數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限

1、數(shù)學(xué)分析教案第二章數(shù)列極限1 數(shù)列極限概念教學(xué)目的與要求 ：使同學(xué)們理解數(shù)列極限存在的定義，數(shù)列發(fā)散的定義，某一實(shí)數(shù)不是數(shù)列極限的定義；掌握用數(shù)列極限定義證明數(shù)列收斂發(fā)散的方法。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) ：數(shù)列極限存在和數(shù)列發(fā)散定義的理解；切實(shí)掌握數(shù)列收斂發(fā)散的定義，利用數(shù)列收斂或發(fā)散的定義證明數(shù)列的收斂或發(fā)散性。教學(xué)內(nèi)容 ：一、課題引入1預(yù)備知識(shí)：數(shù)列的定義、記法、通項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等有關(guān)概念。2實(shí)例：戰(zhàn)國時(shí)代哲學(xué)家莊周著莊子天下篇引用一句話“一尺之棰，日取其半，萬古不竭。 ”將其“數(shù)學(xué)化”即得，每天截后剩余部分長度為（單位尺）1 ， 12 ， 13 ， ， 1n ， 2 2221或簡記作數(shù)列：2n1分析：

2、1、隨 n 增大而減小，且無限接近于常數(shù)0；n22數(shù)軸上描點(diǎn)，將其形象表示：數(shù)形結(jié)合方法-10111222將其一般化，即引出“數(shù)列極限”概念二、數(shù)列極限定義1將上述實(shí)例一般化可得：當(dāng) n 無限增大時(shí)an 無限接近常數(shù)a對數(shù)列an，若存在某常數(shù)a，當(dāng) n 無限增大時(shí)， an 能無限接近常數(shù)a，則稱該數(shù)為收斂數(shù)列， a 為它的極限。例如： 1， a=0；n3( 1) n，a=3;nn2，a不存在，數(shù)列不收斂；為什么強(qiáng)調(diào)存在N- 1 -( 1)n數(shù)學(xué)分析教案，a不存在，數(shù)列不收斂；2將“ n 無限增大時(shí)”，數(shù)學(xué)“符號(hào)化”為： “存在 N，當(dāng) n N時(shí)”將“ an 無限接近 a”，數(shù)學(xué)“符號(hào)化”為：任

3、給0 an a ( 1) n1任給：無限接以 3 為極限，對=例如對 3 ()n10 ，要使an a3( 1) n3 = 11nn10只需取 N=10，即可3“抽象化”得“數(shù)列極限”的定義定義：設(shè)an是一個(gè)數(shù)列， a 是一個(gè)確定的常數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某一自然數(shù) N，使得當(dāng) n N 時(shí)，都有ana 則稱數(shù)列a n 收斂于 a，a 為它的極限。記作lim ana( 或 a a,(n )nn說明（ 1）若數(shù)列 an 沒有極限，則稱該數(shù)列為發(fā)散數(shù)列。（ 2）數(shù)列極限定義的“符號(hào)化”記法：這是用極限定義證明limn an a 的具體方法lim an a0， N，當(dāng) n N，有ana（為什么？）思

4、考n（ 3）上述定義中的雙重性：0 是任意的，但在求N 時(shí)，又可視為是給定的，由“任意性”可知，不等式 ana ，可用 an a 2， ana 2 來代替 “”號(hào)也可用 “”號(hào)來代替 （為什么？）思考雙重性（ 4）上述定義中 N的雙重性： N 是僅依賴 于的自然數(shù)， 有時(shí)記作 N=N（）（這并非說明 N 是的函數(shù)，（為什么？）思考是即： N 是對應(yīng)確定 的！但 N 又不是唯一 的，只要存在一個(gè)N，就會(huì)存在無窮多- 2 -數(shù)學(xué)分析教案個(gè) N（為什么？）思考（ 5）如何用肯定的語氣敘述lim ana：n0，。盡管。 N，但 an o a 。這是用極限定義證明 limn a n a0， N nn的具

5、體方法（ 6）如何用肯定的語氣敘述，數(shù)列an 發(fā)散：aR， OO0， N， n盡管 n N，但ao 。(a)o,onao（ 7） limnan a 的幾何意義：aNn或 an或 aNaa-aa+即 a 的任給鄰城，都存在一個(gè)足夠大的確定的自然數(shù)N，使數(shù)列 an中,所有下標(biāo)大于 N 的 an, 都落在 a 的鄰城內(nèi)。lim ana的例題. 三、用極限定義證明 n1（ K 為正實(shí)數(shù)）例 1. 證明 nnk0lim證：由于 101n knk所以 0，取 N= 11k, 當(dāng) nN 時(shí), 便有 10nk注：或?qū)懽鳎?0，取 N= 11k，當(dāng) nN 時(shí)，有101， n1knKnKlimn0例 2.證明n3

