勾股定理典型例題詳解與練習(xí)

1、典型例題 知識(shí)點(diǎn)一、直接應(yīng)用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有 AB CD EF、GH四條線段, 其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（） A. CD、EF、GH C. AB、CD GH B. AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分樂屮 1）題意分析本題考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾臉定理直接求出各邊長(zhǎng)，再試行判斷 解答過整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根據(jù)勾股定理，得昇 EF = Q掄於十尸 = Q +F二艮 同理 HE = 2百* QH. =1 CD = 25 計(jì)算發(fā)現(xiàn) W 十血尸=（鷗31即血+曲=GH2

2、 ,根據(jù) 勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF GH為辺的三角形是直毎三角形.故選 B. * 縮題后KJ思專：* 1. 勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于說角三角形和鈍角三角形 因此辭題時(shí)一宦妾認(rèn)真分析題目所蛤條件,看是否可用勾股定理來解口 * 2. 在運(yùn)用勾股左理時(shí)，要正確分析題目所給的條件，不要習(xí)慣性地認(rèn)為 就是斜迫而“固執(zhí)”地運(yùn)用公式川二/十就 其實(shí)，同樣是S6 不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐 3. 直角三第形的判定條件與勾股定理是互逆的.區(qū)別在于勾股定理的運(yùn) 用是一個(gè)從卅形s個(gè)三角形是直角三角形）到懺 y =沖十滬） 的過程，而直角三角形的判定是一從 嗦

3、（一個(gè)三角形的三辺滿足 X二護(hù)+酹的條件）到偲個(gè)三角形是直角三角形）的過程.a 4在應(yīng)用勾股定理解題叭 聲全面地琴慮間題.注意m題中存在的多種 可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一塊直角三角形椀屈U,兩直角迫4CM5沁丸m 現(xiàn)將直角邊AC沿直繪AD折蠡 便它落在斜邊AB上.且點(diǎn)C落到點(diǎn)E處, 則切等于（、* C/)禎 B. 3cmG -Icni n題童分析，本題著查勾股定理的應(yīng)用刎 ：）解龜思路；車題若直接在MQ中運(yùn)用勾股定理是無法求得仞的 長(zhǎng)的，因?yàn)樨愔僖粭l邊衛(wèi)0的長(zhǎng)，由題意可知，AACD和心迓門關(guān)于直 線KQ對(duì)稱.因而ACDhAED進(jìn)一歩則有應(yīng)RUm CZAED ED 丄AB,設(shè) UD=

4、E2黃泱，則在Rt A ABO中，由勾股定理可得 =（+=83=100,得 AB=10cm,在松遲DE 中,W ClO-fl） 2= d驚解得尸九4 解龜后的思琴尸 勾股定理說到底是一個(gè)等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程。所以，在利用勾 股定理求線段的長(zhǎng)時(shí)常通過解方程來解決。勾股定理表達(dá)式中有三個(gè)量，如果 條件中只有一個(gè)已知量，必須設(shè)法求出另一個(gè)量或求出另外兩個(gè)量之間的關(guān)系， 這一點(diǎn)是利用勾股定理求線段長(zhǎng)時(shí)需要明確的思路。 方程的思想：通過列方程（組）解決問題，如：運(yùn)用勾股定理及其逆定理求 線段的長(zhǎng)度或解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常利用勾股定理中的等量關(guān)系列出方程來解 決問題等。 例3： 一場(chǎng)罕見的大風(fēng)過

5、后，學(xué)校那棵老楊樹折斷在地，此刻，張老師正和占 明、清華、繡亞、冠華在樓上憑欄遠(yuǎn)眺。 清華開口說道：“老師，那棵樹看起來挺高的?！?“是啊，有10米高呢，現(xiàn)在被風(fēng)攔腰刮斷，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧?！惫谌A興致勃勃地說。 張老師心有所動(dòng)，他說：“剛才我跑過時(shí)用腳步量了一下，發(fā)現(xiàn)樹尖距離 樹根恰好3米，你們能求出楊樹站立的那一段的高度嗎？” 占明想了想說：“樹根、樹尖、折斷處三點(diǎn)依次相連后構(gòu)成一個(gè)直角三角 “勾股定理一定是要用的，而且不動(dòng)筆墨恐怕是不行的?！崩C亞補(bǔ)充說。 幾位男孩子走進(jìn)教室，畫圖、計(jì)算，不一會(huì)就得出了答案。同學(xué)們，你算 出來了嗎？ 思路分析： 1）題意分析

