初中數(shù)學中的動點最值基本模型

1、動點最值基本模型、最值類型1. 飲馬型：即將軍飲馬型，通常為兩條線段之和的最值問題，利用對稱性質(zhì)將其中一條 線段進行轉(zhuǎn)換， 再利用兩點之間線段最短 （或三角形三邊關系） 得到結(jié)果。（本公眾號有 “【解 題模型】將軍飲馬” ）2. 小垂型：即小垂回家型，通常為一條線段的最值問題，即動點的軌跡為直線，利用垂 線段最短的性質(zhì)得到結(jié)果。3. 穿心型：即一箭穿心型，通常為一條線段的最值問題，即動點的軌跡為圓或弧，利用點與圓的位置關系得到結(jié)果。 （本公眾號有“一箭穿心，圓來如此一文” ）4. 轉(zhuǎn)換型：即一加半型，通常為一條線段與另一條線段一半的和的最值問題，即將那半條線段利用三角形中位線或 30 的對邊等

2、知識進行轉(zhuǎn)換，再利用飲馬或小垂或穿心。5. 三邊型：即三角形三邊關系關系型，通常利用兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第 三邊求其最大（?。┲?。6. 結(jié)合型：即以上類型的綜合運用，大多為飲馬+小垂【如包河一模 20 題】【瑤海一模第 10 題】、小垂 +穿心【如廬陽二模第 10 題】、飲馬 +穿心【如瑤海二模第 10 題】飲馬 +轉(zhuǎn)換 【如蜀山二模第 10 題】等二、分類例析一、飲馬型例1：如圖，在正方形 ABCD中，點 E在CD上， CE=3, DE=1, 點P在AC上，則 PE+PD 的最小值是 .解析：如圖例 2：如圖所示， 正方形 ABCD的面積為 12，ABE是等邊三角形， 點 E 在

3、正方形 ABCD內(nèi)，在對角線 AC 上有一點 P，使 PD+PE的和最小，則這個最小值為圖為P四、轉(zhuǎn)菱形解析：如下圖、小垂型AC8，BC6，點 P是 AB 上的任意一點，例 3：如圖，在 RtABC 中， C90，作 PD AC 于點 D，PECB 于點 E，連接 DE，則 DE的最小值為解析：如下圖三、穿心型解析：如下圖例 4：如圖，在邊長為 4 的菱形 ABCD 中， ABC=120， M 是 AD 邊的中點， N 是 AB邊上一動點， 將AMN 沿MN 翻折得到 AMN，連接 AC，則 AC長度的最小值是換型例 5: 如ABCD內(nèi)一點， 且 P 到 A、B 兩點的距離相等，若 C=60，

4、CD=4，則的最小值為 解析： 因為 P到 A、B兩點的距離相等， 所以 P 在 AB 的垂直平分線上， 又因菱形 ABCD 中 C為 60，所以 ABD為等邊三角形， AB 的垂直平分線經(jīng)過點 D,如下圖由 ADP=30度，可將 PD的一半進行轉(zhuǎn)換，即過點 P作 AD的垂線。如圖，即 B、P、 F三點共線，且 BFAD 時最短五、三邊型例 6：如圖， MON=90 ，矩形 ABCD的頂點 A、B分別在邊 OM，ON 上，當 B在邊 ON上運動時， A隨之在邊 OM 上運動，矩形 ABCD的形狀保持不變，其中 AB=2，BC=1，運 動過程中，點 D到點 O 的最大距離為 解析：如下圖因為 A

5、B 為定長，所以取其中點 E，則 OE為定值，在 ODE中， DE為定 值， OE為定值，根據(jù)三角形三邊關系即可得到OD 的最大值。例 7：如圖，已知 ABC中， ACB=90， BC=4， AC=8，點 D在 AC上，且 AD=6，將 線段 AD繞點 A旋轉(zhuǎn)至 AD， F為 BD的中點，連結(jié) CF，則線段 CF的取值范圍 .解析：解法一：瓜豆原理，點 F 的軌跡為圓，一箭穿心便可以求出其取值范圍。解法二：如下圖，取 AB 的中點 M ，連接 FM,CM，由斜邊上的中線等于斜邊的一半得 CM為定值，由三角形中位線得 FM為定值，所以在 CFM中，三邊關系可得到 CF的取值范 圍.例 8：如圖，

6、 BA=1，BC=2，以 AC為一邊做正方形 AEDC，使 E，B 兩點落在直線 AC 的 兩側(cè)，當 ABC變化時，求 BE 的最大值 .解析：將 AEB以點 A 中心順時針旋轉(zhuǎn) 90，得到 ACB,如下圖所示，連接 BB，所 以 BC=BE，在 BBC 中， BB為定值， BC為定值，三角形三邊關系即可得到BC的最大值，即 BE的值 .6. 結(jié)合型例9：如圖，正方形 ABCD中， AB=4, E為CD邊的中點， F、G為 AB、 AD邊上的點，且 AF=2GD, 連接 E、DF 相交于點 P，當 AP為最小值時， DG=解析：由 AF=2GD， AD=2DE，得 AFD DGE.如下圖GED

7、F, 那么線段 AP中， A點為定點， P為動點，由 DPE為直角，所以 P的軌跡為 一以 DE中點為圓心的一段弧。如下圖由一箭穿心可得到 AP 的最小值為 A,P,M 三點共線，而此時，由 DMP FAP可得到 AP=AF即可得到結(jié)果 .三、?？挤治觥緩]陽二模第 10 題】如圖，在平面直角坐標系中， A(6,0),B(0,8),點 C在 y 軸正半軸上， 點 D 在 x 的正半軸上，且 CD=6，以 CD為直徑在第一象限作半圓，交線段 AB 于點 E、F，則 線段 EF的最大值為 如圖，在平面直角坐標系中， A(6,0),B(0,8),點 C在 y 軸正半軸上，點 D 在 x 的正半軸上，且

8、 CD=6，以 CD為直徑在第一象限作半圓，交線段 AB 于點 E、F，則 線段 EF的最大值為 解析：線段 EF由于半圓的變化而變化，所以應將其作為弦的變化來看，而弦長又與弦 心距存在變量之間的關系，所以首先作出弦心距.如下動圖，所以當 PQ 最小時， EF最大。方法一：穿心小垂( P點為以 O點圓心， OP為半徑的弧上)求出 OQ的最值，即 PQ 的最小值，再由勾股定理和垂徑定理可求得 EF.方法二：三邊 +小垂（三角形 OPQ）求出 OQ 的最值解析：由拋物線解析式可求出點A、B 的坐標分別為，所以 OAP=30，如下圖【瑤海二模第 10 題】如圖，矩形 ABCD中， AB=2,AD=3,點 E,F分別為 AD,DC邊上的點， 且 EF=2,點 G 為 EF的中點，點 P 為 BC上一動點 .則 PA+PG的最小值為（ ）A.3 B.4C.2 5D.5解析：因為 G 為 EF的中點，EF=2，所以點 G 的軌跡為以 D 為圓心 DG 為半徑的弧， 【飲 馬+穿心】即 A，P，G，D四點共線時， PA+PG最?。?PA+PG=PA +PG+DG）【練習 1】如圖，已知