6、n 2n24lim3分析，要使3n 21212（為簡化，限定 n 3n 23n24n4只要 n 12- 3 -數(shù)學(xué)分析教案證.0,取N max12,3 , 當(dāng) n N , 有3n 21212n 2 43nn2 4由定義 lim3n23n24n適當(dāng)予先限定 nn。是允許的！但最后取N時(shí)要保證 n n。例 3證明lim qn，這里q=01n證. 若 q=0, 結(jié)果顯然成立若 0 q 1，令 q = 1(h 0)1h由于 q nqn1由貝努利不等式1 1(1 h)n1nhnh所以，0，取 N= 1,當(dāng) n N，有 q n0h注： 1特別地寫當(dāng) q=1時(shí)，此即為上述實(shí)例中的n1 )n0lim (22貝

7、努利不等式（ h）n 1+nh.3由例 2、例 3 看出，在由 ana 中求 N 時(shí)，適當(dāng)?shù)?“放大”不等式，可以簡化運(yùn)算。而“放大”的技巧應(yīng)引起同學(xué)們注意體驗(yàn)、總結(jié)。如：用已知不等式，用限定“ nn?！钡确椒?。例 4證明 lim n a1，其中 a1n1證. 令 a n -1=，則0=（1+）n1+n111 a1由貝努利不等式=1+n（ a n1 ）或 a nn ，取a 11思考：這里取a1 也可以，為N=，當(dāng) nN有 a n 10N=什么？四、等價(jià)定義與無窮小數(shù)列定義 1 任給 0，若在 U（a; ）之外數(shù)列 an 中的項(xiàng)至多只有有限個(gè)，則稱數(shù)列 an 收斂于極限 a。由定義 1可知，若存

8、在某0 0，使得數(shù)列an 中有無窮多個(gè)項(xiàng)落在U(a； 0)- 4 -數(shù)學(xué)分析教案之外，則an 一定不以 a 為極限。例 5 證明 n 2 和 ( 1)n 都是發(fā)散數(shù)列。分析利用定義 1證例 6 設(shè) lim xnlim yna ，作數(shù)列 zn如下：nnzn： x1 ，y1，x2， y2， ， xn ，yn， 。證明lim zna 。n分析利用定義 1證例 7 設(shè) an 為給定的數(shù)列，bn 為對 an 增加、減少或改變有限項(xiàng)之后得到的數(shù)列。證明：數(shù)列 bn 與 an 同時(shí)為收斂或發(fā)散， 且在收斂時(shí)兩者的極限相等。分析利用定義 1證設(shè) an 為收斂數(shù)列，且lim an =a。按定義 1 ， 。n現(xiàn)設(shè)

9、 an 發(fā)散，倘若bn 收斂，則因an 可看成是對bn 增加、減少或改變有限項(xiàng)之后得到的數(shù)列， 故由剛才所證，an 收斂，矛盾。所以當(dāng)an 發(fā)散時(shí)bn也發(fā)散。在所有收斂數(shù)列中，有一類重要的數(shù)列，稱為無窮小數(shù)列，其定義如下：定義 2 若 lim an0 ，則稱 an 為無窮小數(shù)列 。n前面例 1、2、4 中的數(shù)列都是無窮小數(shù)列。由無窮小數(shù)列的定義，讀者不難證明如下命題：定理 2. 1數(shù)列 an 收斂于的充要條件是：an為無窮小數(shù)列。五、小結(jié)： ( 可以師生共同總結(jié)，或教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，然后教師再條理一下 )本節(jié)課重點(diǎn)在于“數(shù)列極限的概念” ，而“用極限定義證明極限”的例題學(xué)習(xí)也是為了鞏固極限概念

10、。為此，同學(xué)們要注意：重 點(diǎn)1極限概念的 “ -N”敘述要熟練掌握， 并注意理科， N 的雙重性。難點(diǎn)2用極限定義證明極限時(shí)， 關(guān)鍵是由任給的 0 通過反解不等式an-a 求 N，其中的若干技巧在于化簡不等式。特別注意不等式的“放大”要適度；即要盡可能化簡，又不要過度， N 的表達(dá)式一定僅依賴于，當(dāng)然 N 是否是自然數(shù)，倒是無關(guān)緊要的。- 5 -數(shù)學(xué)分析教案3 同學(xué)們在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的同時(shí)要反復(fù)體驗(yàn)其中滲透看的重要數(shù)學(xué)思維方法，如：抽象化法，數(shù)形結(jié)合法，符合化法等，這對于大家體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本著特點(diǎn)及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力是十分有益的。 關(guān)于這一點(diǎn)希望同學(xué)們在課下復(fù)習(xí)時(shí)反復(fù)體會(huì)一下，并結(jié)合以前學(xué)過的知識(shí)中

