, ABe，ACb,若點(diǎn)D滿足BD2DC ,則AD ()A.21 一 廠5 -be, B.c3332b3b,C.2 1 -be, D.331 2 - be,33變式一：（高考題）在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB 上, CD平分角ACB,CB a，CA b,耳1料 2,變式：在三角形ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB AC于不同的兩點(diǎn)M和N,若 AB mAM , AC nAN,貝U m+n=例二：在平行四邊形ABCD中 E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，DE與 AF交于點(diǎn)H,設(shè)AB a, BC b,則A

19、HA. ab, B. a b, C.a b, D.ab,55555555變式：在三角形ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊AC上一點(diǎn)且AN=2NC,AI與 BN相交于點(diǎn)P,若AP PM ,求的值。則 CD ()題型四：向量與三角形四心A12，f2 1 - 一3 -4r4，3 A. ab, B.a-b,C.ab, D.ab,33335555內(nèi)心變式二：設(shè)D,E,F分別是三角形 ABC的邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB,則例一：O是ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP OA/ AB AC、( ), ABACAD BE, CF 與 BC ()重心 D.垂心則

20、點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC（） A.外心 B.內(nèi)心 C.A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形ABCD中 E和F分別是邊CD和 BC的中點(diǎn)，若AC AE AF ,其，R,則變式一：已知非零向量AB與AC滿足（AB AC ） BCABAB ACACABABC為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形變式二:AB PCBC PACAPB 0 P為 ABC的內(nèi)心、重心例一：0是ABC內(nèi)一 點(diǎn)，0C0AOB 0 ,則為ABCB( ) A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂變式一：在ABC中, G為平面上任意一點(diǎn)，證明:G0Aj1

21、(GA GB GC) O 為 ABC 的重變式二：在ABC中, G為平面上任意一點(diǎn)，證明:GO(AB AC) O為 ABC的重心3三垂心:例一：求證：在 ABC中, OA OB OB OC0COA O為 ABC的垂心變式一：O是平面上一定點(diǎn)，A, B , C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足例一：若0是 ABC的外心，H是 ABC勺垂心，貝U OH變式一：已知點(diǎn)0, N, P在 ABC所在平面內(nèi)，且 0APA PB PB PCA.重心、外心、垂心C.外心、重心、垂心題型五：向量的坐標(biāo)運(yùn)算OA OC OB0BOC , 0 NA NB NC ,PC PA，貝U 0 N, P依次是例一：已知 A(-

22、2,4),B(3 ，標(biāo)。變式一：已知平面向量aB.重心、外心、內(nèi)心D.夕卜心、重心、 內(nèi)心OP OA (ABACAB COSBAC COSC ),R,則點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC()A.外心 B.內(nèi)心 C. 重心D垂心四外心abcB(-1) , C(-3 , -4)，且 CM 3CA,CN(、3, 1),b (2耳),向量；a2CB ,試求點(diǎn)M,N和MN的坐(t 3) b, y ka tb,其中t和k為不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，(1)若x y ,求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(2) 若x y ,求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=g(t).變式二：平面內(nèi)給定3個(gè)向量a (3,2), b ( 1

23、,2), c (4,1)，回答下列問題。(1)求3a b 2c ；(2 )求滿足a mb nc的實(shí)數(shù)m, n;(3)若(a kc) /(2b a)，求實(shí)數(shù)k ； ( 4 )設(shè) (x, y)滿足(d c) /( a b)且 dc|1，求 d。題型六：向量平行(共線)、垂直充要條件的坐標(biāo)表示例一：已知兩個(gè)向量a (1.2),b ( 3,2),當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，向量ka 2b與2a 4b平行?變式一：設(shè)向量a,b滿足|a|= 2 5 , b= (2,1 )，且a與b反向，貝U a坐標(biāo)為例二：已知向量 OA (k,12),0B (4,5), OC (k,10)且 A,B,C 三點(diǎn)共線，則 k=()A:

24、 3 B:2 C:- D:32332、31變式一：已知a (sin ),b (cos ,-),且a/b，則銳角a為23變式二： ABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設(shè)向量p (a c, b), q (b a, c a),若p/q ,則/C的大小為()A: B:-C: -D:6323題型七：平面向量的數(shù)量積若 BQ CP 2,貝U = () A:- B: -33例三：已知向量a,b,c滿足a b c 0變式一:變式二:變式三:在厶ABC中，若|AB已知向量a,b,c滿足a已知向量a,b,c滿足a題型八：平面向量的夾角3,|BC4, AC0,且aC: -D:23b16,則 AB BC

25、 BC CA CA ABb，ia 1ib2,則c0,且(a b) c,a b,1,則* 2 f 2 LI 2 a b |c例一：已知向量a (1,. 3),b( 2,0),則a與b的夾角是例一：(1)在 Rt ABC中, Z C=90 , AC=4,則 AB AC () A： -16B:-8C:8 D:16例二：已知a,b是非零向量且滿足(a 2b) a,(b 2a) b,則a與b的夾角是(2)(高)已知正方形ABCD勺邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE CB的值為; DE CB的最大值為(3)在厶ABC中, M是BC中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上滿足AP 2PM，則PA (PB PC)等于

26、()iI =* II =* I變式一：已知向量a,b,c滿足忡 1科 2,c a變式二：已知a,b是非零向量且滿足q R |ab, a c,則a與b的夾角是b,則a與a b的夾角是A:B:C:D:變式一：(高)如圖所示，平行四邊形 ABCD中, API BD,垂足為P,且AP=3，則AP AC =變式二：在厶ABC中, AB=1, BC= 2 , AC=/3，若0為厶ABC的重心，貝U AO AC的值為變式三：若向量a與b不共線，a b 0,且c a (-_ )b,則a與c的夾角是a b變式四：(高)若向量-與滿足1,| 1,且以向量t與為鄰邊的平行四邊形的面積為0 . 5,貝U與的夾角的取值

27、范圍是例二：(高)在矩形ABCD,AB= 2 ,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB AF . 2 ,則AE BF的值是I IF =+* * *例二：已知忡2, b 1 , a與b的夾角為45，求使向量a b與a b的夾角為銳角的的取值范圍。變式一：(高)在AABC 中，A 900, AB 1 ,AC=2.設(shè)點(diǎn) P,Q 滿足 AP AB, AQ (1 )AC, R,變式一：設(shè)兩個(gè)向量g，滿足2上1 , eg的夾角為-，若向量2te1 7e2與e1論的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍變式二：已知a與b均為單位向量，其夾角為2 P1:a b10, 3 )；P2 : aP4 :a b1(,;其中的真命題是,有下列b3()A.4個(gè)命題:；P3 ： a1肥)；Pl, P4B.P1, P3 C.P2, P3 D.P2, P4題型九：平面向量的模長例一：已知alb5，向量a與b的夾角為一，求a3b。變式一：已知向量a與b滿足|a|1,2, a b2，則a變式二：已知向量a與b滿足|a|1,b2,羽b的夾角為-，則a變式三：在厶ABC中，已知|AB 3, BC4, ABC 60,求 AC .f fo例二：已知向量a與b的夾角為，3變式一:(高)已知向量a與b的夾角為，且41,2a b