南航矩陣論試卷

1、南京航空航天大學(xué)2015 級(jí)碩士研究生共 5 頁(yè)第 1 頁(yè)2015 2016學(xué)年第1 學(xué)期 矩陣論 課程考試A 卷考試日期：2015 年12 月28 日課程編號(hào)：A080001 命題教師：閱卷教師：學(xué)院專業(yè)學(xué)號(hào)姓名成績(jī)211一、 (20分) 設(shè) 3 階矩陣A0101101求 A 的特征多項(xiàng)式和初等因子；2求 A 的最小多項(xiàng)式和Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形；1003問(wèn)： A 與矩陣 B110是否相似？并說(shuō)明理由111案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：1.特征多項(xiàng)式為 f ( ) (1) 3 ；初等因子為1, ( 1) 2 .1002. A 的最小多項(xiàng)式是 m( )( 1)2 ，Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為 J011.0013.

2、因?yàn)?B 的初等因子為 (1) 3 ，與 A 的初等因子不同 , 所以 A 與 B 不相似 .（5 分）共 5 頁(yè)第 2 頁(yè)二、 (20 分) 設(shè) V X R2 2 | tr ( X )0 ，映射使得( X ) XX T ,XV .1證明 V 是 R2 2 的一個(gè)子空間，并求它的維數(shù)和基；2證明是 V 的線性變換，并求在題 1 所取基下的矩陣；3求的核 ker() 與值域 R() 的維數(shù)和基；?4證明： Vker()R() .答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) :1. 直接驗(yàn)證，知 V 是線性子空間 . V 的維數(shù)是 3，一組基是10010010,20,31.1002. 直接驗(yàn)證 , 知是線性變換 .000在題

3、1 所取基下的矩陣是 A011 .0113.由于 ker( )span 1 , 23 ，所以 dim( ker() )2 ， 1 ,23 為 ker( ) 的一組基；由于 R( )span 23 ，所以 dim( R()1 ， 23 是 R() 的一組基 .4.?由于 dim( ker() )dim( R() 3 dim( V ) ，所以 Vker()R( ) .共 5 頁(yè)第 3 頁(yè)101t三、(20 分)設(shè)非齊次線性方程組 Ax相容，其中 A011，9 .11291作出 A 的一個(gè)滿秩分解；2求 A 的加號(hào)逆 A ；3求方程組 Ax的極小范數(shù)解（要求解中不含有參數(shù)t ）答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) :10

4、011. A 的一種滿秩分解為A01BC ；111101( 注意：滿秩分解不唯一，需要檢驗(yàn) ) 121121(B )T12. 因?yàn)?B12, C1 2 , 所以31311541AC B151.491213. 由相容性 , 解得 t0, 從而極小范數(shù)解為 x A(3, 6, 3) T .共 5 頁(yè)第 4 頁(yè)111四、 (20 分) 設(shè)矩陣 A111 .0121求 A 1 , A , A F , A 2 ；2證明對(duì)于 C 3 3 中的任意矩陣 B ，有 2 B 2 AB 26 B 2 ；3證明矩陣冪級(jí)數(shù)1k Ak絕對(duì)收斂，并求其和k0 3答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) :1. A 1 4,A3,A F11 .20

5、0由于 AT A030, 所以 A 26 .0062. 由矩陣 2范數(shù)的相容性 , 有 AB 2A 2 B 26 B 2 另一方面，由題的計(jì)算過(guò)程知 A 11，從而22B 2A 1 AB 2A 12AB 21AB 2 ，2即 2 B 2AB 2 3. 已知冪級(jí)數(shù)1k xk的收斂半徑為3, 且( A)A 2 3 , 則矩陣冪級(jí)數(shù)k0 31k Ak 絕對(duì)收斂 , 且k0 311 A) 11303Ak( I3(3I A) 1121.k 0 3k32127共 5 頁(yè)第 5 頁(yè)五、 (20分) 設(shè)A, B分別是n 階Hermite正定矩陣和半正定矩陣，證明：1 AB 相似于Hermite半正定矩陣；2若3若AAABA，則 I1BA B ，則AAB1；B 答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) :1.A0 AS2 , 這里 S 是可逆的 Hermite 矩陣 , 從而 S 1 ABSSH BS . 由于B0 , 所以 SH BS 0, 即 AB 相似于 Hermite半正定矩陣 SH BS .2.AABA( AB)1. 由題 1 的結(jié)