11、的類似方法對照思考。復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：數(shù)列收斂發(fā)散的定義是什么？收斂發(fā)散的概念是不是相反的？1（1），2，3，4，6 2 收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)目的與要求：掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)如唯一性，有界性，四則運(yùn)算等及應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：收斂數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用， 數(shù)列子列的定義及數(shù)列子列收斂與數(shù)列收斂之間的關(guān)系。教學(xué)內(nèi)容：收斂數(shù)列主要有唯一性、有界性、保號(hào)性、保序性、迫斂性、四則運(yùn)算性、子列性等重要性質(zhì)， 通過這些性質(zhì)的學(xué)習(xí)， 可使學(xué)生掌握數(shù)列極限的定義與應(yīng)用定義證明有關(guān)命題。1、 唯一性定理 2.2若數(shù)列 an 收斂，則它只有一個(gè)極限。分析使用幾何定義定義1證注 1：本性質(zhì)證明使用幾何定義。為讓學(xué)生學(xué)會(huì)取特殊

12、的，可講解反證法證明。這樣更可體現(xiàn)極限的“N ”定義。注 2：一個(gè)收斂數(shù)列一般含有無窮多個(gè)數(shù)，而它的極限只是一個(gè)數(shù)。體現(xiàn)了無限與有限之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系， 這樣由這一個(gè)數(shù)就能精確地估計(jì)出幾乎全體項(xiàng)的大小，以下收斂數(shù)列的一些性質(zhì)，大都基于這一事實(shí)。2、有界性定理 2.3若數(shù)列 an 收斂，則an 為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù) n 有anM 。分析證注 1： 的取法注 2： 有界性只是數(shù)列收斂的必要條件， 而非充分條件，例如數(shù)列 ( 1) n有界，但它并不收斂（見1 例 6）。3、保號(hào)性- 6 -數(shù)學(xué)分析教案定理 2.4若 lim ana 0 或 0，則對任何 a（ 0， a） ( 或 a

13、(a, 0) ) ，存n在正數(shù) N，使得當(dāng) n N時(shí)有 an a（或 an a ）。分析證注 1： 的取法注 2：在應(yīng)用保號(hào)性時(shí)，經(jīng)常取 aa 。4、保序性2定理 2.5設(shè) an與 bn 均為收斂數(shù)列，若存在正數(shù)N ，使得當(dāng) nN 時(shí)有00an bn ，則 lim an lim bn 。nn分析定義與第一章 1 例 2證注 1：N的取法思考：如果把定理 2.5 中的條件 anbn，換成嚴(yán)格不等式 an bn，那么能否把結(jié)論換成 lim an lim bn ？nn例1設(shè) an0（n=1，2， ）。證明：若 lim ana，則 limana 。nn分析定理 2.5 、定義與分類討論證4、迫斂性定理

14、 2.6設(shè)收斂數(shù)列an ， bn 都以 a 為極限，數(shù)列cn 滿足：存在正數(shù)N0，當(dāng) nN0 時(shí)有an cn bn（4）則數(shù)列 cn 收斂，且 lim cn a 。n例2求數(shù)列 n n 的極限。分析解5、四則運(yùn)算法則定理 2.7若 an 與 bn 為收斂數(shù)列，則anbn ， anbn ， an bn 也都是收斂數(shù)列，且有l(wèi)im (anbn )lim anlim bn ,nnnlim (an bn )lim an lim bn 。nnn- 7 -數(shù)學(xué)分析教案特別當(dāng) b ，為常數(shù) c 時(shí)有nlim (an c)lim an c,lim canc lim an 。nnnn若再假設(shè) bn 0 及 li