6、：本題考查勾股定理的應(yīng)用 2）解題思路：本題關(guān)鍵是認(rèn)真審題抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行分析才能得出正確 的解答 設(shè)直角三角形削三邊長(zhǎng)分別為久 亠 如圖，則圧二了米 10丿 十 g =U 又 c-b1 -a 20 （米）* c -b c+B 1010 （米）.事 解題后的慝曲 這是一道圈讀理解奚試蕊 這種題型特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、趙越常規(guī)， 源于謹(jǐn)本，高干課本*不彳貝考査閱謹(jǐn)能力，而且還綜合考杳數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù) 學(xué)嫌合應(yīng)用能打尤其著查藪字思縫能力和創(chuàng)新意込解題時(shí)一股是通 過閱滿理解槪念，拿握方法碩悟思想、抓住本質(zhì)，然后才能解答間題汀 知識(shí)點(diǎn)二、構(gòu)造直角三角形使用勾股定理 例4；如圖,一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜談在墻角處

7、（與墻面和地面均沒有耀隙 有一只螞蚊從柜陽(yáng)丿處沿著木柜表面爬到柜角G處.“ 謎你畫出螞觀能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑，Q 當(dāng) 曲 ，C=4匚以 時(shí).求螞蟻爬過的震矩路徑的長(zhǎng)尹 匕、求點(diǎn).國(guó)到餵短踣徑的距籬口 備用圖 思路分析：屮 1躍分析；卞題葦查勾股定理例應(yīng)用.P 23解題思路；解決此糞間題的關(guān)國(guó)是把立悴圈形間題轉(zhuǎn)化丸平面圖形 問題.從而制用勾股定理解決.路徑雖無數(shù)最短卻唯一，要注意養(yǎng)洛哪一 條路徑是最短的.心 解答過程：(1)如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩珈和 屮 r 螞秋能夠最快到達(dá)目的地的可自囲徑有如圖的/q和 螞蛾沿著木柜表面經(jīng)娃段禺到G,爬過的路徑的檜是 押+(4 +對(duì)二坷” 螞軾

8、沿著木柜表貢經(jīng)線段刀耳到爬過的路徑的長(zhǎng)是 右二奸遍匚亨二J., 最短路徑的長(zhǎng)是耳=毘屮 恥=坐 AA = = 5= 作耳左丄肚吁碼則夠、89沖 所求.4 解題后的恿考 轉(zhuǎn)化的思想是將夏朶問題特他分解次簡(jiǎn)單旳I可題，或?qū)⒛吧腎可題 轉(zhuǎn)化為熟悉的間題來處理的一種慝想右法。如在許多實(shí)際間題中.首先 將師習(xí)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，另外，當(dāng)間題中沒有給出直甬三甬形時(shí)，通 常通過作輔助線構(gòu)造直角三角形將它們轉(zhuǎn)化為直角三角形問題等。 脣一塊直垢三用形的綠地，爲(wèi)得兩直角邊長(zhǎng)分別為皿 8m現(xiàn)在 妾將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形!且擴(kuò)充部分是以如為直角邊的直角三角形 求擴(kuò)充后等腰三甬形綠地的周長(zhǎng).亠 思翳分析：此題如戶圈形將

9、變得很簡(jiǎn)單，搔圈形解答同網(wǎng)但若沒有 圖彩，則需藝討論幾種可能的情況.這正是肚無圖題前細(xì)恩考，分糞討論 保周到二心 解答5過程，在Rt曲C中，ZACB - 90a, AC- r-再 在RtAAB龜中，由AE = A求出九B=l ?再分別求出A AO0-. AABAl AAiBEr的面機(jī) 從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律！猜想出結(jié)論。敘 在 RtAAEO 中，由ZAOB=?Ci OA=OB=1,可求出 AB= V2 , S 丄 2 Ob-2 41= 2 =2i； RtAAB Ai 中，由ZAiAB=?u% AB=AAi = J_ V2 P 可求出盤田=2, Sa=2xV2 x-JS =1=2）在 RtAAiBBi中，

10、由 N 1 AiBBi=?0% AiB=BBi = 2,可求出 AiB】=2 J區(qū) 耳=3 “a 2=2=24 在RiAAj BaBi中，由藝比：直出1 =死篤 扎珀=如比=池,可 2 求出Bi Ba=4i 4= 2x22 x 2y/2 =4=22： *由此可UA猜想 =2B3,*1 解題后的恩若；割匕歸納法是兩種或兩種以上在某些關(guān)系上表現(xiàn)相似 的對(duì)象誑行S寸比，作出歸納制斷的一種科學(xué)硏究方法.在中苕數(shù)學(xué)中若查 類比歸納法，皆在引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)知識(shí)的類比和歸納，把知識(shí)由點(diǎn)連成線， 由紅織成網(wǎng).便知識(shí)有序化、系統(tǒng)f匕 從而使學(xué)生拿握知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律 気習(xí)導(dǎo)學(xué)屮 下一講我（門將瞬認(rèn)四辺形的應(yīng)用.本講內(nèi)