15、m bn0，則 an也是收斂數(shù)列，且有nbnlimanlim an / lim bn 。bnnnn分析 只須用定義證明關(guān)于和、積與倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)論證例 3 求limam nmam 1nm 1a1n a0,kk 1nbkn bk 1nb1n b0其中 mk，am 0，bk 0。分析四則運(yùn)算法則例 4求 liman，其中 a 1 。nna1分析分類討論與四則運(yùn)算法則解例 5求 limn(n1n ) 。n6、子列定理定義 1設(shè)an為數(shù)列，nk為正整數(shù)集的無限子集，且n n nN+2k1 ，則數(shù)列an 1 , an 2 , an k,稱為數(shù)列 an的一個(gè)子列，簡記為 a nk。注 1由定義 1 可見，

16、a n 的子列 ank 的各項(xiàng)都選自 an ，且保持這些項(xiàng)在an 中的先后次序。 an k中的第 k 項(xiàng)是 an 中的第 nk 項(xiàng)，故總有 nkk 。實(shí)際上nk 本身也是正整數(shù)列n 的子列。例數(shù)列 an的子列 a2k、 a2 k 1、 an。注 2 數(shù)列 an 本身以及 an 去掉有限項(xiàng)后得到的子列，稱為 a n 的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為 an 的非平凡子列 。- 8 -數(shù)學(xué)分析教案例如 a n 的非平凡子列 a2k 和 a2 k 1 。性質(zhì) 由上節(jié)例 8，數(shù)列 an 與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限。定理 2.8 數(shù)列 an收斂的充要條件是： an的任何非

17、平凡子列都收斂。分析必要性由定義，充分性利用必要性與上節(jié)例7證注：定理 2.8 的你否命題是判斷數(shù)列發(fā)散的有力工具：若數(shù)列 a n 有一個(gè)子列發(fā)散，或有兩個(gè)子列收斂而極限不相等，則數(shù)列an一定發(fā)散。應(yīng)用舉例：數(shù)列 (1) n ，其偶數(shù)項(xiàng)組成的子列 ( 1)2 n收斂于 1，而奇數(shù)項(xiàng)組成的子列 (1)2 k 1 收斂于 -1 ，從而 (1) n 發(fā)散，再加數(shù)列sin n，它的奇數(shù)項(xiàng)2組成的子列sin 2k 1即為 ( 1) k 1，由于這個(gè)子列發(fā)散，故數(shù)列sin n發(fā)22散。復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題 ：1 （2）（4）（6），4，5，6.難題解答3 數(shù)列極限存在的條件教學(xué)目的與要求 ：掌握數(shù)列極限存在

18、性的判斷準(zhǔn)則：單調(diào)有界性定理， Cauchy準(zhǔn)則及應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) ：單調(diào)有界性定理， Cauchy 準(zhǔn)則的證明及應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容 ：極限理論的兩個(gè)基本問題：一、數(shù)列是否有極限 ( 極限的存在性問題 ) ；二、若極限存在，如何計(jì)算此極限（及限值的計(jì)算問題） 。困難：依定義需將每個(gè)實(shí)數(shù)用定義一一驗(yàn)證，不可能。解決方法：直接從數(shù)列本身的特征來做出判斷。本節(jié)介紹的兩個(gè)定理非常重要， 他們不僅是判斷數(shù)列是否存在極限的充分條件和充要條件，而且也與實(shí)數(shù)完備性定理等價(jià)。一、單調(diào)有界定理定義若數(shù)列 a n 的各項(xiàng)滿足關(guān)系式- 9 -數(shù)學(xué)分析教案an an 1 （ anan+1）則稱 an 為遞增（遞減）數(shù)列 ，

19、遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列，如1為n遞減數(shù)列，n2為遞增數(shù)列，而( 1) nn與 n則不是單調(diào)數(shù)列。1n定理 2.9 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。分析找到極限即可，用確界原理證注：通過證明可知， 單增有上界數(shù)列有極限且其極限為其上確界， 單減有下界數(shù)列有極限且其極限為其下確界。例 1設(shè)an=1+111, n1,2,，2a3ana其中實(shí)數(shù) a2。證明數(shù)列an收斂。分析證例 2證明數(shù)列2,22,222,n 個(gè)根號(hào)收斂，并求其極限。分析證例 3設(shè) S 為有界數(shù)集。證明：若 supS=aS，則存在嚴(yán)格遞增數(shù)列，xnS使得lim xn a 。n分析構(gòu)造性證明方法，常用證例 4證明 lim (11) n 存在。nn分析證先建立一個(gè)不等式。設(shè) ba0，對任一正整數(shù) n 有b n 1an 1 （ n+1） bn (b-a) 。即-10-數(shù)學(xué)分析教案a nn。（ 1）1 b (n+1)a-nb以 a=1+ 1,b11 代入（ 1）式證明 (11) n為遞增數(shù)列。n1nn再以 a=1， b