11、容是中垮堇點(diǎn)之一，如特殊 四辺形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等B縣形）的性質(zhì)和判定， 以圧運(yùn)肩這些知識(shí)解決買際間題.中著中常比迭擇題、埴空題、解答題和 證胡題諄膨式呈現(xiàn)，近年的中考中文出現(xiàn)了開議題、應(yīng)用SL閱謹(jǐn)理 學(xué)科閭綜臺(tái)題、動(dòng)點(diǎn)間題、折醫(yī)問題等，這些都是熱點(diǎn)題型，應(yīng)引起同學(xué) 們高度關(guān)注.4 同步練習(xí)（答題吋間；6。分鐘）屮 一、選擇題2 1. 如圖，每個(gè)小正育形00邊長(zhǎng)為L(zhǎng) A.是小正方理的頂點(diǎn).則/ 肋C的度數(shù)為( C A 50ft. 604C. 45D 3C+J 2如圈所示扣&心分別耒示三個(gè)村莊，AB=10M米BC=6皿米, AC=S00米在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了車富群金生活

12、，擬建一個(gè)文 化活動(dòng)中心，宴求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相奪，則活動(dòng)中心F處的 位貫應(yīng)在()屮 A. AB中點(diǎn)蛀 C. AC中點(diǎn)處 B. BC中核處 屮 D. 4；的平分線與朋的兗點(diǎn)處# 3. 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為2山點(diǎn)E到點(diǎn)C的距離汽5, 貝螞蟻如果要沿看長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)百爬到點(diǎn). ,需要爬行的最題距籬 A 了QB. 25C. lCN + 5d 35 二、填空題赧 4. 某摟梯的側(cè)面視圖如圖所示.其中AB二4米，二3， ZC二沁S園某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在曲段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng) JB應(yīng)為卩 5. 已知應(yīng)AABQ的周長(zhǎng)是4 + 4楣，斜迦上的中線長(zhǎng)是2, ffls加= 也

13、如匡 長(zhǎng)方體的底面辺長(zhǎng)分別為Mrn和3cm,高為Oum如果用一豐艮 細(xì)豪從巨月FfeSl 4 i觀i滬決一圈到丄丸e、需妾 cm.如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面麵疑圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)趺最短 +* k_V 3cm 屮 7.圏甲是我國(guó)古代著名的”趙更弦圏的示竟圖*它是由四個(gè)全等的直 角三角形圉成的-在RiAABC 若直角辺也C=, BC=&將四個(gè)矗麹三 驚理中邊長(zhǎng)為6的直角辺分別向夕涎長(zhǎng)一e,得到圖乙所示數(shù)學(xué)侃車 則這個(gè)風(fēng)車的周按（圖乙中的實(shí)線）是屮 團(tuán)甲圖乙J s.如圏，學(xué)校有一塊長(zhǎng)肓廠囿，有極少馥人為了建開拐幫走捷徑3 在花圃內(nèi)走出了一條潞他們僅又少走了歩路（假設(shè)2歩為1 米），卻足采傷了花草

14、-# 2 9.如圈所示的圓柱體中底面圓的半徑是2高九器若一貝小蟲從占點(diǎn) 出發(fā)沿著圓柱悴的側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小主爬廳的最短路程是 （結(jié) 杲保留根號(hào)）-屮 三、解答題 10如圖！衛(wèi) B是:路F仃為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊！曲村到公路 前距離TlClkm, B村到公路！的距離BZ）=2km, B村在衛(wèi)村的南偏東4亍 肓向上，屮 （1）求出兒行兩村之間的距離；屮 （2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公些汽車站R蔓求飲 車鮎到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位苴（保留渚晰的作 團(tuán)痕跡，芥簡(jiǎn)要寫明作陸）.4 你熱愛生命嗎那么別浪貴時(shí)間/因?qū)r(shí)間是組成生 命的M輯-富苣克林 試題答案盧 1. （2+275）米 2. 舁 3 10, 2肘十16/ （或血）【解析】由題育礙細(xì)線從廉月 開始艷過4個(gè)側(cè)面靈繞一圈到達(dá)點(diǎn)3、其最短扶度為將按虧體的四個(gè)側(cè)面展 幵即可構(gòu)戚一牛貢第辺分別為理cm和6遜的直角三角形，所以細(xì)線的最短 長(zhǎng)度應(yīng)沖lOcnii當(dāng)細(xì)線經(jīng)過四個(gè)側(cè)面鐮繞口闘h封詼點(diǎn)B的最短長(zhǎng)度次 29 H孑或 J36+64）cm* 4 76 丁夙車的外圍周扶7呻3打）=7如 5. 6. 2麗卩 7. 解析；(1)肓法一；設(shè)腫與CD的奩點(diǎn)矢O,根據(jù)題意可得 呂=4亍二 4J 二血0和厶0QO都是等腰直角三角形.* :.AO = -2